Преобразуем каноническое коммутационное соотношение (III.3.2) для одной степени свободы, вводя двухкомпонентные векторы $z=[x, y]$, кососимметричную форму
\[
\Delta\left(z, z^{\prime}\right)=x y^{\prime}-x^{\prime} y
\]

и полагая $V(z)=W_{-x, y / \mu}$. Соотношение (II.8.2) примет тогда форму
\[
V(z) V\left(z^{\prime}\right)=e^{\frac{l}{2} \Delta\left(z, z^{\prime}\right)} V\left(z+z^{\prime}\right) .
\]

В случае $s$ степеней свободы поступим аналогично. Пусть $x_{k}, y_{k}$ – пара вещественных чисел; положим $z_{k}=$ $=\left[x_{k}, y_{k}\right]$ и $z=\left[z_{1}, \ldots, z_{s}\right]$. Таким образом, $z-2 s$-мерный вещественный вектор. Введем билинейную кососимметричную форму
\[
\Delta\left(z, z^{\prime}\right)=\sum_{k=1}^{s}\left(x_{k} y_{k}^{\prime}-x_{k}^{\prime} y_{k}\right) .
\]

По аналогии со случаем $s=1$ мы называем представлением канонического коммутационного соотношения (с 8 степенями свободы) всякое непрерывное семейство унитарных операторов $z \rightarrow V(z)$ в некотором гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$, удовлетворяющее соотношению (2.1).

Қанонические наблюдаемые $P_{k}, Q_{k} ; k=1, \ldots, s$, получаются отсюда следующим образом. Учитывая, что в силу кососимметричности
\[
\Delta(z, z)=0,
\]

получаем, что семейство $\{V(t z),-\infty<t<\infty\}$ при фиксированном $z$ является группой унитарных операторов. По теореме Стоуна
\[
V(z)=e^{l R(z)},
\]

где $R(z)$-самосопряженный оператор. Из (2.1), (2.3) имеем
\[
e^{t \ell R(z)} e^{l s R\left(z^{\prime}\right)}=e^{l t s \Delta\left(z, z^{\prime}\right)} e^{l s R\left(z^{\prime}\right)} e^{l t R(z)} .
\]

Дифференцирование этого равенства по $t$ и $s$ в точке $t=s=0$ дает формальное соотношение
\[
\left[R(z), R\left(z^{\prime}\right)\right]=-i \Delta\left(z, z^{\prime}\right) \mathrm{I} .
\]

Мы получим его строгую версию в § 4. Пусть $e_{k}-2 s$ мерный вещественный вектор $\left[z_{1}, \ldots, z_{s}\right]$, для которого $z_{j}=0$ при $j
eq k$ и $z_{k}=[1,0]$, а $h_{k}$-аналогичный вектор, для которого $z_{k}=[0,1]$. Полагая $R\left(e_{k}\right)=P_{k}, R\left(h_{k}\right)=Q_{k}$ и учитывая, что
\[
\Delta\left(e_{k}, h_{l}\right)=\delta_{k l}, \quad \Delta\left(e_{k}, e_{l}\right)=\Delta\left(h_{k}, h_{l}\right)=0,
\]

получаем
\[
\left[P_{k}, Q_{l}\right]=-i \delta_{k l}, \quad\left[P_{k}, P_{l}\right]=\left[Q_{k}, Q_{l}\right]=0,
\]
qто эквивалентно коммутационным соотношениям Гейзенберга (III.7.3) для $s$ степеней свободы.
Отметим, что $z=\sum_{k}\left(x_{k} e_{k}+y_{k} h_{k}\right)$, так что
\[
R(z)=\sum_{k}\left(x_{k} P_{k}+y_{k} Q_{k}\right),
\]

где в правой части имеется в виду самосопряженное расширение соответствующего оператора. Используя это обозначение, имеем
\[
V(z)=\exp \left[i \sum_{k=1}^{s}\left(x_{k} P_{k}+y_{k} Q_{k}\right)\right]
\]

Операторы $R(z)$ будем также называть камоническими наблюдаемыми.

Полезно рассмотреть бескоординатную форму этой конструкции. Отвлечемся от конкретного вида формы $\Delta\left(z, z^{\prime}\right)$ и координатной записи векторов $z$. Пусть $Z$ вещественное линейное пространство и $\Delta\left(z, z^{\prime}\right)$-кососимметричная невырожденная билинейная форма на $Z$. Это означает, что $\Delta\left(z, z^{\prime}\right)=-\Delta\left(z^{\prime}, z\right)$ и равенство $\Delta\left(z, z^{\prime}\right)=0$ для всех $z$ влечет $z^{\prime}=0$. Такая пара $(Z, \Delta)$ называется симплектическим пространством. Для любого симплектического пространства можно определить представление канонических коммутационных соотношений $z \rightarrow V(z)$ как семейство унитарных операторов $\{V(z), z \in Z\}$, удовлетворяющих соотношениям (2.1) для всех $z, z^{\prime} \in Z$.

При таком подходе нет даже необходимости требовать конечномерности $Z$. Однако, если предположить, что $Z$ конечномерно, то его размерность обязательно оказывается четной $\operatorname{dim} Z=2 \mathrm{~s}$. Для доказательства введем какое-либо скалярное произведение $\alpha$ на $Z$ и будем обозначать соответствующее евклидово пространство $(Z, \alpha)$. Пусть $\mathscr{D}$ – оператор формы $\Delta$ в $(Z, \alpha)$, так что
\[
\Delta\left(z, z^{\prime}\right)=\alpha\left(z, \mathscr{D} z^{\prime}\right) ; z, z^{\prime} \in Z .
\]

В силу свойств формы $\Delta$, $\mathscr{D}$ – невырожденный кососимметричный $\left(\mathscr{P}^{*}=-\mathscr{D}\right)$ в $(Z, \alpha)$ оператор. По известной теореме линейной алгебры, в $(Z, \alpha)$ существует ортонормированный базис $\boldsymbol{\varepsilon}_{1}, \tilde{h}_{1} ; \tilde{\varepsilon}_{9}, \tilde{h}_{2}, \ldots$, в котором $\mathscr{D}$ имеет матрицу вида

в частности, $Z$ обязательно должно быть четномерньм.

Далее, мы будем иметь дело только с конечномерным случаем (хотя настоящее поле описывается бесконечным набором осцилляторов).

Базис $\left\{e_{j}, h_{j} ; j=1, \ldots, s\right\}$ в $(Z, \Delta)$ называется симnлектическим, если для него выполняются соотношения (2.6). В симплектическом базисе форма $\Delta$ имеет канонический вид $\Delta\left(z, z^{\prime}\right)=\sum_{j=1}^{s}\left(x_{j} y_{i}^{\prime}-x_{i}^{\prime} y_{j}\right)$, где $z=\sum_{j}\left(x_{j} e_{j}+y_{j} h_{j}\right)$, $z^{\prime}=\sum_{j}\left(x_{j}^{\prime} e_{j}+y_{j}^{\prime} h_{j}\right)$. Он играет ту же роль для симплектического пространства, что ортонормированный базисдля евклидова пространства. Для любого симплектического базиса наблюдаемые $P_{j}=R\left(e_{j}\right), Q_{j}=R\left(h_{j}\right)$ удовлетворяют коммутационным соотношениям Гейзенберга.

Примером симплектического базиса может служить построенный в начале этого параграфа базис $\left\{e_{j}, h_{j}\right\}$ в пространстве $2 \mathrm{~s}$-мерных векторов-строк. Однако в любом симплектическом пространстве существует бесконечно много симплектических базисов. В самом деле, пусть $\alpha$ любое скалярное произведение в $Z$; тогда базис $e_{j}=$ $=\frac{1}{\sqrt{d_{j}}} \tilde{e}_{j}, h_{j}=\frac{1}{\sqrt{d_{j}}} \tilde{h}_{j}$ явлчется симплектическим в силу (2.6)-(2.8). Полагая $a_{j}=d_{i}^{-1}$, получаем отсюда

Предложение 2.1. Симплектическое пространство $(Z, \Delta)$ обязательно имеет четную размерность 2 s. Дая яюбого скалярного произведения $\alpha$ в $(Z, \Delta)$ существует силплектический базис $\left\{e_{j}, h_{j} ; j=1, \ldots, s\right\}$, в котором а имеет диагональную матрицу вида

Переход от одного симплектического базиса к другому задается симплектическим оператором $T$, үдовлетворяющим условию
\[
\Delta\left(T z, T z^{\prime}\right)=\Delta\left(z, z^{\prime}\right) ; \quad z, z^{\prime} \in Z .
\]

Для всякого симплектического оператора $|\operatorname{det} T|=1$. В самом деле, пусть $\alpha$-произвольное скалярное произведение в $Z$; тогда (2.9) принимает вид
\[
\alpha\left(T z, \mathscr{D} T z^{\prime}\right)=\alpha\left(z, \mathscr{V} z^{\prime}\right) ; \quad z, z^{\prime} \in Z,
\]
т. е. $T^{*} \mathscr{D} T=\mathscr{D}$, где $T^{*}$ – оператор, сопряженный к $T$ в евклидовом пространстве $(Z, \alpha)$. Отсюда, учитывая, что $\operatorname{det} T^{*}=\operatorname{det} T$ и $\operatorname{det} \mathscr{D}
eq 0$, получаем $|\operatorname{det} T|=1$. Таким образом, симплектические преобразования сохраняют меру Лебега в симплектическом пространстве.
\[
\text { Пусть } z=\sum_{j=1}^{s}\left(x_{j} e_{j}+y_{j} h_{j}\right)-\text { разло- }
\]
жение элемента $z$ по симплектическому базису. Введем меру Лебега $Z$, полагая

Рис. 13.
\[
d^{2 s} z=d x_{1} d y_{1} \ldots d x_{s} d y_{s} .
\]

Чз сказанного выше вытекает, что это определение не зависит от выбора симплектического базиса в $(Z, \Delta)$.

Для иллюстрации рассмотрим простейший случай $\operatorname{dim} Z=2$ (одна степень свободы). Пусть $\{e, h\}$ – симплектический базис в $(Z, \Delta)$ и $x, y$-координаты вектора $z$. Выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат. Тогда базис $\{e, h\}$ изобразится в виде двух взаимно перпендикулярных ортов (рис. 13), однако это отражает лишь произвол в выборе системы координат и не соответствует каким-либо реальным свойствам симплектического базиса (угол и длина в симплектическом пространстве не определены). По существу это означает, что мы вводим в $Z$ скалярное произведение $\alpha\left(z, z^{\prime}\right)=$ $=x x^{\prime}+y y^{\prime}$, связанное с данным базисом, как в предложении 2.1. Другой базис $\left\{e^{\prime}, h^{\prime}\right\}$ будет симплектическим гогда и только тогда, когда $\Delta\left(e^{\prime}, h^{\prime}\right)=1$. Из инвариантности определения элемента меры Лебега в симплектическом базисе следует, что пара векторов $\left\{e^{\prime}, h^{\prime}\right\}$ образует симплектический базис тогда и только тогда, когда построенный на них ориентированный параллелограмм имеет площад +1