Во всяком эксперименте можно условно выделить две основные стадии. В первой стадии — приготовления — устанавливаются исходные ус.овия, задаются «входные данные» эксперимента. В следующей стадии — измерения определенным образом приготовленный объект или система взаимодействует с тем или иным измерительным прибором, результатом чего в каждом индивидуальном эксперименте является определенный исход — выходные данные эксперимента.

Важнейшим требованием, которому должен удовлетворять любой научный эксперимент, является воспроизводимость, возможности неограниченного повторения данного измерения в данных условиях.

Рассмотрим последовательность одинаковых и независимых повторений некоторого эксперимента. Исходы подобных индивидуальных экспериментов, как правило, будут не строго одинаковы, а подвержены случайному разбросу, амплитуда которого варьируется в зависимости от характера эксперимента и природы исследуемого объекта. Таким образом, результаты эксперимента определяются обеими стадиями, однако эта зависимость обычно не является детерминированной, а носит статистический характер. Для классических объектов, описываемых в терминах фазового пространства, выразить это обстоятельство позволяет язык теории вероятностей.

Обозначим $\omega$ полный набор переменных, характеризующих классический объект. Множество всевозможных конкретных значений $\omega$ образует фазовое пространство объекта $\mathrm{\Omega }=\{\omega \}$.

Приготовление любого физического состояния объекта осуществляется некоторым прибором, который в силу особенностей своего устройства либо просто из-за своего несовершенства не может обеспечить точного воспроизведения значений всех параметров для различных представителей одного и того же объекта. Наконец, объект может характеризоваться таким огромным числом переменных, что обеспечить контроль за всеми ими не представляется никакой реальной возможности. Предполагается, однако, что разброс приготовленных значений $\omega$ обладает определенной статистической устойчивостью, характеризуемой распределением вероятностей $P$. Это распределение вероятностей, сопоставляющее элементарному объему $d\omega \subset \mathrm{\Omega }$ его меру $P(d\omega )$, и называется состоянием объекта.

Таким образом, данное определение состояния, по существу, является статистическим и отражает возможность флуктуаций параметров объекта. Его реальное содержание состоит в том, что если рассмотреть «ансамбль», т. е. большую (потенциально неограниченную) совокупность независимых представителей данного объекта, то доля тех представителей, для которых значение $\omega$ лежит в некотором подмножестве $B\subset \mathrm{\Omega }$, будет близка к своему теоретическому значению $P(B)$.

Возьмем два ансамбля, соответствующие состояниям $P_1$ и $P_2$, состоящие каждый из $N$ представителей, и образуем новый ансамбль из $pN$ представителей первого ансамбля и $(1-p)N$ представителей второго ансамбля, где $0<p<1$. В соответствии с данной выше частотной интерпретацией новый ансамбль будет описываться состоянием $P=p{P}_1+$ $+(1-p)P_2$, которое называется смесью состояний $P_1$ и $P_2$ в пропорции $p:(1-p)$. Аналогично вводится смесь любого конечного семейства состояний. Можно рассматривать и непрерывные смеси вида $\int \pi (d\alpha )P_{\alpha }(d\omega )$, где $\pi (d\alpha )-$ некоторое распределение вероятностей. Такие смеси могут описывать состояния, приготовляемые прибором с флуктуирующим параметром $\alpha$.

Если представлять себе состояния как элементы (точки) некоторого множества, то смеси состояний $P_1$ и $P_2$ во всевозможных пропорциях будут заполнять отрезок, соединяющий точки $P_1$ и $P_2$. Такие множества, которые вместе с любыми двумя своими точками содержат и соединяющий их отрезок, называются выпуклыми. Таким образом, множество состояний, которое будем теперь обозначать $\mathbf{S}(\mathrm{\Omega })$, является выпуклым. Точка выпуклого множества называется крайней, если она не лежит внутри отрезка, принадлежащего этому множеству (на рис. 1 крайние точки обозначены серым цветом). Крайним точкам множества состояний соответствуют чистые состояния, которые нельзя представить в виде смеси других состояний. В классической картине
Рис. 1

чистыми состояниями являются вырожденные распределения вероятностей, сосредоточенные в точках $\omega$ фазового пространства.

Чтобы это пояснить, рассмотрим простейший случай, когда $\mathrm{\Omega }$ состоит из конечного числа точек: $\mathrm{\Omega }=$ $=\{{\omega }_1,\dots ,{\omega }_N\}$. В этом случае состояние $P$ задается конечным распределением $[p_1,\dots ,p_N]$, где $p_j⩾0,\sum _j{p}_j=1$. Чистые состояния — это вырожденные распределения вероятностей $[1,0,\dots ,0],\dots ,[0,\dots ,0,1]$. Рис. 2 иллюстрирует эту ситуацию для $N=3$.

Важная теорема выпуклого анализа утверждает, что во всяком достаточно регулярном выпуклом множестве любая точка может быть представлена как смесь крайних точек. Если это можно сделать единственным образом, то множество
Рис. 2
называется симплексом. Такое положение, очевидно, имеет место в рассмотренном выше примере. Это верно и в случае произвольного фазового пространства $\mathrm{\Omega }$, если допускать произвольные «непрерывные» смеси состояний. Таким образом, при отсутствии каких-либо априорных ограничений $\mathrm{S}(\mathrm{\Omega })$ в классической картине эксперимента образует симплекс, т. е. множество, в котором всякое состояние является однозначной смесью чистых состояний, соответствующих точной фиксации всех параметров объекта.

Заключительная стадия эксперимента состоит в измерении некоторой величины $X$. В идеальном случае измерение не вносит каких-либо дополнительных погрешностей, т.е. сводится к наблюдению. Наблюдаемая (величина) $X$ определяется тогда функцией, которая относит каждому возможному $\omega \in \mathrm{\Omega }$ ее «объективное» значение $X(\omega )$. Произведя наблюдение $X$, можно вычислить исходы наблюдений величин $f(X)$ (где $f$ — любая функция), не прибегая к непосредственному наблюдению этих величин.

Пусть для простоты наблюдаемая $X$ может принимать конечное число значений $\left\{x_i\right\}$. Тогда
$$X(\omega )=\sum _i{x}_i{E}_i(\omega )$$

где $E_i(\omega )$ — индикатор подмножества ${\mathrm{\Omega }}_i\subset \mathrm{\Omega }$, на котором $X(\omega )$ принимает значение $x_i$, т. е. функция, равная 1 на ${\mathrm{\Omega }}_i$ и 0 вне ${\mathrm{\Omega }}_i$ (рис. 3). Семейство функций $E=\{E_i(\omega )\}$ образует ортогональное разложение единицы в $\mathrm{\Omega }$ :
$$\sum _i{E}_i(\omega )=1,E_i(\omega )E_j(\omega )=0\text{ при }ieqj,E_i(\omega {)}^2=E_i(\omega ).$$

Рис. 3
Рассмотрим теперь наблюдаемую $f(X(\omega ))$, где $f$ — любая вещественная функция. Очевидно, что
$$f(X(\omega ))=\sum _{i}f\left(x_i\right)E_i(\omega ).$$

Даже если все $x_i$ различны, среди чисел $f\left(x_i\right)$ могут оказаться совпадающие. Поэтому, чтобы уравнять в правах
соотношения (1) и (2), удобно с самого начала допустить возможность совпадения некоторых значений $x_i$. Тогда наблюдение (измерение без ошибок) будет задаваться разложением единицы $E$, а каждой наблюдаемой $X$ может соответствовать по формуле (1) множество способов наблюдения, отличающихся степенью «подробоности» разбиения фазового пространства $\mathrm{\Omega }$.

С операциональной точки зрения разложение единицы $E=\{E_i(\omega )\}$ отвечает разбиению исходного ансамбля на классы представителей, характеризующиеся свойством $\omega \in {\mathrm{\Omega }}_i$. С точки зрения статистики $E$ несет всю существенную информацию об измерении: вероятность $i$-го исхода в состоянии $P$ равна
$${\mu }_P^E(i)=P\left({\mathrm{\Omega }}_i\right)={\int }_{\mathrm{\Omega }}P(d\omega )E_i(\omega ).$$

Отсюда среднее значение наблюдаемой (1) в состоянии $P$ (математическое ожидание) есть ${\mathrm{M}}_p\{X\}={\int }_{\mathrm{\Omega }}P(d\omega )X(\omega )$.

Измерения, описываемые ортогональными разложениями единицы, являются детерминированными в том смысле, что безошибочно относят представителей ансамбля к тому или иному классу. Измерение с ошибками задается указанием вероятностей $M_i(\omega )$ i-го исхода для представителя, характеризующегося значением $\omega$, так что
$$\sum _i{M}_i(\omega )=1,M_i(\omega )⩾0.$$

Набор $M=\{M_i(\omega )\}$ образует разложение единицы в $\mathrm{\Omega }$, вообще говоря, неортогональное в том смысле, что $M_i(\omega )M_j(\omega )eq0$ при $ieqj$. При этом $M_i(\omega {)}^2⩽M_i(\omega )$. Вероятность $i$-го исхода в состоянии $P$ для такого измерения равна
$${\mu }_P^M(i)={\int }_{\mathrm{\Omega }}P(d\omega )M_i(\omega ).$$
Эта формула показывает, каким образом неопределенность исхода измерения в классической картине возникает из двух источников: из неопределенности в приготовлении состояния $P$ и из статистических погрешностей измерения $M$.

Разложение единицы $M$ дает лишь вероятности исходов измерения с ошибками, однако, зная эти вероятности, можно смоделировать статистическую реализацию измерения, используя датчик случайных чисел. Допустим, что имеется такой датчик, позволяющий получать значения случайной величины $\lambda$, равномерно распределенной на отрезке $\mathrm{\Lambda }=[0,1]$ (классическим примером может служить надлежащим образом градуированная рулетка). Опишем детерминированное измерение $E=\{E_i(\omega ,\lambda )\}$ над системой, состоящей из рассматриваемого объекта и датчика случайных чисел, статистически эквивалентное измерению $M=\{M_i(\omega )\}$ в том смысле, что для любого состояния $P$ вероятности всех исходов для измерений $M$ и $E$ одинаковы. Для этого разобьем фазовое пространство составной системы $\mathrm{\Omega }\times \mathrm{\Lambda }$ на подмножества ${\mathrm{\Omega }}_i^{\prime }=\{(\omega ,\lambda ):\sum _{k=1}^{i-1}{M}_k(\omega )<\lambda ⩽\sum _{k=1}^i{M}_k(\omega )\}$ и обозначим $E_i(\omega ,\lambda )$ индикатор подмножества ${\mathrm{\Omega }}_i^{\prime }$ (на рис. 4 приведено такое разбиение; длина серого отрезка равна $M_i(\omega ))$.
По самому построению имеем
$$\int d\lambda E_i(\omega ,\lambda )=M_i(\omega )$$

В самом деле, для данного $\omega$ указанный интеграл есть просто интеграл от $d\lambda$ в пределах от $\sum _{k=1}^{i-1}{M}_k(\omega )$ до $\sum _{k=1}^i{M}_k(\omega )$, т. е. $M_k(\omega )$ (см. рис. 4). Интегрируя это равенство по $P(d\omega )$, получаем
$${\mu }_P^M={\int }_{\mathrm{\Omega }}P(d\omega )M_i(\omega )={\int }_{\mathrm{\Omega }}{\int }_{\mathrm{\Lambda }}P(d\omega )d\lambda E_i(\omega ,\lambda )={\mu }_{P\times d\lambda }^E(i),$$

Рис. 4

что и означает статистическую эквивалентность измерений $M$ и $E$.

Процедура розыгрыша исхода с помощью датчика случайных чисел, введенная в статистику Вальдом, называется рандомизацией [21], и соответствующие измерения также могут быть названы рандомизованными.

С точки зрения статистики результаты эксперимента, состоящего в приготовлении состояния $P$ и последующем измерении $M$, полностью описываются распределением вероятностей исходов измерения ${\mu }_P^M=\{{\mu }_P^M(i)\}$. Отметим, что соответствие $P\to {\mu }_P^M$ обладает характеристическим свойством аффинности: если состояние $P$ является смесью состояний $P_1$ и $P_2$ в пропорции $p:(1-p)$, то распределение исходов ${\mu }_P^M$ является смесью распределений ${\mu }_{P_1}^M$ и ${\mu }_{P_2}^M$ в той же пропорции, ${\mu }_{p{P}_1+(1-p)P_2}^M=p{\mu }_{P_1}^M+(1-p){\mu }_{P_2}^M$.