Рассмотрим статистическую модель ( $\mathbf{S}, \mathbf{M}$ ), которая является «классической» в том смысле, что состояния и измерения описываются в терминах некоторого фазового пространства, как в § 2. Однако удобно считать, что множество состояний не обязательно содержит все распределения вероятностей, а $\mathrm{M}$ – измерения всех наблюдаемых на $\Omega$; таким образом, допускается, что $\mathbf{S}$ и $\mathbf{M}$ могут определяться некоторыми априорными ограничениями типа дополнительности. Из-за этого модель ( $\mathbf{S}, \mathbf{M}$ ) может не быть отделимой: могут существовать различные распределения вероятностей $P_{1}$ и $P_{2}$, такие, что $\mu_{P_{1}}^{M}=\mu_{P_{2}}^{M}$ для всех измерений $M \in \mathbf{M}$, т.е. неразличимые с точки зрения статистики возможных
экспериментов. Точно так же могут существовать и неразличимые измерения. Объединяя такие неразличимые классические состояния и измерения в классы эквивалентности, получаем новую, уже отделимую, статистическую модель.

Описание состояний и измерений в новой модели «сжато» ровно настолько, чтобы сохранить вероятности результатов всевозможных допустимых экспериментов в исходной классической модели. «Склеивание» классических состояний геометрически выражается в проецировании множества $\mathbf{S}$ в некоторое множество $\widehat{\mathbf{S}}$ в пространстве «меньшей размерности». При этом даже если исходная модель допускает в качестве состояний всевозможные распределения вероятностей на $\Omega$, так что множество состояний $S$ совпадает с симплексом $\mathbf{S}(\Omega)$, его «проекция» $\widehat{\mathbf{S}}_{\text {в сжатой модели может }}$ принять форму произвольного выпуклого множества. Эта форма определяется множеством $\mathbf{M}$, т. е. характером ограничений на классические измерения.

В статистической механике важную роль играет понятие сокращенного описания, тесно связанного с вероятностным понятием частичной наблюдаемости. Представим себе, что из всех величин, относяцихся к классическому объекту с фазовым пространством $\Omega$, реально наблюдаемыми являются лишь величины $X_{1}, \ldots, X_{n}$, а также всевозможные измеримые функции этих величин. В данном случае множество $\mathbf{M}$ состоит из измерений всевозможных наблюдаемых вида $f\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)$. Классические состояния $P_{1}(d \omega)$ и $P_{2}(d \omega)$ неразличимы, если для соответствующих математических ожиданий выполняется условие $M_{P_{1}}\left\{f\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)\right\}=M_{P_{2}}\left\{f\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)\right\}$ для любых измеримых функций $f$ (это означает, что совпадают сужения $P_{1}$ и $P_{2}$ на $\sigma$-алгебру подмножеств $\mathbf{B}$, порожденную величинами $X_{1}, \ldots, X_{n}$ ). Классом эквивалентности состояний является, таким образом, произвольное распределение вероятностей $P\left(d x_{1}, \ldots, d x_{n}\right)$ на пространстве $\widehat{\Omega}$ значений величин $X_{1}, \ldots, X_{n}$, которое может быть принято за фазовое пространство сокращенного описания. При этом $\widehat{\mathbf{S}}=$ $=\mathbf{S}(\widehat{\Omega})$, т. е. симплекс $\mathbf{S}(\Omega)$ проццруется в симплекс $\mathbf{S}(\widehat{\Omega})$,
и классический характер описания сохраняется. Это обусловлено специфическими свойствами множества реальных наблюдаемых в схеме частичной наблюдаемости (оно совпадает с алгеброй, порожденной величинами $X_{1}, \ldots, X_{n}$ ). При этом проецирование симплекса происходит, грубо говоря, вдоль его граней и геометрическая картина множества состояний не нарушается. Таким образом, сокращение описания является важным специальным случаем сжатия.

С чисто иллюстративной целью рассмотрим теперь следующее видоизменение схемы частичной наблюдаемости: предположим, что реально наблюдаемыми являются только величины вида $f_{1}\left(X_{1}\right), \ldots, f_{n}\left(X_{n}\right)$, где $f_{1}, \ldots, f_{n}$ – произвольные функции. Таким образом, величины $X_{1}, \ldots, X_{n}$ по определению считаются несовместимыми наблюдаемыми. Тогда классические состояния $P_{1}$ и $P_{2}$ будут неразличимы, если выполняется условие:
\[
M_{P_{1}}\left\{f_{i}\left(X_{i}\right)\right\}=M_{P_{2}}\left\{f_{i}\left(X_{i}\right)\right\}
\]

для любых функций $f_{i}$ и для всех $i=1, \ldots, n$ (т.е. если $P_{1}$ и $P_{2}$ имеют одинаковые сужения на $\sigma$-алгебры $\mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{n}$, порожденные соответственно величинами $X_{1}, \ldots, X_{n}$ ). Классом эквивалентности является набор $\widehat{P}=\left[P_{1}\left(d x_{1}\right), \ldots, P_{n}\left(d x_{n}\right.\right.$; распределений вероятностей на пространствах значений величин $X_{1}, \ldots, X_{n}$. В этом случае $\widehat{\mathbf{S}}$ есть прямое произведение $n$ симплексов; в частности, если $X_{1}, \ldots, X_{n}$ – двузначные величины, то $\widehat{P}$ пробегает $n$-мерный куб. Таким образом, введение априорных ограничений на измерения способно радикально изменить характер выпуклой структуры множества состояний при переходе к сжатому отделимому описанию.

Доказано, что для любой достаточно регулярной отделимой статистической модели ( $\widehat{\mathbf{S}}, \widehat{\mathbf{M}}$ ) существует классическая модель, для которой $(\widehat{\mathbf{S}}, \widehat{\mathbf{M}})$ дает сжатое описание в определенном выше смысле [20]. В этом смысле для любой отделимой модели существует некоторое формальное классическое описание. Не означает ли это, что имеется
принципиальная возможность введения скрытых параметров в произвольной статистической модели, в частности и в квантовой механике? Чтобы разобраться в этом вопроce, надо проанализировать требования, которые могут быть предъявлены к теории со скрытыми параметрами. Их можно условно разделить на две категории. К первой относятся «минимальные» требования, вытекающие из общих свойств статистического описания эксперимента. Их мы и рассмотрим в первую очередь, поскольку почти все попытки математических «доказательств невозможности» по видимости апеллировали лишь к таким требованиям. Мы увидим, что на самом деле эти доказательства опираются на некоторые дополнительные предположения, не имеющие безусловной физической мотивации. Более того, на примере квантовой механики будет продемонстрирована возможность классического описания, удовлетворяющего минимальным статистическим требованиям.

Другую категорию составляют требования, в большей мере используюцие специфику квантовомеханической модели. Именно среди них и находится главный камень преткновения для теории со скрытыми параметрами.