Главным сюжетом этой книги является бифуркация рождения предельного цикла из сложного фокуса конечномерной динамической системы. В своем предисловии к английскому изданию авторы отмечают, что эту бифуркацию следовало бы называть «бифуркацией Пуанкаре – Андронова – Хопфа», но они остановились на названии «бифуркации Хопфа», считая его более распространенным. У нас в стране указанной бифуркации посвящено довольно много работ и она связывается в первую очередь с именами Ляпунова и Андронова. Поэтому, с любезного согласия авторов, русское издание этой книги было решено назвать иначе.

С именем А. Пуанкаре (1854-1912 гг.) связано открытие предельных циклов. Ему принадлежит метод разыскания предельных циклов, близких к кривым линейной консервативной системы. А. М. Ляпунов в работе «Общая задача об устойчивости движения» (1892 г.) дал метод исследования устойчивости (в смысле Ляпунова) сложных состояний равновесия динамической системы с чисто мнимыми характеристическими корнями и ввел величины, получившие впоследствии название «ляпуновских»- Заслуга открытия бифуркации рождения предельного цикла из состояния равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями при изменении параметров системы и обнаружение связи этой бифуркации с ляпуновскими величинами принадлежит А. А. Андронову.

Еще в своем докладе «Математические проблемы автоколебаний», прочитанном на Всесоюзной конференции по колебаниям в 1931 году и опубликованном в книге «I Всесоюзная конференция по колебаниям» (М.-Л., ГТТИ, 1933 г.), А. А. Андронов, не выписывая формул, рассказал о бифуркации рождения предельного цикла из фокуса на плоскости, а также стягивания предельного цикла в фокус, в связи с адекватным математическим описанием мягкого возникновения автоколебаний в ламповом генераторе ${ }^{1}$ ). В первом издании «Теории колебаний» А. А. Андронова и С. Э. Хайкина (1937 г.) бифуркация рождения предельного цикла из сложного фокуса на плоскости изложена уже с математическим доказательством и рассмогрены примеры. Там же приведены рекуррентные дифференциальные уравнения, из которых находятся ляпуновские величины. В дальнейшем сотрудниками А. А. Андронова эта бифуркация рассматривалась в целом ряде работ при исследовании динамических систем из приложений. Она рассматривалась как для систем второго порядка, так и для систем порядка большего двух.

Но хотя все, что связано с бифуркацией появления периодического решения из состояния равновесия с двумя мнимыми корнями в случаях динамических систем второго, третьего и четвертого порядка, в работах советских авторов продвинуто значительно дальше, чем в предлагаемой книге, тем не менее она представляет несомненный интерес.

Прежде всего, метод, использованный Хопфом (несколько отличный от использованного А. А. Андроновым), может оказаться полезным для решения ряда других задач (см., например, главу $3 C$ настоящей книги, а также статью А. А. Пяртли, на которую ссылаются авторы). Кроме того, термин «бифуркация Хопфа» авторы понимают в весьма расширенном смысле и, в частности, тем же термином пользуются при рассмотрении рождения замкнутой инвариантной кривой из неподвижной точки, имеющей собственные значения $e^{ \pm i \varphi}$. Этот материал на русском языке освещен лишь в журнальной литературе. Часть материала книги имеет чисто математический характер (гл. 4C посвящена методу усреднения, гл. $6 \mathrm{~A}-$ канонической форме диффеоморфизма в окрестности неподвижной точки с собственными числами $e^{ \pm i \varphi}$, часть гл. 7 посвящена группам Ли, гл. 8А-нелинейным группам и полугруппам). Но главный интерес книги заключается в применении теории к уравнениям в частных производных и особенно – к задачам гидродинамики. Это приме-
1) В том же докладе А. А. Андронов рассмотрел бифуркацию, связанную с исчезновением двукратного предельного цикла и с разделением двукратного цикла на два простых.

нение существенно опирается на теорему о центральном многообразии, изложенную в гл. 2.

Несмотря на несколько эскизный характер изложения, все, касающееся этих задач, содержит много нового и отсутствует в монографиях. Отметим, в частности, пример с течением Куэтта, обсуждение концепции Рюэля и Такенса возникновения турбулентности, изложение (сделанное Чайльдсом) оригинальной работы Иосса, в которой рассматривается возникновение периодического течения из стационарного в некоторых задачах динамики жидкости. Представляет интерес сделанное Руизом изложение работ Кирхгесснера и Килхёффера, в которых рассматриваются модели Тейлора и Бенара течения жидкости и бифуркации в них.

Последние три главы книги не имеют прямого отношения к. бифуркации рождения цикла. Они написаны известными американскими математиками (Смейлом и другими) и также содержат много интересного.

Таким образом, хотя часть материала предлагаемой книги имеется в ряде советских изданий и хотя некоторые ее главы написаны очень бегло, эта книга, особенно в части приложений теории к самым разным задачам, представляет живой интерес. Мы надеемся, что ее русское издание привлечет внимание читателей к поискам новых приложений этой классической теории.

В конце книги помещены три дополнения, которые, как нам кажется, будут полезны читателям: «Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости состояний равновесия и периодических движений» (Н. Н. Баутин и Л. П. Шильников), «Теория бифуркаций и модель Лоренца» (Л. П. Шильников), «Комментарии к теореме Хопфа» (E. А. Леонтович).

В заключение мы хотим поблагодарить авторов, особенно проф. Дж. Марсдена, за проявленное ими внимание к подготовке русского издания их книги.
H. Баутин,
Е. Леонтович