Основываясь на рассуждениях $§ 1$, введем следующее определение: ститистической моделью назовем совокупность, состоящую из некоторого выпуклого множества ( $)$ и некоторого класса $\mathfrak{M}$ аффинных отображений $S \rightarrow \mu_{S}$ множества Є в множества распределений вероятностей на различных пространствах $\mathcal{U}$. Элементы множества $\mathscr{G}$ называются состояниями, а отображения из $\mathfrak{M}$-измерениями. Проблему теоретического описания всякого объекта или явления, удовлетворяющего статистическому постулату, можно тогда сформулировать как задачу построения соответствующей статистической модели. Говоря подробнее, такое построение должно, во-первых, содержать описание математических объектов ( теоретических состояний) и $\mathfrak{l}$ (множества теоретических измерений) и, во-вторых, устанавливать правила соответствия между реальными процедурами приготовления и измерения и теоретическими объектами, т. е. задавать вложение экспериментальных данных в статистическую модель.

В классической теории вероятностей и математической статистике рассматриваются статистические модели, в которых множество состояний $\mathscr{O}$ имеет особо простую структуру. Квантовая теория имеет дело с радикально отличной статистической модель. Мы рассмотрим эти модели в следующих параграфах.

В этой главе мы часто будем проводить рассмотрения на измерениях с конечным числом значений. В этом случае число возможных результатов индивидуального измерения конечно и распределение вероятностей результатов измерения задается конечным набором аффинных вещественных функций $\left\{\mu_{S}(u) ; u \in U\right\}$ на $\bigodot$, удовлетворяющим условиям
\[
\mu_{S}(u) \geqslant 0, \quad u \in U ; \quad \sum_{u \in U} \mu_{S}(u)=1 .
\]

Здесь $\mu_{S}(u)$ – вероятность результата $u$ относительно состояния $S$. Для любого $B \subset U$
\[
\mu_{S}(B)=\sum_{u \in B} \mu_{S}(u) .
\]

Технически этот случай гораздо проще непрерывного и в то же время он позволяет понять основные положения теории. Практически измерения с конечным числом значений соответствуют измерительным процедурам, целью которых является некоторая классификация данных. В то же время легко представить себе, что измерения непрерывных величин могут быть аппроксимированы измерениями с конечным числом значений путем разбиения пространства $U$ на достаточно мелкие части.

Измерения с двумя значениями будут называться тестами. Обозначая один из результатов теста 1 , а другой -0 , получаем, что всякий тест определяется заданием одной функции на $\mathscr{G}$ – например, вероятности получения 1, так как $\mu_{s}(0)=1-\mu_{s}(\mathrm{l})$. Вероятность $\mu_{s}(1)$ является аффинным функционалом на $\mathcal{C}$, удовлетворяющим условию $0 \leqslant \mu_{s}(1) \leqslant 1$.

Пусть $S \rightarrow \mu_{s}(d u)$ – измерение с произвольным пространством значений $U$. Тогда всякому иэмеримому подмножеству $B \subset U$ можно сопоставить тест $S \rightarrow\left\{\mu_{S}(B)\right.$, $\left.\mu_{S}(B)\right\}$, результат которого равен 0 , если $и \in B$, и 1 , если $\boldsymbol{B} \in \boldsymbol{B}^{2}$. Таким орразом, всякое измерение можно рассматривать как определенным образом согласованное семейство тестов.