Чистые состояния $S=S_{\psi}$, для которых достигается знак равенства в соотношении неопгеделенностей (4.7), называются состояниями нинимальной неопределенности. Согласно (II.6.8) это имеет место тогда и только тогда, когда для некоторого вещественного $c$
\[
[(Q-Q)+i c(P-P)] \psi=0 \quad(Q=E s(Q), P=E s(P)) .
\]

Покажем, что для каждого $c>0$ это уравнение имеет существенно единственное решение $\psi \in \mathscr{L}^{2}(-\infty, \infty)$.

В представлении Шредингера уравнение (6.1) принимает вид
\[
\left[(\xi-Q)+c\left(\frac{d}{d \xi}-i P\right)\right](\xi / \Psi)=0 .
\]

Решая его и используя условие нормировки $\int|(\xi \mid \psi)|^{2} d \xi=$ $=1$, получаем
\[
(\xi \mid \psi)=\frac{k}{\sqrt{\pi c}} \exp \left[i P \xi-\frac{(\xi-Q)^{2}}{2 c}\right],
\]

где $|k|=1, c>0$. Полагая $k=\exp \left(-\frac{i Q P}{2}\right), c=2 \sigma^{2}$ и обозначая соответствующий вектор состояния $\left.\mid P, Q ; \sigma^{a}\right)$, имеем
\[
\left(\xi \mid P, Q ; \sigma^{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \left[i P\left(\xi-\frac{Q}{2}\right)-\frac{(\xi-Q)^{2}}{4 \sigma^{2}}\right] .
\]

Смысл параметров $P, Q, \sigma^{2}$ очевиден; $\boldsymbol{P}$ и $\boldsymbol{Q}$ являются средними значениями наблюдаемых $P$ и $Q$, а
\[
\sigma^{a}=\mathrm{D}_{s}(Q)=\left[4 \mathrm{D}_{s}(P)\right]^{-1} .
\]

Состояния минимальной неопределенности $\left.\mid \boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q} ; \sigma^{2}\right) \times$ $\times\left(\sigma^{2} ; \bar{Q}, \vec{P} \mid\right.$ называются иногда вволновыми пакетами». Особую роль играет основне состояние с нулевыми средними значениями
\[
\left(\xi \mid 0,0 ; \sigma^{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \left(-\frac{\xi^{2}}{4 \sigma^{2}}\right) .
\]

Вектор состояния $\left.\mid P, Q ; \sigma^{2}\right)$ получается из основного действием оператора сдвига $\mathbb{W}_{\bar{Q}, P / \mu}$ :
\[
\left.\left.\mid P, Q ; \sigma^{2}\right)=W_{\bar{Q}, \bar{P} / \mu} \mid 0,0 ; \sigma^{2}\right) .
\]

Покажем, что для любого фиксированного $\sigma^{2}$ семейство векторов $\left.\left\{\mid \vec{P}, \bar{Q} ; \boldsymbol{O}^{2}\right) ;(P, \bar{Q}) \in \mathrm{R}^{2}\right\}$ обладает свойством полноты
\[
\left.\iint \mid P, Q ; \sigma^{2}\right)\left(\sigma^{2} ; Q, P \left\lvert\, \frac{d P d Q}{2 \pi}=1 .\right.\right.
\]

В отличие от формальных соотношений типа (II.3.12), (JI.4.16), это равенство, если понимать интеграл в смысле слабой сходимости, имеет непосредственное истолкование, так как $\left.\mid P, \bar{Q} ; \sigma^{2}\right)$ является обычным вектором гильбертова пространства. Однако эти векторы не ортогональны при различных значениях параметров $P, Q$; более того, между ними существуют линейные соотношения. Можно сказать, что семейство $\left.\left\{\mid \bar{P}, \bar{Q} ; \sigma^{2}\right)\right\}$ является кпереполненной системой векторов.

Свойство полноты (6.6) вытекает из так называемых соотношений ортогональности для неприводимых представлений канонических коммутационных соотношений. Подобные соотношения имеют общую природу и выполняются для неприводимого представления достаточно произв эльной группы. Мы установим эти соотношения, для интересующего нас частного случая, элементарными средствами.

Предложение 6.1. Пусть $(x, v) \rightarrow W_{x_{1},}$ – непрерывкое неприводимое представление канонических коммутачионкых соотношений (3.2) в пространстве $\mathscr{K}$. Матричные элемекти $\left(\psi \mid W_{x, v} \psi\right)$ являются квадратично-интегрируемьми функциями от $(x, 0)$. Если $\left\{e_{j}\right\}$-базис в $\mathscr{C}$, то функсции
\[
\left\{\sqrt{\frac{\mu}{2 \pi}}\left(e_{j} \mid \mathbb{W}_{x, e_{k}}\right)\right\}
\]

образуют базис в пространстое $\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}^{2}\right)$ комплексных квадратиино-иктегрируеных функции от $(x, v)$, так ито
\[
\frac{1}{2 \pi} \iint \overline{\left(e_{j} \mid W_{x, v} e_{h}\right)}\left(e_{l} \mid W_{x_{i},} e_{m}\right) d x d v=\frac{1}{\mu} \delta_{j l} \delta_{k m}
\]
(всюду имектся в виду ортонормированные базисы).
Доказательство. В силу теоремы Стоуна – фон Неймана мы можем иметь дело с представлением Шредингера. Согласно (5.1), для любых $\varphi, \psi \in \mathscr{K}$
\[
\begin{array}{r}
\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\left(\varphi \mid W_{x, v} \psi\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{i x y}{2}} \int \overline{\varphi(\xi)} e^{d \xi^{\xi} \psi(\xi-x) d \xi}= \\
=\frac{1}{2 \pi} e^{-\frac{i x y}{2}} \iint \overline{\varphi(\xi)} \tilde{\psi}(\eta) e^{\left(\eta \xi \xi-i\left(\eta x-y^{*}\right)\right.} d \xi d \eta,
\end{array}
\]

где $\tilde{\psi}(\eta)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \psi(\xi) e^{-i \eta \xi} d \xi$, а $y=\mu v$. Так как $\varphi, \psi$
квадратично-интегрируемы, то $\boldsymbol{\psi}$ также квадратично-интегрируема и $\overline{\varphi(\xi)} \tilde{\psi}(\eta) e^{i \eta^{\xi}} \in \mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}^{2}\right)$. Поэтому интеграл в (6.8) имеет смысл как преобразование Фурье $\mathscr{F}$ квадратично-интегрируемой функции и функция ( $\varphi \mid W_{x, v} \Psi$ ) принадлежит $\mathscr{L}^{2}\left(\mathfrak{R}^{2}\right)$. Если $\left\{e_{j}\right\}$-базис в $\mathscr{K}$, то функции $\overline{e_{j}(\xi)} \tilde{e}_{k}(\eta) e^{i \eta \xi}$ образуют базис в $\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}^{2}\right)$. Поэтому их преобразования Фурье $\mathscr{F}\left[\tilde{e}_{j}(\xi) \tilde{e}_{k}(\eta) e^{i \eta \xi}\right]$ также образуют базис в $\mathscr{L}^{2}\left(\mathrm{R}^{2}\right)$. Следовательно, функции $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\left(e_{j} \mid W_{x,
u} e_{k}\right)=$ $=e^{\frac{i x y}{2}} \mathscr{F}\left[\overline{e_{j}(\xi)} \tilde{e}_{k}(\eta) e^{i \eta \xi}\right]$ образуют базис в пространстве $\mathscr{L}^{2}\left(\mathrm{R}^{2}\right)$ функций от переменных $x, y=\mu v$, откуда, в частности, следует (6.7).

Разлагая произвольные векторы $\varphi, \psi, \ldots$ по базису $\left\{e_{j}\right\}$, получаем
\[
\frac{\mu}{2 \pi} \iint \overline{\left(\varphi_{1} \mid W_{x, v} \psi_{1}\right)}\left(\varphi_{2} \mid W_{x,
u} \psi_{2}\right) d x d v=\overline{\left(\varphi_{1} \mid \varphi_{2}\right)}\left(\psi_{1}^{\prime} \psi_{2}\right) .
\]

Полагая $\psi_{1}=\psi_{2}=\psi$, где $(\phi ! \psi)=1$, получаем
т. e.
\[
\frac{\mu}{2 \pi} \iint\left(\varphi_{2}: W_{x, v} \psi\right)\left(\psi: W_{x, v} \varphi_{1}\right) d x d v=\left(\varphi_{y} \mid \varphi_{1}\right),
\]
\[
\left.\frac{\mu}{2 \pi} \iint W_{x, v} ! \Psi\right)\left(\Psi \mid W_{x, v}^{*} d x d v=I,\right.
\]

где интеграл понимается в смысле слабой сходимости. Таким образом, для любого единичного вектора $\psi$ семейство $\left.\left\{W_{x, v} \mid \psi\right) ;(x, v) \in \mathbb{R}^{8}\right\}$ является кпереполненной системой векторов. Это, в частности, верно и для семейства векторов состояний минимальной неопределенности, которые получаются из вектора основного состояния 10,$\left.0 ; \sigma^{9}\right)$.