Главная > БИФУРКАЦИЯ РОЖДЕНИЯ ЦИКЛА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ (ДЖ. МАРСДЕН, М. МАК-КРАКЕН)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Главным сюжетом этой книги является бифуркация рождения предельного цикла из сложного фокуса конечномерной динамической системы. В своем предисловии к английскому изданию авторы отмечают, что эту бифуркацию следовало бы называть «бифуркацией Пуанкаре — Андронова — Хопфа», но они остановились на названии «бифуркации Хопфа», считая его более распространенным. У нас в стране указанной бифуркации посвящено довольно много работ и она связывается в первую очередь с именами Ляпунова и Андронова. Поэтому, с любезного согласия авторов, русское издание этой книги было решено назвать иначе.

С именем А. Пуанкаре (1854-1912 гг.) связано открытие предельных циклов. Ему принадлежит метод разыскания предельных циклов, близких к кривым линейной консервативной системы. А. М. Ляпунов в работе «Общая задача об устойчивости движения» (1892 г.) дал метод исследования устойчивости (в смысле Ляпунова) сложных состояний равновесия динамической системы с чисто мнимыми характеристическими корнями и ввел величины, получившие впоследствии название «ляпуновских»- Заслуга открытия бифуркации рождения предельного цикла из состояния равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями при изменении параметров системы и обнаружение связи этой бифуркации с ляпуновскими величинами принадлежит А. А. Андронову.

Еще в своем докладе «Математические проблемы автоколебаний», прочитанном на Всесоюзной конференции по колебаниям в 1931 году и опубликованном в книге «I Всесоюзная конференция по колебаниям» (М.-Л., ГТТИ, 1933 г.), А. А. Андронов, не выписывая формул, рассказал о бифуркации рождения предельного цикла из фокуса на плоскости, а также стягивания предельного цикла в фокус, в связи с адекватным математическим описанием мягкого возникновения автоколебаний в ламповом генераторе 1 ). В первом издании «Теории колебаний» А. А. Андронова и С. Э. Хайкина (1937 г.) бифуркация рождения предельного цикла из сложного фокуса на плоскости изложена уже с математическим доказательством и рассмогрены примеры. Там же приведены рекуррентные дифференциальные уравнения, из которых находятся ляпуновские величины. В дальнейшем сотрудниками А. А. Андронова эта бифуркация рассматривалась в целом ряде работ при исследовании динамических систем из приложений. Она рассматривалась как для систем второго порядка, так и для систем порядка большего двух.

Но хотя все, что связано с бифуркацией появления периодического решения из состояния равновесия с двумя мнимыми корнями в случаях динамических систем второго, третьего и четвертого порядка, в работах советских авторов продвинуто значительно дальше, чем в предлагаемой книге, тем не менее она представляет несомненный интерес.

Прежде всего, метод, использованный Хопфом (несколько отличный от использованного А. А. Андроновым), может оказаться полезным для решения ряда других задач (см., например, главу 3C настоящей книги, а также статью А. А. Пяртли, на которую ссылаются авторы). Кроме того, термин «бифуркация Хопфа» авторы понимают в весьма расширенном смысле и, в частности, тем же термином пользуются при рассмотрении рождения замкнутой инвариантной кривой из неподвижной точки, имеющей собственные значения e±iφ. Этот материал на русском языке освещен лишь в журнальной литературе. Часть материала книги имеет чисто математический характер (гл. 4C посвящена методу усреднения, гл. 6 A канонической форме диффеоморфизма в окрестности неподвижной точки с собственными числами e±iφ, часть гл. 7 посвящена группам Ли, гл. 8А-нелинейным группам и полугруппам). Но главный интерес книги заключается в применении теории к уравнениям в частных производных и особенно — к задачам гидродинамики. Это приме-
1) В том же докладе А. А. Андронов рассмотрел бифуркацию, связанную с исчезновением двукратного предельного цикла и с разделением двукратного цикла на два простых.

нение существенно опирается на теорему о центральном многообразии, изложенную в гл. 2.

Несмотря на несколько эскизный характер изложения, все, касающееся этих задач, содержит много нового и отсутствует в монографиях. Отметим, в частности, пример с течением Куэтта, обсуждение концепции Рюэля и Такенса возникновения турбулентности, изложение (сделанное Чайльдсом) оригинальной работы Иосса, в которой рассматривается возникновение периодического течения из стационарного в некоторых задачах динамики жидкости. Представляет интерес сделанное Руизом изложение работ Кирхгесснера и Килхёффера, в которых рассматриваются модели Тейлора и Бенара течения жидкости и бифуркации в них.

Последние три главы книги не имеют прямого отношения к. бифуркации рождения цикла. Они написаны известными американскими математиками (Смейлом и другими) и также содержат много интересного.

Таким образом, хотя часть материала предлагаемой книги имеется в ряде советских изданий и хотя некоторые ее главы написаны очень бегло, эта книга, особенно в части приложений теории к самым разным задачам, представляет живой интерес. Мы надеемся, что ее русское издание привлечет внимание читателей к поискам новых приложений этой классической теории.

В конце книги помещены три дополнения, которые, как нам кажется, будут полезны читателям: «Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости состояний равновесия и периодических движений» (Н. Н. Баутин и Л. П. Шильников), «Теория бифуркаций и модель Лоренца» (Л. П. Шильников), «Комментарии к теореме Хопфа» (E. А. Леонтович).

В заключение мы хотим поблагодарить авторов, особенно проф. Дж. Марсдена, за проявленное ими внимание к подготовке русского издания их книги.
H. Баутин,
Е. Леонтович

1
Оглавление
email@scask.ru