Рассмотрим семейство гауссовских состояний $\left\{S_{\theta_{1}}, \ldots, \theta_{n}\right\}$ с корреляционной функцией $\alpha$ и средним значением
\[
m(z)=\sum_{i=1}^{n} \theta_{j} m_{j}(z),
\]

где $m_{f}(\cdot)$ — известные линейные функции на симплектиqеском пространстве $Z$, а $\theta_{j}$ — неизвестные вещественные параметры, которые подлежат оцениванию по наблюдениям над рассматриваемой квантовой системой. Например,

—————————————————————-
0015ru_fiz_kvan_book29_no_photo_page-0305.jpg.txt

304
НЕСМЕЩЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
โrл. V1
$S_{\theta_{1}}, \ldots, \theta_{n}$ может быть состоянием поля иэлучения, представляющим смесь (V.1.8) фонового излучения и сигнала, в котором неизвестными являются амплитуды $\theta_{j}$ аддитивных компонент сигнала $m_{j}(z)$. Мы будем предполагать, что функции $m_{j}(\cdot)$ линейно независимы.

Теорема 9.1. Равномерно наилучее локально несмещенное измерение параметров $\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}$ среднего значения гауссовского состояния может быть найдено в классе канонических измерений.

Доказательство. В силу предложения V.6.1 семейство $\left\{S_{\theta_{1}}, \ldots, \theta_{n}\right\}$ удовлетворяет условиям, при которых имеет место граница (7.11), причем симметричные логарифмические производные даются формулой
\[
L_{l}=R\left(m_{j}\right)-m\left(m_{j}\right), \quad j=1, \ldots, n,
\]

где $m_{j} \in Z$ определяются из уравнений
\[
m_{f}(z)=\alpha\left(m_{f}, z\right), \quad z \in Z .
\]

Фиксируем значения $\theta_{0 j}$, т. е. среднее значение $m(\cdot)$, и заметим, что в силу характеристического свойства гауссовских состояний, выражаемого теоремой V.6.1, пространство канонических наблюдаемых $\Re_{1}$ инвариантно относительно коммутационного оператора $\mathfrak{D}$. Поэтому, согласно предложению 7.1, в (7.11) можно считать, что оператор $\mathscr{f}$ действует в $\mathfrak{\Re}_{\mathbf{i}}$. Обозначая через $\mathscr{F}$ оператор, отвечающий $₹$ при изометрии $z \leftrightarrow R(z)-m(z)$, так что

имеем
\[
\mathscr{f}(R(z)-m(z))=R(\mathscr{F} z)-m(\mathscr{F} z),
\]

где
\[
\Sigma_{0_{0}}\{M\} \geqslant \inf \operatorname{Tr} G F^{-1} \equiv \Sigma_{*},
\]
\[
\boldsymbol{F}=\left[\alpha\left(m_{j}, \mathscr{F}^{m_{k}}\right)\right]
\]

и нижняя грань берется по всем симметричным операторам в $Z$, удовлетворяющим условию
\[
0 \leqslant\left(\mathrm{I}+\frac{i}{2} \mathscr{D}\right) \mathscr{F}\left(\mathrm{I}+\frac{i}{2} \mathscr{V}\right) \leqslant\left(1+\frac{i}{2} \mathscr{V}\right)
\]

в комплексификации пространства $(Z, \alpha)$. Здесь $\mathscr{D}$ — оператор в $Z$, отвечающий коммутационному оператору $\mathfrak{D}$ по формуле (V.6.4).
Покажем, что ннжняя грань в (9.3) достигается. Множество операторов $\mathfrak{F}$ в конечномерном пространстве, удовлетворяющих условию (9.5), является, очевидно, замкнутым. Оно ограничено, так как из (9.5), аналогично (7.10), следует $0 \leqslant \mathscr{F} \leqslant \mathrm{I}$. Таким образом, множество $\{\mathscr{F}\}$ компактно. Функция $\boldsymbol{F} \boldsymbol{\operatorname { T r }} \boldsymbol{Q} F^{-1}$ является суперпозицией непрерывной функции (9.4) и функции $F \rightarrow \operatorname{Tr} \boldsymbol{Q} F^{-1}$, которая полунепрерывна снизу, будучи верхней гранью семейства непрерывных функций $F \rightarrow \operatorname{Tr} \boldsymbol{C}(F+\varepsilon 1)^{-1} ; \varepsilon>0$. По известной теореме анализа функция, полунепрерывная снизу, достигает минимума на компактном множестве.

Пусть $\mathscr{F}_{*}$ — оператор в $Z$, на котором этот минимум достигается, и $F_{*}$ — соответствующая ему матрица. Тогда оптимальные векторы $X j$, согласно (7.12) и (9.2), даются формулами
\[
X_{j}^{*}=R\left(z_{j}^{*}\right)-m\left(z_{j}^{*}\right), j=1, \ldots, n,\left[\begin{array}{c}
z_{1}^{*} \\
\vdots \\
z_{n}^{*}
\end{array}\right]=F_{*}^{-1}\left[\begin{array}{c}
\mathscr{F}_{*} m_{1} \\
\vdots \\
\mathscr{F}_{*} m_{n}
\end{array}\right] .
\]

Отметим, что система $\left\{z_{j}^{*}\right\}$ является по построению биортогональной к векторам $\left\{m_{f}\right\}$, представляющим компоненты среднего эначення в $(Z, \alpha)$ :
\[
m_{k}\left(z_{j}\right)=\alpha\left(z_{j}, m_{k}\right)=\delta_{j k} .
\]

Отсюда, в частности, $m\left(z_{J}^{*}\right)=\theta_{\mathbb{Q}}$.
Элементы $X_{j}^{*} ; j=1, \ldots, n$, и матрица $K_{*} \equiv\left[x_{j k}^{*}\right]=$ $=F_{*}^{-1}\left[\alpha\left(m_{j}, \mathcal{F}_{*}\left(\mathrm{I}-\mathcal{F}_{*}\right) m_{h}\right)\right] F_{*}^{-1}$ по построению удовлетворяют условию (7.5), которое в силу того, что
\[
\left[X_{l}^{*}, X_{k}^{*}\right]_{s}=\left[R\left(z_{j}^{*}\right)-m\left(z_{j}^{*}\right), R\left(z_{k}^{*}\right)-m\left(z_{k}^{*}\right)\right]_{s}=\Delta\left(z_{l}^{*}, z_{k}^{*}\right),
\]

сводится к неравенству
\[
\left[x_{k}^{*}\right] \geqslant \pm \frac{i}{2}\left[\Delta\left(z_{j}^{*}, z_{k}^{*}\right)\right] .
\]

Согласно предложению 8.1, существует каноническое измерение $M_{*}\left(d \theta_{1} \ldots d \theta_{n}\right)$ с параметрами $X_{M_{*}}^{\prime}=R\left(z_{j}^{*}\right)$, $j=1, \ldots, n ; K_{*}=\left[x_{k}\right]$. Оно является локально несмещенным, так как согласно (9.7)
\[
\left\langle L_{j}, X_{M_{*}}^{k}\right\rangle_{s}=\left\langle R\left(m_{j}\right)-m\left(m_{j}\right), R\left(z_{k}^{*}\right)\right\rangle_{s}=\alpha\left(m_{j}, z_{k}^{k}\right)=\delta_{j k} .
\]

Поскольку параметры измеревня $M_{*}\left(d \theta_{1} \ldots d \theta_{n}\right)$ не зависят от фиксированных вначале значений $\theta_{0}$, оно является равномерно наилучшим среди всех локально несмещенных измерений. Теорема доказана.

Теорема эта устанавливает принципиальный факт каноничности наилучшего измерения, однако не дает явного выражения для оператора $\mathscr{F}_{*}$, через который определяются параметры наилучшего измерения. Явное решение этой задачи было получено в некоторых частных случаях. Рассмотрим подпространство $Z_{\mathscr{L}} \subset Z$, порождаемое векторами $m_{j} ; j=1, \ldots, n$ (оно соответствует подпространству $\mathscr{L} \subset \mathscr{L}_{h}(S)$ при изометрии $z \leftrightarrow R(z)-m(z)$ ), и предположим, что оно является инвариантным подпространством оператора $\mathscr{D}$. В частности, это очевидным образом выполняется, если $n=2 s \equiv \operatorname{dim} Z$, так что $Z_{\mathscr{L}}=Z$. Тогда $\mathscr{L}$ будет инвариантным подпространством коммутационного оператора $\mathfrak{D}$ и формулы (7.17) с учетом (9.2) дают $X_{j}^{*}=R\left(z_{i}^{*}\right)-\theta_{0}, j=1, \ldots, n$, где
\[
\left[\begin{array}{c}
z_{1}^{*} \\
\vdots \\
z_{n}^{*}
\end{array}\right]=J^{-1}\left[\begin{array}{c}
m_{1} \\
\vdots \\
m_{n}
\end{array}\right] \text { и } K_{*}=\frac{1}{2} G^{-1} \text { abs }\left(i G J^{-1} D J^{-1}\right) \text {, }
\]

где, в силу (V.4.9), (V.4.12) и (9.2),
\[
J \equiv\left[\left\langle L_{f}, L_{k}\right\rangle_{s}\right]=\left[\alpha\left(m_{l}, m_{k}\right)\right], \quad \boldsymbol{D} \equiv\left[\left[L_{f}, L_{k}\right]_{s}\right]=\left[\Delta\left(m_{l}, m_{k}\right)\right] .
\]

Вспоминая доказательство предложения 8.1, можно сказать, что наилучшее измерение реализуется коммутирующим семейством наблюдаемых
\[
\tilde{R}_{j}=R\left(z_{i}^{*}\right) \otimes I_{0}+I \otimes R_{i}^{0},
\]

где $R_{j}^{0}$-вспомогательные канонические наблюдаемые в пгостранстве $\mathscr{H}_{0}$ с состоянием $S_{0}$ такие, что
\[
\left[R_{j}^{0}, R_{k}^{0}\right]=i \Delta\left(z_{j}^{*}, z_{k}^{*}\right) I_{0}, \mathrm{E}_{s_{0}}\left(R_{j}^{0}\right)=0, \quad\left[\left\langle R_{j}^{0}, R_{k}^{0}\right\rangle_{s}\right]=K_{*} .
\]

В рассматриваемом случае биортогональная система $\left\{z_{\dagger}^{*}\right\}$ лежит в подпространстве $Z_{\mathscr{L}}$, порождаемом системой $\left\{m_{f}\right\}$, и не зависит от выбора весовой матрицы $G$, которая входит лишь в выражение для матрицы $\boldsymbol{K}_{*}$. В общем случае $Z_{\mathscr{L}}$ не будет инвариантным подпространством оператора $\mathscr{F}_{*} ;$ векторы $z_{j}^{*}$ могут лежать за пределами подпространства $Z_{\mathscr{L}}$ и зависеть от выбора матрицы $\boldsymbol{Q}$.

$\mathbf{3 0 7}$
Теорема 9.1 позволяет также установить любопытное свойство гауссовских состояний, позволяющее охарактеризовать их как «наименее информативные или «наименее выгодные с точки зрения экспериментатора. Рассмотрим другое семейство состояний $\left\{S_{0_{1}}^{\prime}, \ldots, \theta_{n}\right\}$ с конечными вторыми моментами, причем предположим, что состояние $S_{\theta_{1}}^{\prime}, \ldots, \theta_{n}$ имеет то же среднее значение (9.1) и корреляционную функцию $\alpha$, а в остальном совершенно произвольно.

Рассмотрим локально несмеценное каноническое измерение $M\left(d \theta_{1} \ldots d \theta_{n}\right)$ с параметрами $z_{1}, \ldots, z_{n} ;\left[\chi_{f k}\right]$. Тогда среднеквадратичное отклонение результатов измерения, вычисленное относительно состояния $S_{\theta_{1}}^{\prime}, \ldots, \theta_{n}$, равно
\[
\Sigma_{k}^{\prime}\{M\}=\sum_{j, k} g_{j k}\left[x_{j k}+\alpha\left(z_{j}, z_{k}\right)\right]
\]

в силу (7.6) и пунктов 1), 2) определения канонического измерения. Поскольку $x_{j k}$ не зависят от состояния в силу пункта 3) того же определения, а $\alpha$ по предположению совпадает с корреляционной функцией гауссовского состояния $S_{\theta_{2}} \ldots, \theta_{n}$, то $\Sigma_{\theta}^{\prime}\{\boldsymbol{M}\}=\Sigma_{\theta}\{\boldsymbol{M}\}$, где $\Sigma_{\theta}\{\boldsymbol{M}\}$ — среднеквадратичное отклонение, вычисленное относительно $S_{\theta_{1}}, \ldots, \theta_{n}$. Так как минимум величины $\Sigma_{0}\{\mathbf{M}\}$ по каноническим измерениям совпадает с минимумом по всем измерениям (теорема 9.1), то он равен величине $\Sigma_{*}$ из (9.3). Поэтому
$\min \left\{\boldsymbol{\Sigma}_{6}^{\prime}\{\boldsymbol{M}\}: \boldsymbol{M}\right.$ — локально несмещенные
\[
\text { канонические измерения }\}=\Sigma_{*} \text {. }
\]

Отсюда следует, что $\min _{M} \Sigma_{0}^{\prime}\{M\} \leqslant \Sigma_{*}$, где минимум берется уже по всем локально несмещенным измерениям и
\[
\max _{\left\{s_{6}^{\prime}\right\}} \min _{M} \sum_{j}^{\prime}\{\mathbf{M}\}=\Sigma_{*} .
\]

Таким образом, при данной априорной информации о моментах, гауссовские состояния являются наихудшими в смысле среднеквадратичного отклонения измерения параметров $\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}$ среднего значения. Это можно наглядно интерпретировать, рассмотрев «игру», в которой экспериментатор стремится минимизировать среднеквадратичное отклонение $\Sigma_{0}^{\prime}\{M\}$, исходя из осторожного предположения, что фактическое состояние может оказаться для него наихудшим в данном классе. C этой точки зрения предположение о гауссовоєти в задаче оценивания среднего при отсутствии априорных данных о моментах выше второго порядка представляется оправданным.
Комментарии к гл. VI
§ 1. Основные понятия и проблемы математической теорин передачи сообщений Шеннона — Колмогорова формулируются в докладе Колмогорова [51]. На необходнмость учета квантовой прнроды носнтеля информации при изучении оптическнх каналов указывал еще изобретатель голографии Габор [29]. Математические модели квантовых каналов связи обсуждались Холево [112], Ингарденом [43], Дэвисом [40]. Информационные характеристнки рассматривались в работах Холево [116], Линдблада [60].
\$5 2, 3. По поводу классического неравенства Рао-Крамера см. Крамер [53]. Обстоятельное геометрическое исследование неравенства Рао-Крамера содержится в книге Ченцова [128]. Предложення 2.1 и 3.2 являются строгими версиями соответственно неравенств Хелстрома [107], [109] и Мандельштама — Тамма [68].
§ 4. Постановка задачи об оценивании силы, действующей на пробный объект, мотивирована работой Брагинского и Воронцова [17], в которой обсуждался вопрос об обнаружении снлы в была получена граница типа (4.11) как условие обнаружения.

S今 5, 6. Неравенство (5.3) является строгой версией результата Хелстрома [107], [109]. Неравенство (6.2) получено в работе Юна и Лэкса [133]. Оптимальность канонического измерения в гауссовском семействе $\left\{S_{\bar{P}, \bar{Q}}\right\}$ установлена в работах Холево [117], Юна и Лэкса [133].

Лемма 6.1, принадлежащая Белавкину и Грншанину, приводится в работе Стратоновича [92], посвященной квантовой теорин обнаружения и оценивания.
§5 7-9. Материал вэят нз работ Холево [115], [120]-[122]. Лемма 7.1 доказана в работах [120], [122], посвященных байесовской задаче. Канонические измерения были введены в [112]. Полное доказательство предложення 8.1 можно найти в [122]. Исследование других случаев, в которых опгимальный оператор $\mathscr{F}^{\circ}$ находится в явном виде, можно найти в работах [121], [122]. \»Применения к конкретным пространственно-временным моделям сигналов рассматриваются, например, в книге Хелстрома [109].

Известно, что гауссовское состояние имеет максимальную квантовую энтропию — Tr $S \log S$ при фиксированных первьх и вторых моментах (ср. Люиселл [63]). Это служит другой иллюстрацией того факта, что гауссовские сфстояння являются в данной задаче измерения кнаименее информатввнымия.