Рассмотрим ограниченные операторы, диагональные в данном фиксированном базисе $\left\{e_{j}\right\}$ :
\[
\left.X=\sum_{j} x_{i} \mid e_{j}\right)\left(e_{j} \mid\right.
\]

где ряд сходится сильно. Любому свонству такого оператора $X$ отвечает некоторое свойство последовательности $\left\{x_{j}\right\}$ его собственных значений.
Норма оператора $X$ равна
\[
|X|=\sup _{i}\left|x_{j}\right| ;
\]

эрмитовость $X$ соответствует вещественности, а положительность-неотрицательности значений $x_{f}$. Любому классическому пространству последовательностей соответствует некоторый класс диагональных операторов. Пространство всех диагональных операторов с операторной нормой изоморфно пространству с ограниченных последовательностей с нормой (7.2). При этом операторам конечного ранга соответствуют последовательности с конечным числом ненулевых значений $x_{f}$. Заметим, что пополнение этого множества по норме (7.2) дает не все $c$, а подпространство $c_{0}$ последовательностей $\left\{x_{f}\right\}$, стремящихся к нулю. Поэтому пополнение по операторной норме множества диагональных операторов конечного ранга дает не все ограниченные операторы вида (7.1), а лишь операторы, у которых последовательность собственных значений стремится к нулю.
*) Материал, нзлагаемый в $\$ 10$ будет существенно использован только в гл. V, VI.
Другими важными пространствами последовательностей являются пространства $l^{1}$ и $l^{2}$, которым отвечают пространства диагональных операторов с нормами соответственно
\[
\left|X_{\mathbf{h}}=\sum_{\boldsymbol{j}}\right| x_{j}|=\operatorname{Tr}| X \mid,
\]

где $\left.|X|=\sqrt{X^{*} X}=\sum_{j}\left|x_{f}\right| \mid e_{f}\right)\left(e_{f} \mid\right.$, и
\[
\mid X_{h}=\sqrt{\sum_{i}\left|x_{j}\right|^{2}}=\sqrt{\operatorname{Tr} X^{*} X} .
\]

Мы собираемся определить ннекоммутативные аналоги этих пространств, не связанные с требованием диагональности, пополняя по соответствующим нормам пространство операторов конечного ранга.

Обозначим это пространство $\mathfrak{F}(\mathscr{O})$; пространство всех ограниченных операторов будет обозначаться $\mathfrak{B}(\mathscr{\mathscr { C }})$. Индекс $h$ внизу будет обоэначать соответствующие вещественные пространства эрмитовых операторов. Пополнением $\mathcal{g}(\mathscr{K})$ по операторной норме $|\cdot|$ является пространство ополне непрерыних операторов. Мы не будем обсуждать здесь своћства этого важного класса и отметим лишь, что для эрмитовых вполне непрерывных операторов справедлив аналог конечномерной спектральной теоремы: всякий такой оператор допускает спектральное разложение вида (7.1), где $\left\{e_{j}\right\}$ — базис из его собственных векторов, а $\left\{x_{f}\right\}$-собственные значения (стремящиеся к нулю).

Перейдем к аналогу пространства ${ }^{1}$. Если $X$-эрмитов оператор, то оператор $|X|$ определяется еоотношением (3.9); для произвольного ограниченного $X$ положим
\[
|X|=\sqrt{X * X}
\]

Так как $|X|^{2}=X^{*} X$, то для всех $\psi \in \mathscr{K}$ выполняется
\[
\|X|\boldsymbol{\psi} \|=| \boldsymbol{X} \boldsymbol{\psi} \mid \text {. }
\]

Заметим, что если $T \in \mathscr{F}(\mathscr{K})$, то $|T| \in \mathscr{F}(\mathscr{K})$. Положим
\[
|T \mathbf{h}=\operatorname{Tr}| T \mid \text {. }
\]

Докажем, что для любых $T, X \in 8(\mathscr{K})$
\[
|\operatorname{Tr} T X| \leqslant|T h \cdot| X \mid .
\]

Поскольку $|T|$-эрмитов оператор конечного ранга, то для него существует базис из собственных векторов $\left\{e_{j}\right\}$. Из (7.3) получаем $\left|T e_{j}\right|=\| T\left|e_{j}\right|=\left(e_{j}|| T \mid e_{j}\right)$, так что
\[
|\operatorname{Tr} T X|=\left|\sum_{j}\left(X^{*} e_{j} \mid T e_{j}\right)\right| \leqslant\left|X^{*}\right| \cdot \sum_{j}\left|T e_{j}\right|=|X| \cdot \mid T \mathbf{h}_{\mathbf{h}} .
\]

Полагая в (7.5) $X=E$, где $E$ — проектор ва подпространство, содержащее все векторы $\varphi_{j}, \psi_{j}$ из представления $\left.T=\sum_{j} \mid \varphi_{j}\right)\left(\psi_{j} \mid\right.$, имеем $T X=T$, так что
\[
|\operatorname{Tr} T| \leqslant|T|_{1} .
\]

Это неравенство показывает, что естественной областью определения следа должно быть пополнение пространства $\mathcal{\delta}(\mathscr{K})$ по норме $\mathbf{I} \cdot \mathbf{1}$. Сформулируем конечный peзультат.

Теорема 7.1. Соотношение (7.4) определяет норму ма $\mathcal{8}(\mathscr{K})$; пополнение 8 ( $\mathscr{K})$ по этой норме является банаховьм пространством $\boldsymbol{F}^{1}(\mathscr{K})$, которое состоит из ограниченных операторов $T$ таких, что $\operatorname{Tr}|T|<\infty$. Однозначное линейное непрерывное продоласение следа на $\mathfrak{F}^{1}(\mathscr{C})$ дается соотношением
\[
\operatorname{Tr} T=\sum_{j}\left(e_{j} \mid T e_{j}\right),
\]

где ряд сходится к одному и тому эсе эмачению для любого ортонормированного базиса $\left\{e_{\}}\right\}$.

Операторы класса $\mathfrak{T}^{1}(\mathscr{K})$ называются операторами с конечным следом или ядерными. Всякий ядерный оператор является вполне непрерывным. В самом деле, для $T \in \mathcal{F}(\mathscr{K})$
\[
|T| \leqslant \mid T h,
\]

так как, согласно (7.3) и (1.8), $|T|=\| T||=\sup _{\phi
eq 0} \frac{(\psi|| T \mid \psi)}{(\phi \mid \psi)} \leqslant$ $\leqslant \operatorname{Tr}|T|$. Поэтому пополнение $8(\mathscr{K})$ по норме $\mid \cdot \|_{1}$ содержится в пополнении $8(\mathscr{\mathscr { K }})$ по норме $1 \cdot 1$.

Отсюда следует, что всякий эрмитов ядерный оператор имеет спектральное разложение
\[
\left.T=\sum_{j} t_{j} \mid e_{j}\right)\left(e_{j} \mid\right.
\]

где ряд из собственных значений сходится абсолютно, так как $\sum_{j}\left|t_{j}\right|=\operatorname{Tr}|T|$. Ряд (7.6) сходится по норме $\mid \cdot h$; при этом
\[
\operatorname{Tr} T=\sum t_{i} .
\]

Полагая
\[
\left.T_{+}=\sum_{t_{j}>0} t_{j} \mid e_{f}\right)\left(e_{j}\left|, \quad T_{-}=-\sum_{0>t_{j}} t_{j}\right| e_{j}\right)\left(e_{j} \mid\right.
\]

имеем
\[
T=T_{+}-T_{-},|T|=T_{+}+T_{-},
\]

так что
\[
\|T\|_{1}=\operatorname{Tr} T_{+}+\operatorname{Tr} T_{-}=\left|T_{+} h_{1}+\right| T_{-} \mathrm{h}_{1} .
\]

Всякий положительный оператор с конечным следом является ядерным и, следовательно, допускает спектральное разложение (7.6) с $t_{j} \geqslant 0$. В частности, всякий оператор плотности имеет спектральное разложение (2.2).

Сопряженным к пространству последовательностей $l^{1}$ является пространство всех ограниченных последовательностей с. Основываясь на неравенстве (7.5), можно установить некоммутативный аналог этого факта.

Теорема 7.2. Если T-ядерный, $X$-ограниченный операторы, то TX и XT-ядерные операторы и имеют место соотношекия (1.18), (7.5). Банахово пространство $\mathscr{B}(\mathscr{K})$ является сопрялсенным $\approx$ банахову пространству нал на $\mathfrak{Y}(\mathscr{K})$ имеет вид $T \rightarrow \operatorname{Tr} T X$, где $X \in \mathscr{F}(\mathscr{K})$.

Для вещественных банаховых пространств эрмитовых операторов имеет место авалогичное утверждение: $\left(\mathcal{F}_{h}(\mathscr{K})\right)^{*}=\mathscr{F}_{h}(\mathscr{K})$. Рассмотрим выражение $\operatorname{Tr} T X$, задающее двойстенность пространств $\mathfrak{F h}(\mathscr{K})$ и $\mathfrak{F}_{h}(\mathscr{K})$. Оно обладает свойством, авалогичным тому, которое выражается леммой I.6.2: $\operatorname{Tr} T X \geqslant 0$ для өсех $T \geqslant 0$ тогда $u$ только тогда, козда $X \geqslant 0$. Отсюода, в частности, следует, что если $T \geqslant 0$ и $Y \geqslant X$, то $\operatorname{Tr} T X \leqslant \operatorname{Tr} T Y$.

Теперь мы можем доказать теорему 2.1. Пусть $S \rightarrow \mu_{s}-$ некоторое измерение. Рассмотрим вещественную линейную оболочку множества состояний $\mathscr{S}(\mathscr{K})$. Всякая линейная комбинация
\[
T=\sum_{i} t_{j} S_{i}
\]
операторов плотности является, очевидно, эрмитовым ядерным оператором. Обратно, пусть $T \in \mathfrak{T}_{h}(\mathscr{K})$; тогда согласно (7.7)
\[
T=t_{+} S_{+}-t_{-} S_{-},
\]

где $t_{ \pm}=\operatorname{Tr} T_{ \pm}, S_{ \pm}=\left(t_{ \pm}\right)^{-1} T_{ \pm}$- операторы плотности. Таким образом, линеиной оболочкой множества $\mathcal{O}(\mathscr{K})$ является пространство $\mathfrak{F}_{h}(\mathscr{\mathscr { C }})$ эрмитовых ядерных операторов.

Фиксируем множество $B$ и рассмотрим аффинный функционал $S \rightarrow \mu_{S}(B)$ на $\mathscr{C}(\mathscr{C})$. Продолжим его до линейного функционала на $\mathfrak{S}_{h}(\mathscr{C})$, полагая
\[
\mu(T)=\sum_{i} t_{j} \mu_{s_{j}}(B)
\]

если $T=\sum_{j} t_{j} S_{j}$. Корректность такого продолжения обосновывается как и в конечномерном случае (см. лемму I.6.1). Этот функционал непрерывен, так как
\[
|\mu(T)| \leqslant \mu\left(T_{+}\right)+\mu\left(T_{-}\right)=t_{+} \mu\left(S_{+}\right)+t_{-} \mu\left(S_{-}\right) \leqslant
\]
\[
\leqslant t_{+}+t_{-}=\operatorname{Tr}|T|=\mid T \|_{1} .
\]

Поэтому, согласно второй части теоремы 7.2 , существует ограниченный оператор $M(B)$ такой, что $\mu(T)=\operatorname{Tr} T M(B)$, в частности, $\mu_{S}(B)=\operatorname{Tr} S M(B)$. Из того, что $0 \leqslant \mu_{S}(B) \leqslant$ $\leqslant 1$, следует $0 \leqslant M(B) \leqslant I$, а из $\mu_{s}(\varnothing)=0, \mu_{s}(U)=1$ следует $M(\varnothing)=0, M(U)=\mathrm{I}$. Доказательство этих фактов совершенно аналогично конечномерному случаю и опирается на аналог леммы I.6.2. Для доказательства свойства 3) разложения единицы заметим, что для любого $S$ вероятность $\mu_{S}(B) \sigma$-аддитивна по аргументу $B$. Полагая $S=S_{\phi}$, имеем
\[
(\Psi \mid M(B) \Psi)=\sum_{j}\left(\Psi \mid M\left(B_{j}\right) \psi\right)
\]

для любого разбиения $\left\{B_{j}\right\}$ множества $B$, а это и означает выполнение свойства 3).

Обратно, пусть $\{M(B)\}$ — разложение единицы в $\mathscr{K}$. Тогда формула (2.3) определяет семейство аффинньх функционалов на $\mathcal{C}(\mathscr{K})$. Остается проверить лишь $\sigma$-аддитивность функции $\mu_{S}(\cdot)$, т. е. доказать, что из (7.8) следует
\[
\operatorname{Tr} S M(B)=\sum_{l} \operatorname{Tr} S M\left(B_{j}\right)
\]
для любого оператора плотности $S$. Рассмотрим спектральное разложение (2.2) оператора $S$. Тогда
\[
\operatorname{Tr} S M(B)=\sum_{k} s_{k}\left(\psi_{k} \mid M(B) \psi_{k}\right) .
\]

С другой стороны, в силу (7.8) $\left(\psi_{k} \mid M(B) \psi_{k}\right)=$ $=\sum_{j}\left(\psi_{k} \mid M\left(B_{j}\right) \psi_{k}\right)$. Умножая это равенство на $s_{k}$, суммируя по $k$ и меняя порядок суммирования по $/$ и $k$, что возможно в силу неотрицательности слагаемых, получаем (7.9).

Мы можем доказать также формулу (6.5) для среднего эначения. Используя (7.10), получаем
\[
\begin{array}{l}
\int f(x) \mu_{S}(d x)=\sum_{j} s_{f} \int f(x)\left(\psi_{j} \mid E(d x) \psi_{j}\right)= \\
=\sum_{j} s_{j}\left(\psi_{j} \mid f(X) \psi_{j}\right)=\operatorname{Tr} S f(X),
\end{array}
\]

причем перестановка суммирования и интегрирования законна в силу абсолютной сходимости ряда и ограниченности функции $f$.

Рассмотрим теперь некоммутативный аналог пространства $\mathfrak{f}$. На $\mathcal{f}(\mathscr{K})$ введем скалярное произведение
\[
\left(T_{1}, T_{2}\right)=\operatorname{Tr} T \uparrow T_{8}
\]

которому соответствует норма
\[
\mid T \mathrm{~b}_{\mathrm{b}}=\sqrt{(T, T)}
\]

Теорема 7.3. Пополнекие предеильбертова пространства $\mathcal{f}(\mathscr{K})$ со скалярньм проияведением (7.11) по морме раторов Гияьберта-ШІлидта, состоячим ия ограниненных олераторов $T$ maких, ито $\operatorname{Tr} T^{*} T=\sum_{i} \| T e_{1} \mathrm{P}<\infty$ дея лобого ортонормированного базиса $\left\{e_{f}\right\}$. Для мюбых $T_{1}, T_{8} \in \mathbb{I}(\mathscr{K})$ произведение $T_{1} T_{2}$ rөляется ядерньки оператором и скалярное произведение в $\mathbb{T}^{2}(\mathscr{K})$ определяется формулой (7.11). При этом
\[
\left|T_{1} T_{\mathrm{ah}} \leqslant\right| T_{1 \mathrm{~b}} \cdot \mid T_{\mathrm{s}} \mathrm{b}
\]

Проияедение ограниченного оператора $X$ ма оператор Гильберта-Шлидта $T$ (в любом порядке) яаляется оператором Гильберта — Шмидта, причем
\[
|T X|_{3}=\left.\left|X T !_{2} \leqslant\right| X|\cdot| T\right|_{2} .
\]

Заметим, что
так как
\[
\mid T_{1} \leqslant \mathfrak{I} T \mathrm{~b}
\]
\[
|T|^{2}={ }_{n}|T| P=\sup _{\phi
eq 0} \frac{\| T \mid \phi P^{2}}{|\phi|^{2}}=\sup _{\psi
eq 0} \frac{\mid T \phi \beta}{|\phi|^{2}} \leqslant \operatorname{Tr} T^{*} T .
\]

Поэтому всякий оператор Гильберта — Шмидта является вполне непрерывным. В частности, всякий эрмитов оператор Гильберта-Шмидта имеет спектральное разложение (7.6), где
\[
\mid T \mathrm{l}_{\mathrm{s}}=\sqrt{\sum_{i}\left|t_{\mathrm{f}}\right|^{2}}<\infty
\]

Отметим также, что

поскольку
\[
\operatorname{Tr} T^{*} T=\left.\operatorname{Tr}\right|^{\pi} \beta^{2}-\sum_{i} \tau_{i}<\left(\sum_{i} \tau_{i}\right)^{2}=(\operatorname{Tr} \mid T)^{2},
\]

где $\tau_{l}$-собственные значения оператора $\mid T_{\mid}$. Гlоэтому всякий ядерный оператор является оператором ГильбертаШмидта. Таким образом,
\[
\boldsymbol{\delta}(\mathscr{K}) \subset \mathfrak{T}^{1}(\mathscr{K}) \subset \mathfrak{Y}^{2}(\mathscr{K}) \subset \mathfrak{B}(\mathscr{K}) \text {. }
\]

В заключение рассмотрим операторы Гильберта Шмидта в пространстве $\mathscr{L}^{3}(a, b)$. Пусть, для простоты, $T$ — эрмитов оператор; тогда имеет место спектральное разложение (7.6) с $\sum_{j} t_{i}<\infty$. Собственные функции образуют ортонормированный базис в $\mathscr{L}(a, b)$. Рассмотрим ядро
\[
T\left(x^{\prime}, x\right)=\sum_{i} t_{1} e_{1}\left(x^{\prime}\right) \overline{e_{1}(x)} .
\]

В силу того, что $\sum_{j} t_{j}<\infty$ и $\int\left|e_{f}(x)\right|^{2} d x=1$, этот ряд сходится в $\mathscr{L}((a, b) \times(a, b))$ и определяет интегрируемую в квадрате функцию двух переменных $x, x^{\prime}$, причем
\[
\operatorname{Tr} T^{2}=\sum_{j} t_{i}^{h}=\iint\left|T\left(x, x^{\prime}\right)\right|^{2} d x d x^{\prime} .
\]

Для любой $\psi \in \mathscr{L}^{2}(a, b)$
\[
T \psi\left(x^{\prime}\right)=\int_{a}^{b} T\left(x^{\prime}, x\right) \psi(x) d x .
\]

Если $T$-ядерный оператор, то $\sum_{i}\left|t_{f}\right|<\infty$ и поэтому функция $T(x, x)=\sum_{j} t_{j}\left|e_{j}(x)\right|^{p}$ является интегрируемои. При этом
\[
\operatorname{Tr} T=\int_{a}^{b} T(x, x) d x .
\]

В обозначениях Дирака ядро должно записываться символом
\[
\left(x^{\prime}|T| x\right)=\sum_{j} t_{f}\left(x^{\prime} \mid e_{f}\right)\left(e_{j} \mid x\right) .
\]

Из соотношения полноты (3.12) формально следует непрерывный аналог соотношения (1.13):
\[
\left.T=\iint \mid x^{\prime}\right)\left(x^{\prime}|T| x\right)\left(x \mid d x^{\prime} d x,\right.
\]

откуда получается дираковская форма соотношения (7.15):
\[
\left(x^{\prime} \mid T \psi\right)=\int\left(x^{\prime}|T| x\right)(x \mid \psi) d x .
\]

Если $T$-оператор Гильберга-Шмидта, то, как мы видели, ядро ( $\left.x^{\prime}|T| x\right)$ является квадратично-интегрируемой функцией и эти выкладки имеют непосредственное математическое истолкование.