Без ограничения общности можно предположить, что стационарное решение находится в начале координат, т. е.
$$\mathbf{F}(0,\mu )=0.$$

Пусть разложение $\mathrm{F}$ в ряд по степеням $x_i$ имеет вид
$$\mathbf{F}(\mathbf{x},\mathit{\mu })={\mathbf{L}}_{\mu }(\mathbf{x})+{\mathbf{Q}}_{\mathit{\mu }}(\mathbf{x},\mathbf{x})+{\mathbf{K}}_{\mathit{\mu }}(\mathbf{x},\mathbf{x},\mathbf{x})+\dots ,$$

где вектор-функции
$${\mathbf{L}}_{\mu }(\mathbf{x}),{\mathbf{Q}}_{\mu }(\mathbf{x},\mathbf{y}),{\mathbf{K}}_{\mu }(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}),\dots$$

являются линейными функциями каждого аргумента и симметричны по этим векторам.
Подстановка
$$\mathbf{x}=\mathbf{8}$$

преобразует (1.1) в
$$\dot{\mathbf{y}}={\mathbf{L}}_{\mu }(\dot{\mathbf{y}})+\epsilon {\mathbf{Q}}_{\mu }(\mathbf{y},\mathbf{y})+{\epsilon }^2{\mathbf{K}}_{\mu }(\mathbf{y},\mathbf{y},\mathbf{y})+\dots .$$
$={\mathbf{y}}^0$ ( у ${}^0$ произвольно). Рассмотрим случай $\epsilon =0$ в (2.3), т. е. линейное однородное дифференциальное уравнение
$$\dot{\mathbf{z}}={\mathbf{L}}_{\mu }(\mathbf{z})$$

Для вопросов существования оно имеет решающее значение.

Комплексно-сопряженные характеристические показатели $\alpha (\mu ),\overline{\alpha }(\mu )$, о которых говорилось в предположениях теоремы, просты для всех малых $|\mu |$. В соответствующих решениях
$$e^{at}\mathbf{a},e^{\overline{a}\bar{\mathbf{a}}}$$

уравнения (2.4) комплексный вектор а определен поэтому с точностью до комплексного скалярного множителя; а̄ — сопряженный вектор. Кроме того, в силу простоты не существует решений вида
$$e^{at}(t\mathbf{b}+\mathbf{c}),\mathbf{b}eq0.$$

В точке $\mu =0\alpha (\mu )$-аналитическая функция. Можно выбрать фиксированный действительный вектор $\mathbf{e}eq0$ так, чтобы для всех малых $|\mu |\mathbf{a}\cdot \mathbf{e}eq0$ для $\mathbf{a}eq0$. Тогда $\mathbf{a}=$ $=\mathbf{a}(\mu )$ единственным образом определяется условием
$$\mathbf{a}(\mu )\cdot \mathbf{e}=\frac{1}{\alpha (\mu )-\overline{\alpha }(\mu )},(\mathrm{e}=\bar{\mathbf{e}}eq0).$$

По предположению
$$\alpha (0)=-\overline{\alpha }(0)eq0.$$

В точке $\mu =0$ a $(\mu )$ аналитична.
Действительные решения уравнения (2.4), являющиеся линейными комбинациями (2.5), имеют вид
$$\mathbf{z}=c{e}^{\alpha }\mathbf{a}+\overline{c}{e}^{\overline{\alpha }t}\mathbf{a}$$

с комплексным скаляром $c$. Они образуют семейство, зависящее от двух действительных параметров; один из этих параметров пропорционален множителю, а другой представляет собой аддитивную по $t$ постоянную (решения образуют лишь однопараметрическое семейство кривых).
В силу того что $\mathbf{e}=\bar{\mathbf{e}}$, имеем
$$\begin{array}{l}\mathbf{z}\cdot \mathbf{e}=c\mathbf{a}\cdot \mathbf{e}+\overline{c}\overline{\mathbf{a}\cdot \mathbf{e}}\\ \dot{\mathbf{z}}\cdot \mathbf{e}=c\alpha \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}+\overline{c}\overline{\mathbf{a}\cdot \mathbf{e}}\end{array}\}\text{ при }t=0.$$

Для $c=1$ (2.9) превращается в
$$\mathbf{z}=e^{at}\mathbf{a}+e^{\overline{a}t\bar{\mathbf{a}}}=\mathbf{z}(t,\mu ).$$

В силу (2.7) это z удовлетворяет условиям:
$$t=0:\mathrm{z}\cdot \mathrm{e}=0,\frac{d}{dt}(\mathrm{z}\cdot \mathrm{e})=1.$$

Это единственное решение вида (2.9); удовлетворяющее этим условиям, так как из
$$t=0:\mathbf{z}\cdot \mathbf{e}=\mathbf{z}\cdot \mathbf{e}=0$$

и из (2.9), (2.7) и (2.8) следует, что $c=0$; таким образом, $\mathrm{z}=0$.

По предположению при $\mu =0\alpha$ и $\overline{\alpha }$ — единственные из всех характеристических показателей, являющиеся чисто мнимыми. Следовательно, для $\mu =0$ (2.9) определяет все действительные периодические решения (2.4). Их период
$$T_0=2\pi /\alpha (0)\mid .$$

В частности, для $\mu =0$ (2.10)-единственное периодическое решение со свойствами (2.11).

Для дальнейшего заметим также, что при $\mu =0$ (2.4) не имеет решений вида
$$t\mathbf{p}(t)+\mathbf{q}(t),$$

где $\mathbf{p}$ и q имеют общий период и р не тождественно равна нулю. Иначе бы (2.4) распалось на два уравнения
$$\dot{\mathbf{p}}={\mathbf{L}}_0(\mathbf{p}),\mathbf{p}+\dot{\mathbf{q}}={\mathbf{L}}_0(\mathbf{q}),$$

и $\mathbf{p}$ было бы нетривиальной линейной комбинацией (2.5). Разложение $\mathbf{q}(t)$ в ряд Фурье приводило бы тогда к решению вида (2.6).

Дифференцируя (2.4) по $\mu$ в точке $\mu =0$, получим неоднородное дифференциальное уравнение
$${\dot{\mathbf{z}}}^{\prime }={\mathbf{L}}_0\left({\mathbf{z}}^{\prime }\right)+{\mathbf{L}}_0^{\prime }(\mathbf{z});{\mathbf{L}}_0^{\prime }=\frac{d}{d\mu }{\mathbf{L}}_{\mu }(\mu =0),$$

а для производной по $\mu$ от (2.10):
$${\mathbf{z}}^{\prime }=t({\alpha }^{\prime }{e}^{\alpha t}\mathbf{a}+{\overline{\alpha }}^{\prime }{e}^{\overline{a}}\bar{\mathbf{a}})+(e^{\alpha t}{\mathbf{a}}^{\prime }+e^{\overline{\alpha }\overline{{\mathbf{a}}^{\prime }}}),(\mu =0).$$

Множитель при $t$ есть решение уравнения (2.4). Если его линейно выразить через решение (2.10) и $\dot{\mathbf{z}}$, то из (2.8) будет следовать, что
$${\mathbf{z}}^{\prime }=t(\mathrm{Re}\left({\alpha }^{\prime }\right)\mathbf{z}+\frac{\mathrm{Im}\left({\alpha }^{\prime }\right)}{\alpha }\cdot \dot{\mathbf{z}})+\mathbf{h}(t)$$

где
$$\mathbf{h}(t+T_0)=\mathbf{h}(t).$$

Пусть теперь
$$\mathbf{y}=\mathbf{y}(t,\mu ,\epsilon ,{\mathbf{y}}^0)$$

решение (2.3), удовлетворяющее начальному условию $\mathbf{y}={\mathbf{y}}^{\mathbf{0}}$ при $t=0$. Согласно хорошо известным теоремам, оно аналитически зависит от всех своих аргументов в каждой точке $(t,0,0,{\mathbf{y}}^0)$. Это решение периодично с периодом $T$ в том и только в том случае, когда оно удовлетворяет уравнению
$$\mathbf{y}(T,\mu ,\mathit{\epsilon },{\mathbf{y}}^0)-{\mathbf{y}}^0=0.$$

Если обозначить через $z^0$ начальное условие фиксированного решения (2.10) уравнения (2.4) при $\mu =0$, то (2.16) выполняется при значениях
$$T=T_0,\mu =\epsilon =0,{\mathbf{y}}^0={\mathbf{z}}^0.$$

Возникает задача: для данного $\epsilon$ решить уравнение (2.16) относительно $T,\mu$ и у0. Это $n$ уравнений с $(n+2)$ неизвестными. Чтобы сделать решение единственным, добавим еще два уравнения
$${\mathbf{y}}^0\cdot \mathbf{e}=0,{\dot{\mathbf{y}}}^0\cdot \mathbf{e}=1,$$

где $\mathbf{e}$-действительный вектор, введенный выше, а ${\dot{\mathbf{y}}}^0=\dot{\mathbf{y}}$ при $t=0$. Как будет показано в следующем параграфе, введение этих условий не налагает ограничений на все множество решений в малом. Из (2.11) следует, что для начальных условий $\mu =\epsilon =0,{\mathbf{y}}^0={\mathbf{z}}^0$ этим уравнениям удовлетворяют решения (2.10).

Для всех достаточно малых $|\epsilon |$ (2.16) и (2.18) имеют точно одно решение
$$T=T(\epsilon ),\mu =\mu (\epsilon ),{\mathbf{y}}^0={\mathrm{y}}^0(\epsilon )$$

в некоторой окрестности системы значений
$$T=T_0,\mu =0,{\mathbf{y}}^0={\mathbf{z}}^0$$

в следующем случае: система линейных уравнений, образованная взятием дифференциалов (в равенствах (2.16)) по переменным $T,\mu ,\epsilon ,{\mathbf{y}}^0$, имеет единственное решение при данном $d\epsilon$. Это эквивалентно тому, что функции (2.19) существуют, если эти линейные уравнения при $d\epsilon =0$ имеют нулевое решение $dT=d\mu =d{\mathbf{y}}^0=0$. Именно этот случай и осуществляется, как сейчас будет показано. Имеем
$$\dot{\mathbf{y}}={\mathbf{L}}_{\mu }(\mathbf{y}),\mathbf{y}=\mathbf{y}(t,\mu ,0,{\mathbf{y}}^0).$$

В частности,
$$\mathbf{y}(t,\mu ,0,{\mathbf{z}}^0)=\mathbf{z}(t,\mu )$$

есть решение (2.10). Дифференциал $d\mathbf{y}(t,\mu ,0,{\mathbf{y}}^0)$ является суммой дифференциалов относительно отдельных аргументов, когда все остальные фиксированы. Если ввести для дифференциалов
$$dt,d\mu ,d{\mathbf{y}}^0,$$

как для независимых констант или векторов, обозначения
$$\rho ,\sigma ,{\mathbf{u}}^0,$$

то вышеуказанный дифференциал запишется как $\rho \dot{\mathbf{y}}+\sigma {\mathbf{y}}^{\prime }+$ $+\mathbf{u}$. Здесь $\dot{\text{ у }}$ и ${\mathbf{y}}^{\prime }=\partial \mathbf{y}/\partial \mu$ берутся в точке $T=T_0,\mu =0$, ${\mathbf{y}}^0={\mathbf{z}}^0$ и $\mathbf{u}$ — это решение
$$\dot{\mathbf{u}}={\mathbf{L}}_0\mathbf{u}$$

с начальным условием ${\mathbf{u}}^0$ при $t=0$. Согласно (2.22), $\dot{\mathbf{y}}=$ $=\dot{\mathbf{z}}(t,0)$. Если положить ${\mathbf{y}}^{\prime }=\mathbf{v}$, тогда $\mathbf{v}(t)$ — решение урав. нения
$$\dot{\mathbf{v}}={\mathbf{L}}_0(\mathbf{v})+{\mathbf{L}}_0^{\prime }(\mathbf{z}),\mathbf{v}(0)=0.$$

Линейное векторное уравнение, получающееся из (2.16), таково:
$$\rho \dot{\mathbf{z}}\left(T_0\right)+\sigma \mathbf{v}\left(T_0\right)+\mathbf{u}\left(T_0\right)-\mathbf{u}(0)=0,$$

где $\mathbf{z}(t)$ обозначает решение (2.10) уравнения
$$\dot{\mathbf{z}}={\mathbf{L}}_0(\mathbf{z})$$
$\mathbf{u}(t)$ — какое-нибудь решение этого однородного линейного дифференциального уравнения с постоянным ${\mathbf{L}}_0$, и $\mathbf{v}(t)$ — решение (2.23). Покажем сейчас, что соотношение (2.24) возможно лишь тогда, когда $\rho =\sigma =0$ и $\mathbf{u}(t)=0$.
Теперь для всех $t$
$$\dot{\rho \mathbf{z}}(t)+\sigma [\mathbf{v}(t+T_0)-\mathbf{v}(t)]+\mathbf{u}(t+T_0)-\mathbf{u}(t)=0.$$

Это выполняется, так как $\mathbf{z}(t)$ имеет период $T_0$, поэтому из (2.23) следует, что выражение в квадратных скобках есть решение (2.25); $\mathbf{z}$ также решение (2.25), следовательно, вся левая часть (2.26) есть решение (2.25). Из (2.24) и того обстоятельства, что $\mathbf{v}(0)=0$, следует, что начальное условие этого решения нулевое и, таким образом, оно тождественно равно нулю. Теперь из (2.13) и (2.23) следует, что
$$\mathbf{v}(t)-{\mathbf{z}}^{\prime }(t)+\mathbf{g}(t),\dot{\mathbf{g}}(t)={\mathbf{L}}_0(\mathrm{g}).$$

Таким образом, по (2.14) и (2.15) квадратная скобка в (2.26) равна
$$T_0[\mathrm{Re}\left({\alpha }^{\prime }\right)\cdot \mathbf{z}(\dot{t})+\frac{\mathrm{Im}\left({\alpha }^{\prime }\right)}{\alpha }\cdot \dot{\mathbf{z}}(t)]+[\mathrm{g}(t+T_0)-\mathbf{g}(t)].$$

Положим $\mathbf{u}+\sigma \mathbf{g}=\mathbf{w}$ и
$$\sigma T_0\mathrm{Re}\left({\alpha }^{\prime }\right)\cdot \mathbf{z}(t)+[\rho +\sigma T_0\frac{\mathrm{Im}\left({\alpha }^{\prime }\right)}{\alpha }]\dot{\mathbf{z}}(t)=\tilde{\mathbf{z}}(t).$$

Тогда получим, что
$$\tilde{\mathbf{z}}(t)+\mathbf{w}(t+T_0)-\mathbf{w}(t)=0,$$
rде $\mathbf{w}(t)$ — решение, а $\tilde{\mathbf{z}}(t)$ — периодическое решение (2.25). Это значчит, что
$$\mathbf{w}(t)=-\frac{t}{T_0}\tilde{z}(t)+q(t)$$

с периодической функцией $q$. Однако, как мы перед этим установили, таких решений не существует, если $\tilde{\mathbf{z}}eq0$.

Так как $\mathbf{z}$ и $\mathbf{z}$ линейно независимы, то из (2.27) и предположения (1.2) следует, что $\sigma =0$ и $\rho =0$. Таким образом, по $(2.24)\mathbf{u}(t)$ имеет период $T_0$.

Наконец, так как $d{\mathbf{y}}^0={\mathbf{u}}^0$ и $d{\mathbf{y}}^{\dot{0}}=\dot{\mathbf{u}}$ при $t=0$, из уравнений (2.18) следует, что $\mathbf{u}\cdot \mathbf{e}=\dot{\mathbf{u}}\cdot \mathbf{e}=0$ при $t=0$. Периодическое решение уравнения $\dot{\mathbf{u}}={\mathbf{L}}_0(\mathbf{u})$ с такими свойствами обязано быть нулевым, как мы установили выше.

Этим завершается доказательство существования семейства периодических решений ${}^1$ ).
Решения (2.19) аналитичны в точке $\epsilon =0$,
$$\begin{array}{l}T=T_0(1+{\tau }_1\epsilon +{\tau }_2{\epsilon }^2+\dots ),\\ \mu ={\mu }_1\epsilon +{\mu }_2{\epsilon }^2+\dots .\end{array}$$

Периодические решения $\mathbf{y}(t,\epsilon )$ уравнения (2.23) и семейство периодических решений
$$\mathbf{x}(t,\epsilon )=\epsilon \mathbf{y}(t,\epsilon )$$

уравнения (1.1) аналитичны в каждой точке $(t,0)$.
Те же самые периодические решения получаются, если вместо $T_0$ начать с кратного периода $m{T}_0$, т. е. если рассматривать окрестность системы значений
$$T=m{T}_0,\mu =0,{\mathbf{y}}^0={\mathbf{z}}^0$$

вместо (2.20). Ничего существенного в доказательстве не изменится.