Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Цель настоящего параграфа состоит в том, чтобы показать, что принцип галилеевой относительности позволяет описать не только кинематику квантовой частицы, но и все возможные динамики, т. е. развитие состояния во времени. Изложение будет неполным и нестрогим, так как аккуратное проведение доказательств с неограниченными операторами увело бы нас в сторону от основного содержания. Для того чтобы охватить и временну́ю эволюцию квантового состояния, необходимо рассмотреть полную галилееву группу преобразований системы отсчета Каждое такое преобразование характеризуется тремя параметрами $(x, v, t)$, причем закон умножения дается формулой Согласно общей схеме, мы должны найти всевозможные неприводимые проективные представления $(x, v, t) \rightarrow \mathbb{W}_{x, v, t}$ галилеевой группы. Основываясь на общей теории проективных представлений, можно показать, что за счет выбора несущественных числовых множителей соотношение (1.6) для галилеевой группы всегда можно привести к виду где $\mu которое дает связь между $\left\{V_{t}\right\}$ и $\left\{W_{x, Полагая ядесь поочередно $x=0$ и $v=0$, получаем два основных соотношения: Приведем эвристические аргументы, которые показывагот, то эти соотношения опрелеляот вид инфинитезимального оператора $H$ унитарной группы $V_{t}=e^{-t i H}$, задающей временную эволоцию состояния. Именно, из соотношения (8.2) вытекает, что Полагая $X=Q$ в формуле (2.6), имеем С другой стороны, учитывая, что $Q=\left.(i \mu)^{-1} \frac{d}{d \theta} U_{v}\right|_{0-0}$, и соотношение (8.2), получаем Согласно (5.5), $W_{- Сравнивая (8.6) и (8.7), имеем Тах как состояние $S_{t}$ произвольно, то мы имеем основание написать формальное соотношение Это соотношение можно рассмитривать как линейное неоднородное уравнение относително $H$; его общее решение представляется в виде суммы частного решения $H_{0}$ и обдего решевия $v$ однородного уравнения На рассматриваемом здесь формальном уровне общее решение этого уравнения имеет вид $v=v(Q)$, где $v(\cdot)$ – произвольная вещественная функция. Покажем, что можно взять $H_{0}$ в виде $H_{0}=\frac{p_{n}}{2 \mu}$. Для этого заметим, что для любой дифференцируемой функции $f(\cdot)$ имект место соотношения Первое соотвошение вытекает из того, что в представлении Шредингера $\left[f(x) \frac{d}{d x}-\frac{d}{d x} f(x)\right] \Psi(x)=-f^{\prime}(x) \Psi(x)$; второе совершенно аналогично получается в импульсном представлении. Полагая в вем $f(P)=\frac{P^{2}}{2 \mu}$, получаем $i\left[Q, \frac{P^{2}}{2 \mu}\right]=$ $=-\frac{P}{\mu}$, что и требовалось. Таким образом, мы получили (8.4) как формальное следствие (8.2). Условие (8.3) в терминах инфинитезимальных операторов имеет вид откуда $v(Q)=$ const и $H=\frac{p \mathbf{p}}{2 \mu}+$ const. Установим теперь смысл константы $\mu$ и членов, входящих в гамильтониан. Рассмотрим состояние $S$, для которого распределение вероятностей наблюдаемой координаты (5.6) концентрируется вблизи среднего значения $E(Q)$. Высокая степень локализации в пространстве позволяет рассматривать квантовый объект в данном состоянии $S$ как ичастицу» с координапой $\mathrm{E}(Q)$. Согласно (8.7), скорость этой частицы это еще раз подтверждает, что оператор $P / \mu$ должен ассоцинроваться с наблодаемой скорости. Так как объект проявляет себя как классическая частица, то может быть экспериментально измерена его классическая массау $m$; классический импульс, который определяется как произведение массы на скорость, равен где $\boldsymbol{n}=\boldsymbol{m} / \boldsymbol{\mu}$. Таким образом, оператор $\boldsymbol{p}=\boldsymbol{n} \boldsymbol{P}$ представляет наблодаемую импульса. Дифференцируя это соотношенве, получаем согласно (2.6) По формулам (8.8), (8.4) получаем $t[H, P]=i[\mathrm{v}(Q), P]=$ – -v(Q), откуда вытекает куравневие Ньютона для расмитриваемого кпочти классического объекта Отсода видно, тто функшио $\hbar \mathrm{v}(Q)=V(Q)$ можно интерпретировать как хлассическую потенциальную энергию. Формулу (8.4) можно тогда рассматривать как аналог классической формулы представляющей полиую энергию частищы в виде сумамы кинетической и потенциальной. Полагая здесь получаем $E=h H$, где $\boldsymbol{H}$ – гамильтониан. Динамическое уравнение (2.4) в представлении Шредингера принимает вид
|
1 |
Оглавление
|