Сначала напомним определение отображения Пуанкаре. При этом мы докажем, что это отображение существует и дифференцируемо. Фактически это можно сделать для таких $C^{0}$-потоков $F_{t}(\dot{x})$, у которых отображение $F_{t}$ класса $C^{k}$ при каждом $t$, как это было в теореме о центральном многообразии для потоков, но с дополнительным условием гладкости $F_{t}(x)$ по $t$ для $t>0$. K тому же эти условия хорошо приспособлены для применения результатов к уравнениям с частными производными. Тем не менее сначала мы ограничимся случаем обыкновенных дифференциальных уравнений, где $F_{t}$ – поток, порожденный векторным полем $X$ класса $C^{k}$.

Прежде всего напомним, что замкнутая орбита $\gamma$ потока $F_{t}$ на многообразии $M$ – это такая интегральная кривая $\gamma(t)$ поля $X$, для которой $\gamma(t+\tau)=\gamma(t)$ при всех $t \in \mathbb{R}$ и некотором $\tau>0$. Наименьшее такое $\tau$ называют периодом $\gamma$. Образ $\gamma$, очевидно, диффеоморфен окружности.
(2В.1) Определение. Рассмотрим замкнутую орбиту $\gamma$ и точку $m$ на $\gamma$, например $m=\gamma(0)$, и пусть $\mathcal{S}$ – локальная трансверсальная секущая, т. е. подмногообразие коразмерности один, трансверсальное $\gamma$ (т. е. $\gamma^{\prime}(0)$ не касается $S$ ). Пусть поток определен в (открытой) области $\mathscr{D} \subset M \times \mathbb{R}$.

Отображение Пуанкаре для орбиты $\gamma$-это отображение $P: W_{0} \rightarrow W_{1}$, такое, что:
(ОП 1) $W_{0}, W_{1} \subset S$ – открытые окрестности точки $m \in S$, а $P$ является $C^{k}$-диффеоморфизмом;
(ОП 2) существует функция $\delta: W_{0} \rightarrow \mathbb{R}$, такая, что для всех $x \in W_{0}$ точка $(x, \tau-\delta(x)) \in \mathscr{D}$ и $P(x)=F(x, \tau-\delta(x))$; (ОП 3) если $t \in(0, \tau-\delta(x))$, то $F(x, t)
otin W_{0}$ (рис. 2B.1).
(2B.2) Теорема существования и единственности отображения Пуанкаре.
1) Если $X$-векторное поле класса $C^{k}$ на многообразии $М$ и $\gamma$-замкнутая орбита поля $X$, то существует отображение Пуанкаре для $\gamma$.
2) Если P: $W_{0} \rightarrow W_{1}$-отображение Пуанкаре для $\gamma$ (на локальной трансверсальной секущей $S$, проходящей через точку $m \in \gamma$ ), а $P^{\prime}$-такое же отображение на секущей $S^{\prime}$ в точке $m^{\prime} \in \gamma$, то $P$ и $P^{\prime}$ локально сопряжены. Это означает, что существуют открытые окрестности $W_{2}$ точки $m \in S$, $W_{2}^{\prime}$ точки $m^{\prime} \in S^{\prime}$ и $C^{k}$-диффеоморфизм $H: W_{2} \rightarrow W_{2}^{\prime}$, такой, что $W_{2} \subset W_{0} \cap W_{1}, W_{2}^{\prime} \subset W_{0}^{\prime}$ и диаграмма

коммутативна.
Здесь мы только приведем идею доказательства существования (подробности можно найти у Абрахама и Марсдена
Рис. 2B.1.
[1] ${ }^{1}$ ). Выберем $S$ произвольно. Из соображений непрерывности ясно, что $F_{\tau}$ – гомеоморфизм окрестности $U_{0}$ точки $m$ на другую окрестность $U_{2}$ той же точки. По предположению $F_{\tau+t}(x)$ дифференцируем по $t$ при $t=0$ и трансверсален $S$ в точке $x=m$, а следовательно, и в окрестности $m$. Поэтому существует единственное число $\delta(x)$, близкое к нулю и такое, что $F_{\tau-\delta(x)}(x) \in S$. Это и есть $P(x)$, и по конструкции $P$ будет дифференцируемо, если таковым было $F$. Легко видеть, что производной $P$ в точке $m$ будет проекция производной $F_{\tau}$ на $T_{m} S$ (это показано ниже). Следовательно, если $F_{\tau}$ – диффеоморфизм, то и $P$ будет диффеоморфизмом.

В случае уравнений с частными производными отображения $F_{t}$ нередко образуют только полупоток, т. е. определены
1) См. также Хартман [1, с. 301]. – Прим. перев.

для $t \geqslant 0$ (см. гл. 8A). Отсюда следует, что $F_{t}$, вообе говоря, не является диффеоморфизмом (например, если $F_{t}$ поток, порожденный уравнением теплопроводности на $L_{2}$, то $F_{t}$ не сюръективно ${ }^{1}$ ).

Для отображения Пуанкаре это означает, что мы получим $P$ (если $F_{t}(x)$ дифференцируемо по $t, x$ при $t>0$ ), но $P$-это просто отображение, не обязательно являющееся диффеоморфизмом. Это одна из причин технического характера, почему важно иметь теорему о центральном многообразии для отображений, а не только для диффеоморфизмов.

Как мы уже упоминали в гл. 1, существует бифуркационная теорема для диффеоморфизмов, и она может быть применена к отображению Пуанкаре $P$ для получения инвариантной замкнутой кривой этого отображения и, следовательно, инвариантного тора для $F_{t}$.

Для уравнений с частными производными мы как будто оказываемся в затруднительном положении, так как $P$, вообще говоря, не является диффеоморфизмом. Однако мы можем обойти эту трудность с помощью следующего приема: сначала, применяя теорему о центральном многообразии, мы сводим задачу к конечномерной, и для этого диффеоморфизм не требуется; теперь же, как доказано в гл. 8А (см. 8А.9), в конечномерном подпространстве $F_{t}$ (и, следовательно, $P$ ) автоматически становится (локальным) диффеоморфизмом. Таким образом, эта трудность только кажущаяся.

Теперь докажем основные результаты, касающиеся производной $P$, тогда мы сможем сравнить спектр $P$ со спектром $F_{t}$. Достаточно сделать вычисления для банахова пространства $E$, и мы можем выбрать $m=0 \in E$.
Начнем с вычисления $d P(0)$ в терминах $F_{t}$.
(2В.3) Лемма. Пусть $F_{t}: E \rightarrow E$ – поток класса $C^{1}$ на банаховом пространстве и замкнутая орбита $\gamma$ периода $\tau
eq 0$ проходит через начало координат. Пусть
\[
\left.\frac{\partial F_{t}}{\partial t}(0)\right|_{t=0}=v .
\]

Обозначим через $V$ подпространство, порожденное вектором $v$, а через $F$ дополнительное подпространство, так что $E=F \oplus V u F_{t}(x, y)=\left(F_{t}^{1}(x, y), F_{t}^{2}(x, y)\right)$. Ecлu $P: F \rightarrow F-$ отображение Пуанкаре для $\gamma$ в точке 0 , то $d P(0)=d_{1} F_{\tau}^{1}(0)$. Доказательство. Обозначим через $\tau(x)$ время перехода из точки $x$ в точку $P(x)$ (выше оно обозначалось через
1) То есть не является отображением $L_{2}$ на $L_{2}$, а только в $L_{2}$ – Прим. nepeв.

$\tau-\delta(x))$. По определению $P$,
\[
P(x)=F_{\tau(x)}^{1}(x, 0),
\]

поэтому
\[
d P(x)=\frac{\partial F_{\tau(x)}^{1}}{\partial t}(x, 0) d \tau(x)+d_{1} F_{\tau(x)}^{1}(x, 0) .
\]

Полагая $(x, 0)=0$, мы получаем
\[
d P(0)=\frac{\partial F_{\tau}^{1}}{\partial t}(0) d \tau(0)+d_{1} F_{\tau}^{1}(0) .
\]

Однако
\[
\frac{\partial F_{\tau}}{\partial t}(0)=\left(\frac{\partial F_{\tau}^{1}}{\partial t}(0), \frac{\partial F_{\tau}^{2}}{\partial t}(0)\right)=(0, v)
\]

по построению, поэтому $\frac{\partial F_{\tau}^{1}}{\partial t}(0)=0$. Тем самым $d P(0)=$ $=d_{1} F_{\tau}^{1}(0)$.
(2B.4) Лемма. $d_{2} F_{\tau}(0,0) v=v$.
Доказательство.\”
\[
\begin{array}{c}
\left.\frac{d F_{\tau+s}}{d s}(0,0)\right|_{s=0}=\left.\frac{d F_{t}}{d t}(0,0)\right|_{t=\tau}=v \\
\left.\frac{d F_{\tau+s}(0,0)}{d_{s}}\right|_{s=0}=\left.\frac{d\left(F_{\tau} \circ F_{s}\right)}{d s}(0,0)\right|_{s=0}=\left.d F_{\tau}(0,0) \frac{d F_{s}}{d s}(0,0)\right|_{s=0}= \\
=d F_{\tau}(0,0)(0, v)=\left(d_{1} F_{\tau}(0,0) \cdot 0+d_{2} F_{\tau}(0,0) v\right) .
\end{array}
\]

Поэтому $d_{2} F_{\tau}(0,0) v=v$.
(2В.5) Лемма. $\sigma\left(d F_{\tau}(0,0)\right)=\sigma(d P(0)) \cup\{1\}$. (Это также верно в случае точечного спектра.)
Доказательство. Матрица $d F_{\tau}(0,0)$ имеет вид
\[
\left(\begin{array}{c|c}
d P(0) & 0 \\
* & 1
\end{array}\right),
\]

где * обозначает некоторые произвольные элементы матрицы. Пусть $\lambda \in \mathbb{C}$. Известно, что $\lambda \in \sigma\left(d F_{\tau}(0,0)\right)$ тогда и только тогда, когда оператор $d F_{\tau}(0,0)-\lambda I$ не взаимно однозначен или не является отображением на. Однако
\[
\begin{aligned}
\left(d F_{\tau}(0,0)-\lambda I\right)\left(\begin{array}{l}
\alpha \\
\beta
\end{array}\right) & =\left(d P(0) \alpha,{ }^{*}(\alpha)+\beta\right)+(\lambda \alpha,-\lambda \beta)= \\
& =\left(d P(0) \alpha-\lambda \alpha,{ }^{*}(\alpha)+\beta(1-\lambda)\right) .
\end{aligned}
\]

Ясно, что $\left.1 \in \sigma\left(d F_{\tau}(0,0)\right)^{1}\right)$. Предположим, что $\lambda
eq 1$ и $\lambda \in \sigma\left(d F_{\tau}(0,0)\right)$. Тогда или существует вектор $(\alpha, \beta)$, такой, что выражение (2В.1) равно нулю, или это отображение не на все пространство. В первом случае $\lambda \in \sigma(d P(0))$. Рассмотрим вторую возможность. Так как $\lambda
eq 1$, то для любого $\alpha$ мы можем выбрать $\beta$ таким образом, чтобы вторая компонента была отображением на. Поэтому $\lambda \in \sigma(d P(0))$. С другой стороны, пусть $1
eq \lambda \in \sigma(d P(0))$. Если $d P(0)-\lambda I$ не является отображением на все пространство, то это верно и для $d F_{\tau}(0,0)-\lambda I$. Допустим тенерь, что существует $\alpha$, для которого $d P(0) \alpha-\lambda \alpha=0$. Тогда, выбирая $\beta=\frac{*(\alpha)}{\lambda-1}$, мы видим, что $\lambda \in \sigma\left(d F_{\tau}(0,0)\right)$.

Дополнительные подробности и связанную с этим теорию Флоке можно найти в книгах Абрахама и Марсдена [1], Абрахама и Роббина [1] или Хартмана [1, разд. IV.6, IX.10].

Одним из наиболее важных применений отображения Пуанкаре является доказательство следующего утверждения:
(2B.6) Теорема. Пусть $\gamma$-замкнутая орбита потока $F_{t}$ периода т и $m \in \gamma$. Предположим, что спектр оператора $d F_{\tau}(m)$, за исключением точки 1 , лежит внутри единичной окружности. Тогда $\gamma$-притягивающая (устойчивая) замкнутая орбита.

Доказательство. По лемме 2В.5, из условия на спектр мы получаем, что спектр производной отображения Пуанкаре $P$ в точке $m$ лежит внутри единичной окружности. Тогда из 2 A. 7 следует, что $m$ – притягивающая неподвижная точка отображения $P$. Из способа построения $P$ мы заключаем, что $\gamma$ – устойчивая орбита $F_{t}$.
(2B.7) Упражнение.
(a) Провести подробное доказательство последнего шага в 2 B.6.
(б) Пусть, аналогично 2В.6, отображение $P$ имеет устойчивую инвариантную замкнутую кривую. Доказать существование устойчивого инвариантного двумерного тора потока.
1) См. доказательство леммы 2В. 4.-Прим. перев.