В предыдущей главе статистическая модель квантовой теории была введена в ее простейшем конечномерном матричном варианте. Одвако для описания многих наиболее интересных свойств квантовых объектов необходим бесконечномерный аналог этой модели, в котором роль матриц играют операторы в гильбертовом пространстве.

Гильбертово пространство- это комплексное линейное пространство $\mathscr{K}$ (векторы которого будут обозначаться буквами $\psi, \varphi, \ldots$ ) со скалярным произведением ( $\varphi)$, полное относительно метрики $\|\varphi-\psi\|=$ $=\sqrt{(\varphi-\psi \mid \varphi-\psi)}$. Мы будем иметь дело только с сепа рабельными пространствами, в которых ортонормированный базис является счетным (или конечным). По некоторым соображениям, которые станут ясными из дальнейшего, нам удсбно будет считать скалярное произведение $(\varphi \mid \psi)$ линейным по второму аргументу $\psi$. Типичным примером такого гильбертова пространства является $\mathscr{L}^{2}(a, b)$ пространство комплексных функций $\Psi(x)$, квадратичноинтегрируемых по Лебегу на интервале ( $a, b$ ), со скалярным произведением
\[
(\varphi \mid \psi)=\int_{a}^{b} \overline{\varphi(x)} \psi(x) d x .
\]

Отображение $\varphi \rightarrow \hat{\varphi}$ гильбертова пространства $\mathscr{K}$ в гильбертово пространство $\hat{\mathscr{H}}$ называется ияометричным, если
\[
(\varphi \mid \psi)=(\hat{\varphi} \mid \hat{\phi}) ; \quad \varphi, \psi \in \mathscr{K} .
\]

Поскольку при этом \» $\varphi \mid=\|\hat{\varphi}\|$, то изометричное отображение обязательно взаимно-однозначно. Если существует изометричное отображение $\mathscr{K}$ на $\mathscr{K}$, то пространства $\mathscr{K}$ и $\mathscr{\mathscr { H }}$ и называются изоморфными. Например, пространство $\mathscr{L}^{2}(-\pi, \pi)$ изоморфно пространству $l^{2}$ квадратичносуммируемых последовательностей $c=\left\{c_{k}\right\}$ со скалярным произведением ( $\left.c \mid c^{\prime}\right)=\sum_{-\infty}^{\infty} \overline{c_{k}} c_{k}^{\prime}$. Соответствующее отображение дается формулой
\[
c_{k}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{s k x} d x, \quad k=0, \pm 1, \ldots,
\]
a его изометричность составляет содержание формулы Парсеваля. Различие между изоморфными пространствами несущественно с точки зрения общей теории гильбертовых пространств; всякое утверждение для одного из изоморфных пространств может быть в принципе переведено на язык другого. Однако фактически такой перевод может быть очень сложным; кроме того, удачный выбор конкретного гильбертова пространства может существенно упростить изучение того или иного объекта. Например, при изучении оператора дифференцирования в $\mathscr{L}^{2}(-\pi, \pi)$ выгодно перейти к изоморфному пространству коэффициентов Фурье $l^{2}$ и т. п.

Принятое выше соглашение о линейности скалярного произведения по второму аргументу связано с удобной символикой для обозначения векторов гильбертова пространства, введенной Дираком. Эта символика широко используется физиками, и мы также будем ее применять.

Согласно фундаментальной лемме Рисса -Фреше, всякий мепрерьвный (относительно нормы |-I) линейный функционал на $\mathscr{K}$ имеет вид $\varphi \rightarrow(\boldsymbol{\varphi} ! \varphi)$, где $\psi$ — некоторый вектор из $\mathscr{K}$. Поэтому всякий вектор $\psi$ можно рассматривать не только как элемент самого пространства $\mathscr{K}$, но и как элемент сопряженного пространства $\mathscr{K}^{*}$ непрерывных линейных функционалов на $\mathscr{K}$. Условимся обозначать вектор $\psi$, рассматриваемый как элемент $\mathscr{C}$, через $\mid \psi$ ), а тот же $\psi$, рассматриваемый как элемент сопряженного пространства $\mathscr{K}^{*}$, — через $(\psi)$. Отображение $\mid \boldsymbol{\psi}) \rightarrow(\boldsymbol{\psi} \mid$ взаимно-однозначно и антилинейно переводит $\mathscr{C}$ в $\mathscr{H}^{*}$ (антилинейность означает, что коэффициенты линейной комбинации меняются на комплексно сопряженные). В конечномерном случае $\mid \psi$ ) соответствует вектору-столбцу $\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{\psi}_{1} \\ \psi_{2} \\ 1\end{array}\right]$, а ( $\left(\boldsymbol{)} \mid\right.$-вектору-строке $\left[\bar{\psi}_{1}, \bar{\psi}_{2}, \ldots\right]$. При таком соглашении скалярное произведенне трактуется как «внутреннее произведение ( $\varphi \mid$ на $\mid \psi$ ) и формально получается графическим соединением символов ( $\varphi \mid$ и $\mid \psi$ ). Удобство символики Дирака заключается в возможности наглядной записи операторов в виде внешнего произведения». Напомним, что в конечномерном случае произведение столбца ва строку той же размерности дает квадратную матрицу, т. е. оператор. Условимся понимать символ $\left.\mid \varphi_{1}\right)\left(\varphi_{2} \mid\right.$ как оператор, отображающий вектор $\mid \psi$ ) в вектор $\left.\mid \varphi_{1}\right)\left(\varphi_{2} \mid \psi\right)$, символ которого является результатом графического соединения исходных символов. Операторы вида $\left.\mid \varphi_{1}\right)\left(\varphi_{2} \mid\right.$ являются операторами ранга 1 , отображающими $\mathscr{C}$ на одномерное подпространство. В частности, проектор на единичный вектор $\phi$ записывается в виде
\[
\left.S_{\psi}=\mid \psi\right)(\psi \mid .
\]

Конечные линейные комбинации (или, что то же, конечные суммы) операторов ранга 1
\[
\left.T=\sum_{j} \mid \varphi_{l}\right)\left(\psi_{j} \mid\right.
\]

описывают операторы конечнго ранга в $\mathscr{C}$. Любая конечная совокупность операторов конечного ранга может рассматриваться как действующая в конечномерном подпространстве $\mathscr{\mathscr { H }} \subset \mathscr{K}$; именно, в качестве $\mathscr{\mathscr { K }}$ можно взять подпространство, порожденное всеми векторами $\left.\left|\varphi_{j}\right\rangle, \mid \psi_{j}\right)$ из записи (1.2) каждого из этих операторов. Поэтому алгебра конечной совокупности операторов конечного ранга сводится к матричной алгебре. Произведение операторов конечного ранга получается графическим соединением соответствующих символов, например
\[
\left.\left[\sum_{j} \mid \varphi_{j}\right)\left(\Psi_{j} \mid\right] \cdot\left[\sum_{k} \mid \hat{\varphi}_{k}\right)\left(\hat{\psi}_{k} \mid\right]=\sum_{j k} \mid \varphi_{j}\right)\left(\psi_{j} \mid \hat{\varphi}_{k}\right)\left(\psi_{k} \mid \cdot\right.
\]

В пространстве $\mathscr{L}^{2}(a, b)$ операторы конечного ранга являются интегральными операторами с вырожденными ядрами; так, оператору (1.2) соответствует ядро
\[
T\left(x^{\prime}, x\right)=\sum_{j} \varphi_{j}\left(x^{\prime}\right) \overline{\psi_{j}(x)} .
\]

Ясно, что далеко не все представляющие интерес операторы попадают в этот класс. Одна из трудностей бесконечномерного случая состоит в том, что интересующие нас операторы могут быть не определены (и неопределяемы) на всем пространстве $\mathscr{C}$. Примером может служить оператор дифференцирования в $\mathscr{L}^{2}(a, b)$. Однако существует важный класс ограниченных операторов, естественной областью определения которых является все пространство. Оператор $X$ называется ограниченным, если
\[
|X \psi| \leqslant c|\psi|
\]

для некоторой постоянной $c$ и всех $\boldsymbol{\psi} \in \mathscr{K}$. Геометрически это означает, что $X$ переводит ограниченные подмножества пространства $\mathscr{K}$ в ограниченные подмножества. Наименьшее значение постоянной $c$, равное
\[
|X|=\sup _{\psi
eq 0} \frac{|X \psi|}{|\phi|},
\]

называется нормой оператора $\boldsymbol{X}$.
Всякому ограниченному оператору $X$ отвечает полуторалинейная (линейная по $\psi$, антилинейная по $\varphi$ ) форма на $\mathscr{K}$ :
\[
X(\varphi, \phi)=(\varphi \mid X \psi) .
\]

Это соотношение устанавливает взаимно-однозначное соответствие между ограниченными операторами в $\mathscr{K}$ и полуторалинейными формами, непрерывными по паре переменных $\varphi, \psi \in \mathscr{K}$. Рассмотрим форму $X^{*}(\varphi, \psi)=\overline{(\phi \mid X \varphi)}$. Отвечающий ей оператор называется (эрмитово) сопряжсенным к $X$ и обозначается $X^{*}$, так что
\[
\left(X^{*} \varphi \mid \psi\right)=(\varphi \mid X \psi) ; \quad \varphi, \psi \in \mathscr{K} .
\]

Сопряжение $X \rightarrow X^{*}$ является антилинейным отображением, меняющим порядок сомножителей в произведении
\[
(X Y)^{*}=Y^{*} X^{*}
\]

и сохраняющим норму
Кроме того,
\[
|X|=|X *| \text {. }
\]
\[
X^{* *} \equiv\left(X^{*}\right)^{*}=X .
\]

Переход к сопряженному оператору аналогичен переходу к эрмитово сопряженной матрице в конечномерном случае. Предоставляем читателю проверить, что для оператора конечного ранга
\[
\left.\left(\sum_{i} \mid \varphi_{j}\right)\left(\psi_{j} \mid\right)^{*}=\sum_{i} \mid \psi_{j}\right)\left(\varphi_{j} \mid .\right.
\]

Пусть $U$ — изометричный оператор в $\mathscr{C}$, т. е.
\[
\left(U_{\varphi} \mid U \psi\right)=(\varphi \mid \boldsymbol{\psi}) ; \quad \varphi, \boldsymbol{\psi} \in \mathscr{K} ;
\]

тогда $U$ ограничен; в силу (1.5) условие изометричности можно записать в виде
\[
U^{*} U=1
\]

где I-единичный оператор. Укитарным называется изометричный оператор, отображающий $\mathscr{K}$ на $\mathscr{K}$. Условие унитарности имеет вид
\[
U^{*} U=U U^{*}=\mathrm{I} .
\]
(Пример изометричного, во не унитарного оператора будет приведен в § III. 10.)

Оператор $X$ называется эрмитовым, если отвечающая ему форма эрмитова:
\[
(X \psi \mid \varphi) \equiv \overline{(\varphi \mid X \psi)}=(\psi \mid X \varphi) ; \quad \varphi, \psi \in \mathscr{K},
\]
т. е. $X=X^{*}$. Поскольку эрмитова форма однозначно определяется своими «диагональнымн значениями при $\varphi=\psi$. эрмитов оператор $X$ однозначно определяется значениями $(\psi \mid X \psi), \psi \in \mathscr{K}$. Поэтому для проверки какого-либо линейного соотношения между эрмитовыми формами или операторами достаточно убедиться в его выполнении для диагональных значений соответствующих форм. Мы будем часто этим пользоваться. Заметим, что норма эрмитова оператора вычисляется через диагональные значения по формуле
\[
|X|=\sup _{\psi
eq 0} \frac{\mid(\psi \mid X \psi)_{i}}{\langle\boldsymbol{\psi} \mid \boldsymbol{\psi}\rangle},
\]

откуда видно, что в конечномерном случае норма эрмитова оператора равна максимуму модулей его собственных значений. В общем случае спектр оператора $X$ также лежит в интервале $[-\|X \mid\| X \|$,$] , хотя само понятие$ спектра усложняется (см. §3).

Пусть $\mathscr{K}_{1}$ (замкнутое) подпространство $\mathscr{K}$; тогда имеет место разложение в ортогональную сумму
\[
\mathscr{K}=\mathscr{H}_{\mathbf{1}} \oplus \mathscr{K}_{\mathbf{9}},
\]

где $\mathscr{K}_{2}$-ортогональное дополнение к $\mathscr{K}_{1}$. Для всяксго $\boldsymbol{\psi}=\boldsymbol{\psi}_{1} \oplus \boldsymbol{\psi}_{2}$ положим $P \boldsymbol{\psi}=\boldsymbol{\psi}_{1}$. Тогда
\[
P^{2}=P, \quad P^{*}=P .
\]

Обратно, всякий оператор в $\mathscr{K}$, удовлетворяющий этим условиям, является оператором (ортогонального) проецирования на подпространство $\mathscr{K}_{1}=\{\psi: P \psi=\psi\}$. Мы будем называть такие операторы проекторами.

Пусть $\mathscr{K}_{1}$-конечномерное подпространство; тогда проекция вектора $\psi$ на $\mathscr{K}_{1}$ запишется в виде
\[
\left.\left.\mid \psi_{1}\right)=\sum_{j} \mid e_{\jmath}\right)\left(e_{j} \mid \psi\right),
\]

где $\left\{e_{j}\right\}$ — любой ортонормированный базис в $\mathscr{C}_{1}$. Поэтому проектор на $\mathscr{K}_{1}$ являетси оператором конечного ранга вида
\[
\left.P=\sum_{j} \mid e_{j}\right)\left(e_{j} \mid .\right.
\]

Эта формула справедлива и для бесконечномерных подпространств, однако, поскольку здесь возникает бесконечный ряд операторов, необходимо уточнить понятие сходимости. Очевидно, сходимость по операторной норме здесь не подойдет, так как норма слагаемых не стремится к нулю:
\[
\left.\| e_{j}\right)\left(e_{j} \|=1\right. \text {. }
\]

Полезными эказываются два других типа сходимости. Последовательность операторов $\left\{X_{n}\right\}$ сходится к $X$ сильно, если $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|X_{n} \psi-X \psi\right|=0$ для любого вектора $\psi \in \mathscr{K}$, и сходится к $X$ слабо, если $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\varphi \mid X_{n} \psi\right)=(\varphi \mid X \psi)$ для любых $\varphi, \psi \in \mathscr{K}$. Для эрмитовых операторов это равносильно тому, что $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\psi \mid X_{n} \psi\right)=(\psi \mid X \psi), \psi \in \mathscr{K}$. Соотношение между этими типами сходнмости иллострируется диаграммой

Пусть $\left\{e_{j}\right\}$ — произвольная ортонормированная система в $\mathscr{K}$ и $\mathscr{K}_{1}$ — порождаемое ею (замкнутое) подпространство. Поскольку для любого $ч$ ряд векторов (1.9) сходится в $\mathscr{K}$, то ряд операторов (1.10) сходится сильно и определяет проектор на $\mathscr{K}_{1}$. В частности, для любого ортонормированного базиса в $\mathscr{K}$
\[
\left.I=\sum_{j} \mid e_{j}\right)\left(e_{j} \mid .\right.
\]

Это является равносильной записью векторного соотношения
\[
|\psi\rangle=\sum_{i}\left(e_{j}\right)\left(e_{j} \mid \psi\right), \quad \psi \in \mathscr{K},
\]

выражающего полноту системы $\{e\}$.
Используя (1.11), имеем для любого ограниченного оператора $X$ :
\[
\begin{aligned}
X=\left(\sum_{j} \mid e_{j}\right)\left(e_{j} \mid\right)^{X}\left(\sum_{k} \mid e_{k}\right)\left(e_{k} \mid\right) & = \\
& \left.=\sum_{j} \sum_{k} \mid e_{j}\right)\left(e_{j} \mid X e_{k}\right)\left(e_{k} \mid,\right.
\end{aligned}
\]

где имеется в виду сильная сходимость. Здесь ( $\left.e_{j} \mid X e_{k}\right)$ матричнье элементь оператора $X$; эта формула дает разложение ограниченного оператора в линейную комбинацию операторов ранга 1 — матричных единицу $\left\{\mid e_{j}\right)\left(e_{k} \mid\right\}$. Если $X$-оператор конечного ранга, то в подходящем базисе он имеет лишь конеqное число отличных от нуля матричных элементов.

Эрмитов оператор называется полольсиельньм (обозначается $X \geqslant 0$ ), если
\[
(\psi \mid X \psi) \geqslant 0, \quad \psi \in \mathscr{H} .
\]

Очевидно, что $X^{*} X \geqslant 0$ и $X X^{*} \geqslant 0$. Запись $X \geqslant Y$ означает, что $X-Y \geqslant 0$.

Следом положительного оператора $\boldsymbol{X}$ называется величина
\[
\operatorname{Tr} X=\sum_{\rho}\left(e_{j} \mid X e_{j}\right),
\]

где $\left\{e_{f}\right\}$-ортонормированвый базис в $\mathscr{K}$. Ряд состоит из неотрицательных слагаемых; как и в случае $\operatorname{dim} \mathscr{C}<\infty$, его сумма не зависит от выбора ортонормированного базиса, однако может быть бесконечной. Таким образом, если $X \geqslant 0$, $010 \operatorname{Tr} X \leqslant+\infty$.

Если $X$ — не-положительный оператор, то определение следа по формуле (1.14) может оказаться некорректным; однако существует важный класс ядерных операторсв, или операторов с конечным следом, для которых трудностей с определением следа не возникает. Мы рассмотрим этот класс в § 7, а пока заметим, что формула (1.14) дает корректное определение для следа оператора конечного ранга. В самом деле, для любого базиса $\left\{e_{j}\right\}$
\[
\sum_{j}\left(e_{j} \mid \varphi\right)\left(\Psi \mid e_{j}\right)=(\varphi \mid \varphi)
\]

откуда
так что
\[
\operatorname{Tr} \mid \varphi)(\psi \mid=(\boldsymbol{\varphi} \mid \varphi),
\]
\[
\operatorname{Tr}\left(\sum_{i} \mid \varphi_{j}\right)\left(\psi_{j} \mid\right)=\sum_{i}\left(\psi_{i} \mid \varphi_{j}\right) .
\]

Отсюда, согласно (1.4), получаем формулу для следа интегрального оператора в $\mathscr{L}^{2}(a, b)$ с вырожденным ядром $T(x, y)$ :
\[
\operatorname{Tr} T=\int_{a}^{b} T(x, x) d x .
\]

Из формул (1.17), (1.3) вытекают важные соотношения
\[
\operatorname{Tr} T^{*}=\overline{\operatorname{Tr} T}, \operatorname{Tr} T X=\operatorname{Tr} X T,
\]

которые будут обобщены в § 7 на более широкий класс операторов.