Элементы пространств $\mathscr{L}^{2}$ естественно представляются бесконечными матрицами. Для простоты предположим сначала, что оператор плотности $\left.S=\sum_{i} s_{j} \mid \psi_{j}\right)\left(\psi_{j} \mid\right.$ невырожден, так что $s_{j}>0$. Тогда семейство матричных единии
\[
\left.E_{j k}=! \psi_{j}\right)\left(\psi_{k}\right.
\]

образует ортогональный базис в пространствах $\mathscr{L}_{ \pm}^{2}(S)$, $\mathscr{L}^{2}(S)$, причем
\[
\left\langle E_{f k}, E_{f k}\right\rangle_{s}^{t}=s_{i},\left\langle E_{f k}, E_{f k}\right\rangle_{s}=s_{k},\left\langle E_{f k}, E_{i k}\right\rangle_{s}=\frac{1}{2}\left(s_{f}+s_{k}\right) .
\]

Докажем это для $\mathscr{L}^{2}(S)$ Для любого $X \in \mathscr{L}^{2}(S)$ $\left\langle E_{j k}, X\right\rangle_{S}=\frac{1}{2}\left(s_{j}+s_{k}\right)\left(\psi_{j} \mid X \psi_{k}\right)$, так что
\[
\left(\psi_{j} \mid X \psi_{k}\right)=\frac{\left\langle E_{j k}, X\right\rangle_{S}}{\left\langle E_{i k}, E_{j k}\right\rangle_{S}} .
\]

Полнота системы $\left\{E_{j k}\right\}$ следует из того, что равенство $\left\langle E_{f k}, X\right\rangle_{S}=0$ для всех $j, k$ влечет $X \psi_{k}=0$ для всех $k$, т. е. $X=0$ в $\mathscr{L}^{2}(S)$.
Имеет место разложение побазису $\left\{E_{i k}\right\}$ :
\[
\left.X=\sum_{k k} x_{i k} E_{k k}=\sum_{j k} x_{j k,} \psi_{j}\right)\left(\psi_{k} i^{\prime}\right.
\]

где $x_{1 k}=\left(\psi_{j}: X \psi_{k}\right)$ и ряд сходится в $\mathscr{L}^{2}(S)$. Таким образом, всякий квадратично-суммируемый оператор $X$ однозначно (с точностью до эквивалентности) представляется матрицей $\left[\left(\psi_{j}, X \psi_{k}\right)\right]$. Это является некотојым обобщением матричного представления (1.13) на неограниченные операторы.

Рассмотрим вещественное пространство $\mathscr{L}_{h}(S)$. Поскольку $\mathscr{L}_{h}(S) \subset \mathscr{L}^{2}(S)$, разложение (10.1) имеет место и для $X \in \mathscr{L}_{h}^{h}(S)$, однако это не будет разложением в $\mathscr{L}_{h}(S)$, так как операторы $E_{j k}$ не эрмитовы и козффнциенты $x_{j k}$ комплексны. Позтому введем новую систему
\[
C_{i k}=\frac{1}{2}\left(E_{i k}+E_{j k}^{*}\right), \quad S_{j k}=\frac{1}{2 i}\left(E_{j k}-E_{j k}^{*}\right) .
\]

Легко проверяется, что $\left\{C_{j k}, j \leqslant k ; S_{j k}, j<k\right\}$ образуют ортогональный базис в $\mathscr{L} h(S)$ и для $X \in \mathscr{L}(S)$ имеет место разложение
\[
X=\sum_{j \leqslant k} \alpha_{j k} C_{j k}+\sum_{j<k} \beta_{j k} S_{j k}
\]

где $\alpha_{j k}, \beta_{j k}$ – вещественны.
Пусть теперь некоторые собственные значения $s$; оператора плотности $S$ равны нулю. Условимся обозначать через $J_{0}$ множество индексов $j$, для которых $s_{j}=0$, а через $J_{1}$ – остальные индексы, и будем считать, что $s_{j}$ занумерованы так, что сначала идут ненулевые собственные значения. Тогда $S$ представляется диагональной блочной матрицей

Рассмотрим $\mathscr{L}_{+}^{2}(S)$. Поскольку $\left\langle E_{j k}, E_{j k}\right\rangle s=0$ при $j \in J_{0}$, то ортогональный базис в $\mathscr{L}_{+}^{z}(S)$ образуют операторы $E_{j k}$; $j \in J_{1}, k \in J_{0} \cup J_{1}$. Следовательно, всякий элемент $\mathscr{L}_{+}^{*}(S)$ представляется матрицей вида

где блоки $X_{11}, X_{10}$ соответствуощие строкам с индексом $j \in J_{1}$, фиксированы, а остальные блоки, обозначенные символом $\sim$, произвольны (в частности, можно считать их нулевымн). Аналогично, элементы $\mathscr{L}^{9}(S)$ представляются матрицами вида
Поскольку $\left\langle E_{j k}, E_{j k}\right\rangle_{s}=\frac{1}{2}\left(s_{j}+s_{k}\right)=0$ тогда и только тогда, когда $j \in J_{0}, k \in J_{0}$, то базис в $\mathscr{L}^{2}(S)$ образуют операторы $E_{j k} ;(j, k) \in J_{0} \times J_{0}$. Следовательно, элементы $\mathscr{L}^{2}(S)$ представляются матрицами вида
\[
X=\left[\begin{array}{l:l}
X_{11} & X_{10} \\
\hdashline X_{01} & \sim
\end{array}\right] .
\]

Для элементов $\mathscr{L}(S)$ эта матрица удовлетворяет дополнительному условию эрмитовости $X_{\mathrm{in}}^{*}=X_{11}, X_{\mathrm{i}}^{*}=\boldsymbol{X}_{01}$.

Особенно простую структуру имекот эти пространства в случае чистого состояния $\left.S=\mid \psi_{1}\right)\left(\psi_{1} \mid\right.$. Тогда элементы пространства $\mathscr{L}_{+}^{2}(S)$ можно рассматривать как векторыстроки:
\[
X=\left[\begin{array}{lll}
x_{11} & x_{10} & \cdots \\
& \sim & \cdots
\end{array}\right], \sum_{j}\left|x_{1 j}\right|^{2}<\infty .
\]

Всли условиться считать несущественные козффициенты равньми нулю, то получается представление $X=\mid \psi_{1}$ ) ( $\psi \mid$, $\Psi \in \mathscr{K}$, так что $\mathscr{L}_{+}(\mathcal{S})$ оказывается изоморфным пространству непрерывных линейных функцноналов на $\mathscr{C}$. Аналогично, элементы пространства $\mathscr{D}^{\circ}(S)$ можно рассматривать как матрицы вида
\[
X=\left[\begin{array}{cc}
x_{11} & \\
x_{\mathrm{n}} & \sim \\
\vdots &
\end{array}\right] \text {, }
\]
изоморфно $\mathscr{C}$. Наконец, элементы $\mathscr{L}^{2}(S)$ представляются в виде
\[
X=\left[\begin{array}{ccc}
x_{11} & x_{13} & \cdots \\
x_{11} & \sim & \\
\vdots & &
\end{array}\right] \text {, }
\]
т. е. $\left.X=\mid \psi_{1}\right)(\varphi|+| \psi)\left(\psi_{1} \mid\right.$, где $\varphi, \psi \in \mathscr{K}$. Элементы $\mathscr{L} h(S)$ представляются эрмитовыми матрицами вида (102), т. e.
\[
\left.X=\mid \psi_{1}\right)(\psi|+| \psi)\left(\psi_{1} \mid, \quad \psi \in \mathscr{K},\right.
\]

Рассмотрим гильбертово пространство $\mathscr{L}(S)$; из предложения 9.1 вытекает, что форма $[Y, X]_{s}$ непрерывна на $\mathscr{L} \mathscr{S}(S)$. Поэтому существует ограниченный комплекснолинейный оператор $\mathfrak{D}$ в $\mathscr{L}(S)$ такой, что
\[
[Y, X]_{s}=\langle Y, D \cdot X\rangle_{s} .
\]

Оператор 2 назовем комиутачионным оператором состояния $S$. Неравенства 1), 2) предложевия 9.1 в терминах оператора $\mathfrak{D}$ принимают вид
\[
1 \pm \frac{l}{2} \mathfrak{D} \geqslant 0 \text { в } \mathscr{L}^{2}(S),
\]

откуда
\[
\left(1+\frac{1}{4} \mathfrak{D}^{2}\right)=\left(1+\frac{i}{2} \mathfrak{D}\right)\left(1-\frac{i}{2} \mathfrak{D}\right) \geqslant 0 .
\]

Так как формы $[Y, X]_{s}$ и $\langle Y, X\rangle_{s}$ вещественны на вещественном подпространстве $\mathscr{L}(\mathcal{S})$, то это подпространство инвариантно относительно оператора $D$. Рассматриваемый в $\mathscr{L}_{h}(S)$, этот оператор является ограниченным вещественно-линейным кососимметричным оператором, удовлетворяющим условию $1+\frac{1}{4} \mathfrak{D}^{2} \geqslant 0$. Тождество (8.9) в терминах $D$ принимает вид
\[
D \cdot I=0 .
\]

Дадим явное описание действия оператора $\mathfrak{D}$. Из (10.4), (8.5) и (8.7) вытекает, что для любого ограниченного $Y$ :
\[
i \operatorname{Tr}[X, S] \cdot Y^{*}=\operatorname{Tr}(\mathfrak{D} \cdot X \cdot S) \cdot Y^{*},
\]

откуда следует, что элемент $Z=\mathfrak{D} \cdot X \in \mathscr{L}^{\mathscr{D}}(S)$ является решением операторного уравнения
\[
Z \cdot S=i[X, S] .
\]

Пусть $\left\{s_{j}\right\}$ – собственные qисла, $\left\{\psi_{j}\right\}$ – ортонормированные собственные векторы оператора плотности $S$. Рассмотрим матричное представление
\[
X=\sum_{j k} x_{j k} E_{j k}
\]

где $x_{j k}=\left(\psi_{j} \mid X \Psi_{k}\right)$ и ряд сходится в $\mathscr{L}_{2}(S)$. Умножая уравнение (10.7) скалярно слева на $\psi_{j}$ и справа на $\Psi_{k}$, получаем
\[
\frac{1}{2}\left(s_{k}+s_{j}\right)\left(\psi_{j} \mid Z \psi_{k}\right)=i\left(s_{k}-s_{j}\right)\left(\psi_{j} \mid X \psi_{k}\right),
\]

откуда находятся матричные элементы оператора $Z=\mathfrak{D} \cdot X$;
\[
\left(\psi_{j} \mid Z \psi_{k}\right)=\frac{2 i\left(s_{k}-s_{j}\right)}{s_{k}+s_{j}}\left(\psi_{j} \mid X \psi_{k}\right) .
\]
Следовательно, действие оператора $\mathfrak{D}$ сводится к умножению матричных элементов $x_{i k}$ оператора $X$ на числа $\frac{2 i\left(s_{k}-s_{j}\right)}{s_{k}+s_{j}}$
\[
\mathcal{D}\left(\left[x_{i k}\right]\right)=\left[\frac{2 i\left(s_{k}-s_{j}\right)}{s_{k}+s_{i}} x_{i k}\right],
\]

так что базис $\left\{E_{j k}\right\}$ является базисом из собственных векторов оператора $D$ в $\mathscr{L}^{2}(S)$. Поэтому для любой функции $f$ действие оператора $f(\mathfrak{D})$ задается соотношением
\[
f(\mathcal{D})\left(\left[x_{j k} \mid\right)=\left[f\left(\frac{2 i\left(s_{k}-s_{j}\right)}{s_{k}+s_{j}}\right) x_{j k}\right] .\right.
\]

В частности,
\[
\begin{array}{l}
\left(1+\frac{i}{2} \mathfrak{D}\right)\left(\left[x_{i k}\right]\right)=\left[\frac{2 s_{j}}{s_{k}+s_{i}} x_{i k}\right], \\
\left.\left(1-\frac{i}{2} \mathfrak{D}\right)\left(\mid x_{i k}\right]\right)=\left[\frac{2 s_{k}}{s_{k}+s_{i}} x_{i k}\right], \\
\left(1+\frac{1}{4} \mathfrak{T}^{2}\right)\left(\mid x_{i k}\right]=\left[\frac{4 s_{k} s_{j}}{\left(s_{k}+s_{i}\right)^{2}} x_{j k}\right] .
\end{array}
\]

Отсюда вытекает полезное утверждение.
IIредложение 10.1. Если состояние $S$-точное (m. е. все $s_{1}>0$ ), то операторы $1 \pm \frac{i}{2} \mathfrak{D}, 1+\frac{1}{4} \mathfrak{D}^{2}$ мевьролддены.
Отметим также полезную формулу
\[
\left(1 \pm \frac{i}{2} \mathfrak{D}\right)^{-1}=\left(1+\frac{1}{4} \mathfrak{I}^{2}\right)^{-1}\left(1 \mp \frac{i}{2} \mathfrak{D}\right) .
\]

Комментарии к гл. II
§ 1. Систематическое изложение теории гильбертова пространтва см. в книгах: Ахиезер и Глазман [3], Рисс н Секефальви-Надь [86]. Модернизованное изложение функционального анализа, приспособленное к нуждам математической фнзики, дается в книге Рида и Сан̆мона [85]. Богатый дополнительный матернал можно найти в задачнике Халмоша [103]. Для свнешнего» произведения векторов в математической литературе используется менее выразительное обозначенне $\bar{\phi} \otimes \psi$.
§ 2. Обобщенные разложения единнцы (на прямоіi) гім.ін введены Карлеманом и подробно изучены Наймарком [71], [72]. Теорема 2,1 доказана в работе автора [115ј.

8§ 3, 4. Доказательства спектральных теорем для эрмитовых и самосопряженных операторов можно найти в упомянутых выше книrax. Теорема 4.1 дон.азана фон Нейманом и Стоуном. По поводу слектрального разложения симметричных операторов см. Наймарк [71], Ахиезер и Глазман [3]. Дираковское разложение по формальным собственным векторам получает строгое обоснование в теории оснащенных гильбертовых пространств (см. Гельранд и Виленкин [31], Боголюбов. Логунов, Тодоров [14]).
5 5. Tеорема 5.1 была доказана Наймарком в работе [72] путем явного построения ортогонального разложення единицы в прямой сумме копий нсходного пространства $\mathscr{K}$. Предложенные впоследствии более элегантнье доказательства (см., например, Ахнезер и Глаз. ман [3]) являются и более формальнымн. По поводу тензорного произведения гильбертовых простравств см. Рид и Саймон [85].

Понятие реализации и его связь с рандомизированными процедурами математической статистики обсуждались в работах автора [113], [115], [122]. Другая возможность возничновения неортогональных разложений и кперепалненных снстем векторов связана с так называемыми косвенныии нзмерениямн (Мантельштам [67]). При косвенном измерении объект $\mathscr{K}$ взанмодействует с кнзмерительным приборомо $\mathscr{K}$, который нахолится сначала в некотором «равновесном, состоянии ‘ $S_{1}$, затем с $\mathscr{H}_{1}$, снимаются показаннях, т. е. производится простое нзмерение $E_{1}(d u)$ в пространстве $\mathscr{H}_{1}$. Нетру но показать (ср. Краус [55]), что распределенне вероятностей результатов такой измерительной процедуры также опнсквается, вообще говоря, неортогональным разложеннем еднннцы в пространстве $\mathscr{\mathscr { H }}$.

Мы оставляем в стороне вопрос о возможном механизме переноса ннформации с микроскопического на макроскопический уровень. Интересвая точка зрения на этот вопрос развивается в работе Xеппа [110]. Поскольку измерительный прибор является макроскопическим объектом, т. е. снстемой с практически бесконечным числом степеней сво боды, для его описания привлекаются специальные алгебры наблю. даемьх. Для таких алгебр существуют так называемые дизъюнктные, нли акахроскопически различимые, состояния. Взаимодействие микрообъекта с прибором переводит последний в одно из дизъюнктных состояннй, отвечающвх некоторому эначению $и$ результатов эксперимента. В работе Хеппа рассматрнвается ряд конкретных моделей, убедительно иллюстрирующнх эту картину.
§ 6. Формальное соотношенне неопреуеленностей для пронзвольных наблюдаемых было установлено Робертсоном [87], который обобщил соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса. Предложенне 6.1 доказано в книге Дэвиса [39]. Обсуждеtие совместной измеримости с другнх точек зрения можно найти у фон Неймана [101], Урбаника [95], Варадарайана [22]. Относнтельно совместного спектрального разложения и функционального исчисле ния нескольких коммутнруюдих операторов см. Рисс и Секефальви Надь [86].
7. Ядерные операторы и операторы Гильберта-Шмидта рассмат риваотся в книге Рида и Саймона [85]. Более подробное изложенне читатель найдет у Шаттена [129], а также Гельфанда и Виленкина [31]. 8 8. Пространства $\mathscr{L}_{2}$ (S) были введены в работах автора [121], [123]. В последвей работе, где рассматривается случай произвольной алгебры фон НеИмана, содержнтся доказательство теоремы 8.1. Понятие квадратично-суммируемого оператора использовалось ранев в работах Холево [115] и Крауса и Шретера [56].
69. Строгое соотношение неопределенносте ия самосолрякенных операторов было получено Краусом и Шретером [56]. Конструкция интеграла (9.4) дается в работе [123].
8 10. Представлеине неограниченных операторов матрицами связано с известивмин трудностями (см., напришер, Ахиезер и Глазман [3]). Содержанне этого парагрха показывает, что в тех вопросах, где важны лишь євторые моменты, эти трудлости несущественны и удовлетворительное матричное представление вшеет место. Комиутационний оператор состояния бил введен в работах Холево [121], [123], те рьсематривались также состояння на алгебре фон Неймана. Сущеспует простое соотношение межиу коммутацнонным оператором и шодулярным оператором Тоинты-Такесаки [98]; см. [123].