Цель настоящего параграфа состоит в том, чтобы показать, что принцип галилеевой относительности позволяет описать не только кинематику квантовой частицы, но и все возможные динамики, т. е. развитие состояния во времени. Изложение будет неполным и нестрогим, так как аккуратное проведение доказательств с неограниченными операторами увело бы нас в сторону от основного содержания.

Для того чтобы охватить и временну́ю эволюцию квантового состояния, необходимо рассмотреть полную галилееву группу преобразований системы отсчета
\[
\begin{array}{l}
\xi^{\prime}=\xi+x+v \tau, \\
\tau^{\prime}=\tau+t .
\end{array}
\]

Каждое такое преобразование характеризуется тремя параметрами $(x, v, t)$, причем закон умножения дается формулой
\[
\left(x_{1}, v_{1}, t_{1}\right)\left(x_{3}, v_{3}, t_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}+v_{1} t_{3}, v_{1}+v_{3}, t_{1}+t_{2}\right) .
\]

Согласно общей схеме, мы должны найти всевозможные неприводимые проективные представления $(x, v, t) \rightarrow \mathbb{W}_{x, v, t}$ галилеевой группы. Основываясь на общей теории проективных представлений, можно показать, что за счет выбора несущественных числовых множителей соотношение (1.6) для галилеевой группы всегда можно привести к виду
$W_{x_{10}, \theta_{k 0}, t_{2}} W_{x_{10}, o_{n} t_{1}}=$

где $\mu
eq 0$. Ограничение этой формулы на группу кинематических преобразований $W_{x, v}=W_{x, v, 0} ;(x, v) \in R$, как и следовало ожидать, совпадает с каноническим коммутационным соотношением. Воспользуемся тем, что мы уже знаем описание представлений кинематической групиы и исследуем связь между кинематикой и динамикой, т. е. семейством $\left\{W_{x, \gamma}\right\}$ и однопараметрической унитарной группой временньхх сдвигов $V_{t}=W_{0,0, t} ; t \in R$. Пользуясь формулой (8.1), получаем соотношение
\[
V t
abla_{x, v} V_{t}=W_{x-\alpha t,
u}
\]

которое дает связь между $\left\{V_{t}\right\}$ и $\left\{W_{x,
u}\right\}$.

Полагая ядесь поочередно $x=0$ и $v=0$, получаем два основных соотношения:
\[
\begin{array}{l}
V f U_{0} V_{t}=W_{-\infty t, v} \\
V f V_{x} V_{t}=V_{x \cdot}
\end{array}
\]

Приведем эвристические аргументы, которые показывагот, то эти соотношения опрелеляот вид инфинитезимального оператора $H$ унитарной группы $V_{t}=e^{-t i H}$, задающей временную эволоцию состояния. Именно, из соотношения (8.2) вытекает, что
\[
H=\frac{p 2}{2 \mu}+v(Q),
\]
rие $\mathbf{v}(\cdot)$ — некоторая вещественная функция, а дополнительный учет (8.3) приводит к однозначно (с точностью до несущественной аддитивной постоянной) определенному гамильтониану
\[
H=\frac{P^{3}}{2 \mu} .
\]

Полагая $X=Q$ в формуле (2.6), имеем
\[
\frac{d}{d t} \mathrm{E}_{t}(Q)=\mathrm{E}_{t}(i[H, Q D .
\]

С другой стороны, учитывая, что $Q=\left.(i \mu)^{-1} \frac{d}{d \theta} U_{v}\right|_{0-0}$, и соотношение (8.2), получаем
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t} \mathrm{E}_{t}(Q)=\left.(i \mu)^{-1} \frac{\partial}{\partial \partial_{0}} \mathrm{E}_{t}\left(U_{0}\right)\right|_{0 \rightarrow 0} & = \\
& =\left.(i \mu)^{-1} \frac{\partial^{\sigma}}{\partial \tau \partial_{0}} \mathrm{E}_{t}\left(W_{-\sigma, v}\right)\right|_{\tau \rightarrow 0-0} .
\end{aligned}
\]

Согласно (5.5), $W_{-
u \tau, v}=\exp l(\mu v Q+
u \tau P)$, откуда
\[
\frac{d}{d t} E_{t}(Q)=\left.\frac{1}{\mu} \frac{d}{d \tau} E_{t}(\mu Q+\tau P)\right|_{\tau \rightarrow 0}=\frac{1}{\mu} E_{t}(P) .
\]

Сравнивая (8.6) и (8.7), имеем
\[
\frac{1}{\mu} \mathrm{E}_{t}(P)=\mathrm{E}_{t}(t[H, Q] \text {. }
\]

Тах как состояние $S_{t}$ произвольно, то мы имеем основание написать формальное соотношение
\[
\frac{1}{\mu} P=l[H, Q] \text {. }
\]

Это соотношение можно рассмитривать как линейное неоднородное уравнение относително $H$; его общее решение представляется в виде суммы частного решения $H_{0}$ и обдего решевия $v$ однородного уравнения
\[
[\mathrm{v}, Q]=\mathbf{0} \text {. }
\]

На рассматриваемом здесь формальном уровне общее решение этого уравнения имеет вид $v=v(Q)$, где $v(\cdot)$ — произвольная вещественная функция. Покажем, что можно взять $H_{0}$ в виде $H_{0}=\frac{p_{n}}{2 \mu}$. Для этого заметим, что для любой дифференцируемой функции $f(\cdot)$ имект место соотношения
\[
i[f(Q), P]=-f^{\prime}(Q), \quad i[Q, f(P)]=-f^{\prime}(P) .
\]

Первое соотвошение вытекает из того, что в представлении Шредингера $\left[f(x) \frac{d}{d x}-\frac{d}{d x} f(x)\right] \Psi(x)=-f^{\prime}(x) \Psi(x)$; второе совершенно аналогично получается в импульсном представлении. Полагая в вем $f(P)=\frac{P^{2}}{2 \mu}$, получаем $i\left[Q, \frac{P^{2}}{2 \mu}\right]=$ $=-\frac{P}{\mu}$, что и требовалось. Таким образом, мы получили (8.4) как формальное следствие (8.2). Условие (8.3) в терминах инфинитезимальных операторов имеет вид
\[
[H, P]=0 \text {, }
\]

откуда $v(Q)=$ const и $H=\frac{p \mathbf{p}}{2 \mu}+$ const.
Таким образом, требование галилеевой относительности однозначно определяет вид гамильтониана свободной квантовой частицы; если рассматривается движение во внешнем потенцнальном поле, не зависящем от времени, то условие пространственной однородности (8.3) следует опустить и требование ограниченной галилеевой относительности (8.2) дает общий вид гамильтониана во внешнем поле (8.4).

Установим теперь смысл константы $\mu$ и членов, входящих в гамильтониан. Рассмотрим состояние $S$, для которого распределение вероятностей наблюдаемой координаты (5.6) концентрируется вблизи среднего значения $E(Q)$. Высокая степень локализации в пространстве позволяет рассматривать квантовый объект в данном состоянии $S$ как ичастицу» с координапой $\mathrm{E}(Q)$. Согласно (8.7), скорость этой частицы
\[
\frac{d}{d t} \mathrm{E}_{t}(\mathrm{Q})=\mathrm{E}_{t}\left(\frac{P}{\mu}\right) ;
\]

это еще раз подтверждает, что оператор $P / \mu$ должен ассоцинроваться с наблодаемой скорости. Так как объект проявляет себя как классическая частица, то может быть экспериментально измерена его классическая массау $m$; классический импульс, который определяется как произведение массы на скорость, равен
\[
m \frac{d}{d t} \mathrm{E}_{t}(Q)=\mathrm{E}_{t}(t P),
\]

где $\boldsymbol{n}=\boldsymbol{m} / \boldsymbol{\mu}$. Таким образом, оператор $\boldsymbol{p}=\boldsymbol{n} \boldsymbol{P}$ представляет наблодаемую импульса. Дифференцируя это соотношенве, получаем согласно (2.6)
\[
m \frac{d^{2}}{d d^{2}} \mathrm{E}_{t}(Q)=\hbar \mathrm{E}_{t}(i[H, P D .
\]

По формулам (8.8), (8.4) получаем $t[H, P]=i[\mathrm{v}(Q), P]=$ — -v(Q), откуда вытекает куравневие Ньютона для расмитриваемого кпочти классического объекта
\[
m \frac{d^{n}}{d t^{2}} \mathrm{E}_{t}(Q)=-\mathrm{E}_{t}\left(\hbar \mathrm{v}^{\prime}(Q)\right) .
\]

Отсода видно, тто функшио $\hbar \mathrm{v}(Q)=V(Q)$ можно интерпретировать как хлассическую потенциальную энергию. Формулу (8.4) можно тогда рассматривать как аналог классической формулы
\[
E=\frac{p^{2}}{2 m}+V(q)
\]

представляющей полиую энергию частищы в виде сумамы кинетической и потенциальной. Полагая здесь
\[
p=\hbar P, \quad q=Q, \quad V(Q)=\hbar v(Q),
\]

получаем $E=h H$, где $\boldsymbol{H}$ — гамильтониан. Динамическое уравнение (2.4) в представлении Шредингера принимает вид
\[
t \frac{\partial \phi_{t}(x)}{\partial}=-\frac{\hbar}{2 m} \frac{\partial^{2} \psi_{t}(x)}{\partial x^{2}}+\frac{V(x)}{\hbar} \psi_{t}(x) .
\]
\
Отношение $h=m / \mu$ существенным образом входит в это уравнение и, следовательно, может быть определено из экспериментов, в которых обнаруживаются неклассические (волновые) свойства данного квантового объекта. Величина $\boldsymbol{\hbar}$ оказывается универсальной постоянной, пропорциональной постоянной Планка $h$, а именно $h=h / 2 \pi$. Наличие такой универсальной постоянной показывает, что существует некоторая естественная единица массы; постоянная $n$ есть коэффициент, связывающий единицу массы, принятую в классической физике, с этой естественной единицей. Если же условиться измерять массу в естественных единицах, то можно считать $\hbar=1$ и мы будем иногда польяоваться этим соглапением.