В реальном случае трехмерного координатного пространства роль фундаментальной группы симметрий играет полная галилеева группа преобразований (1.1) и речь идет сб описании всех неприводимых представлений этой группы. Однако специфика трехмерного случая в полной мере проявляется уже при рассмотрении группы кинематических преобразований
\[
\boldsymbol{\xi}^{\prime}=\boldsymbol{R} \boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{x}+\boldsymbol{\theta} t .
\]

Параметрами этой группы являются вектор переноса $\boldsymbol{x}$, относительная скорость $\boldsymbol{v}$ и матрица вращения $\boldsymbol{R}$, и задача заключается в описании всех неприводимых представлений $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}, R) \rightarrow \mathbb{W}_{\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{R}}$ этой группы.

Опишем конструкцию неприводимого представления, которая базируется на представлении подгруппы, отвечающей поступательным степеням свободы:
\[
\xi^{\prime}=\xi+x+\boldsymbol{\theta} t .
\]

Как в одномерном случае, можно показать, что всякое проективное представление $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}) \rightarrow W_{\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}}$ группы преобразований (12.2) может быть сведено к представлению канонического коммутационного соотношения Вейля – Сигала

Представление Шредингера для (12.3) в пространстве $\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}^{8}\right)$ эадается формулой
\[
W_{x, v} \psi(\xi)=\exp \left[i \mu v \cdot\left(\xi-\frac{x}{2}\right)\right] \psi(\xi-x) .
\]

Как и в одномерном случае, это представление неприводимо, и всякое неприводимое представление унитарно эквивалентно представлению Шредингера. Канонические наблюдаемые в этом представлении имеют вид $q_{j}=\xi_{j}$, $P_{j}=\hbar i^{-1} \frac{\partial}{\partial \xi_{j}} ; j=1,2,3$; они удовлетворяют коммутационным соотношениям Гейзенберга
\[
\left[q_{j}, p_{k}\right]=i \hbar \delta_{j k}, \quad\left[p_{j}, p_{k}\right]=\left[q_{j}, q_{k}\right]=0 ; j, k=1,2,3 .
\]

Для любого вращения $\boldsymbol{R}$ определим оператор $\boldsymbol{W}_{\boldsymbol{R}}$ в $\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$, полагая
\[
W_{R} \psi(\xi)=\psi\left(R^{-1} \xi\right) .
\]

Тогда $\boldsymbol{R} \rightarrow \mathbb{W}_{R}$, очевидно, является унитарным представлением группы вращений, а формула
\[
(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{R}) \rightarrow W_{x, v, R}=W_{x,
u} W_{R}
\]

определяет проективное представление группы (12.1) в $\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$. Это представление неприводимо, так как неприводимым является даже его ограничение на группу преобразований (12.2).

Как мы увидим далее, эта конструкция не исчерпывает всех неприводимых представлений кинематической группы; она отвечает так называемому случаю «нулевого спина». Рассмотрим этот случай подробнее.

Остановимся на действии представления (12.5) группы вращений в $\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$. Заметим, что всякое вращение является вращением вокруг некоторой оси $n$. В самом деле, вращение задается трехмерной ортогональной матрицей $\boldsymbol{R}$. Поскольку характериститеское уравнение для $\boldsymbol{R}$ имеет третий порядок, оно имеет хотя бы один вещественный корень. Қак все собственные числа ортогональной матрицы, этот корень равен по модулю единице. Поскольку рассматриваются лишь собственные вращения (det $R=1$ ), то мы приходим к заключению, что существует хотя бы одно собственное значение матрицы $\boldsymbol{R}$, равное единице. Если $\boldsymbol{n}$ – соответствующий собственный вектор, то $\boldsymbol{R} \boldsymbol{n}=\boldsymbol{n}$. Это означает, что ось $n$ остается неподвижной при преобразовании $\boldsymbol{R}$, так что $\boldsymbol{R}$ является вращением вокруг оси $\boldsymbol{n}$ на некоторый угол $\varphi$. Положим $\boldsymbol{R}=\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{n}, \varphi}$. Семейство $\left\{\boldsymbol{R}_{n, \varphi} ;-\infty<\varphi<\infty\right\}$ образует группу вращений вокруг фиксированной оси $n$, а операторы $V_{\varphi}=W_{R_{n, \varphi}}$ – представление этой группы, т. е. однопараметрическую группу унитарных операторов в $\mathscr{K}=\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$. По теореме Стоуна
\[
V_{\varphi}=\exp \left(-i \varphi L_{n} / \hbar\right),
\]

где $L_{n}$ – самосопряженный оператор. Чтобы найти выражение для $L_{n}$ в $\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$, достаточно рассмотреть вращения вокруг оси $n=n_{1} e_{1}+n_{3} e_{2}+n_{8} e_{2}\left(\sum_{i=1}^{3} n_{i}^{2}=1\right)$ на бесконечно малые углы $\varphi$. Нетрудно найти, что матрица такого вращения дается приближенным выражением
\[
R_{n, \varphi}^{-1} \approx I+\varphi\left[\begin{array}{ccc}
0 & n_{3} & -n_{2} \\
-n_{3} & 0 & n_{1} \\
n_{2} & -n_{1} & 0
\end{array}\right]=I+\varphi \sum_{j=1}^{3} n_{j} D_{j},
\]

где
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{I} & =\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right], \quad D_{1}=\left[\begin{array}{rrr}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0
\end{array}\right], \\
D_{2} & =\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right], \quad D_{3}=\left[\begin{array}{rrr}
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right] .
\end{aligned}
\]

В частности, матрица бесконечно малого вращения вокруг $j$-й координатной оси $e_{j}$ дается приближенным выражением $I+\varphi D_{j}$. Отсюда следует, например, для $e_{8}$
\[
\begin{aligned}
V_{\Phi} \psi\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}\right) & \approx \psi\left(\xi_{1}+\varphi \xi_{2}, \xi_{2}-\varphi \xi_{1}, \xi_{3}\right) \approx \\
& \approx\left[1-\varphi\left(\xi_{1} \frac{\partial}{\partial \xi_{2}}-\xi_{2} \frac{\partial}{\partial \xi_{1}}\right)\right] \psi\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}\right) .
\end{aligned}
\]

Поэтому на $\mathscr{U}(\mathbb{R})$
\[
n i^{-1}\left(\xi_{1} \frac{\partial}{\partial \xi_{1}}-\xi_{2} \frac{\partial}{\partial \xi_{1}}\right)=L_{3},
\]

где $L_{3}=L_{e_{1}}$, или
\[
q_{1} p_{2}-q_{2} p_{1}=L_{3},
\]

घ аналогично для $L_{1} \equiv L_{\varepsilon_{1}}, L_{2} \equiv L_{e_{1}}$. Вводя векторные обозначения $q=\left[q_{1}, q_{2}, q_{3}\right]$ и т. д., эти соотношения можно записать в виде
\[
\boldsymbol{q} \times \boldsymbol{p}=L,
\]

напоминающем определение у г ло в о гомомента (момента импульса) в классической механике. Рассматривая бесконечно малое вращение (12.6) вокруг оси $n$, получаем
\[
\sum_{j=1}^{3} n_{j} L_{j}=L_{n}
\]

Оператор $L_{n}$ называется наблюдаемой углового момента вокруе оси n. Из (12.9) можно получить соотношение
\[
W_{R_{n, \varphi}}=\exp \left[-\frac{i}{\hbar} \sum_{j=1}^{3} \varphi_{j} L_{j}\right],
\]

где $\varphi_{j}=\varphi e_{j}, j=1,2,3$, задающее в параметрической форме операторы представления $W_{R}$ через операторы углового момента относительно трех координатных осей $L_{1}$, $L_{2}, L_{3}$.

Используя коммутационные соотношения (12.4) и выражения (12.8) (или непосредственно аналитическое выражения для $L_{f}$ в $\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ ), получаем на $\mathscr{S}(\mathbb{R})$
\[
\left[L_{1}, L_{2}\right]=i \hbar L_{3}, \quad\left[L_{2}, L_{3}\right]=i \hbar L_{1}, \quad\left[L_{3}, L_{1}\right]=i \hbar L_{3} .
\]

Мы получили эти соотношения в конкретном представлении, однако можно показать, что на самом деле коммутационные соотношения (12.11) являются чисто алгебраическим следствием того факта, что операторы $\mathbb{W}_{R}=$ $=\exp \left[-\frac{i}{\hbar} \sum \varphi_{j} L_{f}\right]$ образуют представление группы вращений. Операторы $L_{1}, L_{2}, L_{3}$, подчиненные коммутационным соотношениям (12.11), порождают алгебру Ли группы вращений. Всякому конкретному представлению группы вращений отвечает конкретное представление алгебры Ли, т. е. операторов $L_{1}, L_{2}, L_{3}$. Алгебра Ли является более простым объектом, чем сама группа, поэтому можно надеяться получить описание всех представлений группы через представления алгебры Ли. Мы рассмотрим этот подход в § 13 .

Выделим в пространстве некоторую ось и будем рассматривать вращения на всевозможные углы $\varphi$ вокруг этой оси. Поскольку результаты вращений на углы, различающиеся на $2 \pi k$, не отличаются друг от друга, мы можем считать, что параметр $\varphi$ пробегает интервал $[0,2 \pi)$, рассматриваемый как группа сдвигов по модулю $2 \pi$. Тогда $\varphi \rightarrow V_{\varphi}=\exp (-i \varphi L / \hbar)$ является унитарным представлением этой группы (здесь $L$-оператор углового момента относительно выбранной оси). Пусть $S$-исходное состояние объекта, приготавливаемое установкой, которая имеет определенное положение в пространстве. Тогда состояние, приготавливаемое той же установкой, повернутой на угол $\varphi$ вокруг выделенной оси, дается соотношением
\[
S_{\varphi}=V_{\varphi} S V_{\varphi}^{*}, \quad 0 \leqslant \varphi<2 \pi .
\]

Измерение $\{M(B)\}$ со значениями в $[0,2 \pi)$, удовлетворяющее условию ковариантности
\[
V_{\varphi}^{*} M(B) V_{\Phi}=M\left(B_{-\varphi}\right) ; \quad B \in \operatorname{CE}([0,2 \pi)),
\]

где $B_{-\varphi}$-сдвиг множества $B$ по модулю $2 \pi$, можно рассматривать как измерение угла поворота-параметра $\varphi$ в семействе (12.12). Мы построим некоторое каноническое репение уравнения (12.12), ограничившись случаем нулевого спина.
Переходя к сферическим координатам
\[
\begin{array}{c}
x=\rho \sin \theta \cos \varphi, \quad y=\rho \sin \theta \sin \varphi, \quad z=\rho \cos \theta ; \\
\rho \geqslant 0, \quad 0 \leqslant \varphi<2 \pi, \quad 0 \leqslant \theta<\pi,
\end{array}
\]

и полагая $\psi(x, y, z)=\psi(\varphi, \theta, \rho)$, получим
\[
|\psi|^{2}=\iiint|\Psi(\varphi, \theta, \rho)|^{2} d \varphi(\sin \theta d \theta)\left(\rho^{2} d \rho\right) .
\]

Отсюда видно, что $\mathscr{K}=\mathscr{H}_{\varphi} \otimes \mathscr{K}_{\theta} \otimes \mathscr{K _ { \rho }}$, где $\mathscr{K}_{\varphi}=$ = $\mathscr{L}^{2}([0,2 \pi))$ а $\mathscr{K}_{\theta}, \mathscr{K}_{\rho}$-гильбертовы пространства функций от $\theta$ и $\rho$ с соответствующими весами. Выражение (12.7) для оператора углового момента можно записать в виде $L=\hbar t^{-1} \frac{\partial}{\partial \varphi}$. Этот оператор в пространстве $\mathscr{L}(\{0,2 \pi))$ с областью определения
\[
\mathscr{D}(L)=\left\{\psi: \psi(0)=\psi(2 \pi), \int_{0}^{2 \pi}\left|\frac{d}{d \varphi} \psi(\varphi)\right|^{2} d \varphi<\infty\right\}
\]

является самосопряженным *). Обозначим через (О эрмитов оператор умножения на независимую переменнную $\varphi$. Операторы $L$, Ф удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению
\[
[\Phi, L]=i \hbar \text {, }
\]
*) Это можно установить, переходя к пространству $l^{2}$ коэффициентов Фурье функций $\psi \in \mathscr{\mathscr { L }}^{2}([0,2 \pi)$ ) (cp. § IV.9).

однако не на $\mathscr{D}(L)$, а на более узком множестве $\mathscr{D}_{0}(L)=$ $=\left\{\psi: \psi(0)=\psi(2 \pi)=0, \int_{0}^{2 \pi}\left|\frac{d}{d \varphi} \psi(\varphi)\right|^{2} d \varphi<\infty\right\}$, поскольку оператор $Ф$ выводит функцию $\psi \in \mathscr{D}(L)$ за пределы этого подпространства.

Более полезным является унитарный оператор $U=e^{i \Phi}$, удовлетворяющий соотношению
\[
V_{\varphi}^{*} U V_{\varphi}=e^{i \varphi} U .
\]

Вводя дискретную унитарную группу $U^{m} ; m=0, \pm 1, \ldots$, получим аналог коммутационных соотношений для фазы (cм. §10)
\[
\begin{array}{c}
V_{\varphi}^{*} U^{m} V_{\varphi}=e^{i m \varphi} U^{m}, \quad U^{m} V_{\varphi} U^{-m}=e^{i m \varphi} V_{\varphi} ; \\
0 \leqslant \varphi<2 \pi, m=0, \pm 1, \ldots
\end{array}
\]

Рассмотрим спектральное разложение
\[
\Phi=\int_{0}^{2 \pi} \varphi E(d \varphi), \quad U=\int_{0}^{2 \pi} e^{i \varphi} E(d \varphi)
\]

Ортогональное разложение единицы
\[
E(B)=1_{B}(\varphi) ; B \in \operatorname{et}([0,2 \pi)),
\]

удовлетворяет соотношению ковариантности (12.13). Таким образом, измерение параметра угла вращения может быть описано ортогональным разложением единицы и эрмитов оператор $Ф$ (или унитарный оператор $U$ ) определяет каноническую наблюдаемую угол поворота.

Возвращаясь к декартовым координатам и предполагая, что осью вращения является $\boldsymbol{e}_{3}$, мы можем записать разложение единицы (12.15) в виде
\[
E(B)=\mathbf{I}_{K(B)}\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}\right),
\]

где $K(B)$ – клин в трехмерном пространстве, описываемый соотношениями
\[
\begin{array}{l}
K(B)=\left\{\left[\xi_{1}, \xi_{3}, \xi_{3}\right]:-\infty\right.<\xi_{3}<\infty, \xi_{1}=r \cos \varphi, \\
\left.\xi_{3}=r \sin \varphi, 0 \leqslant r<\infty, \varphi \in B\right\} .
\end{array}
\]