Без ограничения общности можно предположить, что стационарное решение находится в начале координат, т. е.
\[
\mathbf{F}(0, \mu)=0 .
\]

Пусть разложение $\mathrm{F}$ в ряд по степеням $x_{i}$ имеет вид
\[
\mathbf{F}(\mathbf{x}, \boldsymbol{\mu})=\mathbf{L}_{\mu}(\mathbf{x})+\mathbf{Q}_{\boldsymbol{\mu}}(\mathbf{x}, \mathbf{x})+\mathbf{K}_{\boldsymbol{\mu}}(\mathbf{x}, \mathbf{x}, \mathbf{x})+\ldots,
\]

где вектор-функции
\[
\mathbf{L}_{\mu}(\mathbf{x}), \mathbf{Q}_{\mu}(\mathbf{x}, \mathbf{y}), \mathbf{K}_{\mu}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}), \ldots
\]

являются линейными функциями каждого аргумента и симметричны по этим векторам.
Подстановка
\[
\mathbf{x}=\mathbf{8}
\]

преобразует (1.1) в
\[
\dot{\mathbf{y}}=\mathbf{L}_{\mu}(\dot{\mathbf{y}})+\varepsilon \mathbf{Q}_{\mu}(\mathbf{y}, \mathbf{y})+\varepsilon^{2} \mathbf{K}_{\mu}(\mathbf{y}, \mathbf{y}, \mathbf{y})+\ldots .
\]
$=\mathbf{y}^{0}$ ( у $^{0}$ произвольно). Рассмотрим случай $\varepsilon=0$ в (2.3), т. е. линейное однородное дифференциальное уравнение
\[
\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{L}_{\mu}(\mathbf{z})
\]

Для вопросов существования оно имеет решающее значение.

Комплексно-сопряженные характеристические показатели $\alpha(\mu), \bar{\alpha}(\mu)$, о которых говорилось в предположениях теоремы, просты для всех малых $|\mu|$. В соответствующих решениях
\[
e^{a t} \mathbf{a}, \quad e^{\bar{a} \overline{\mathbf{a}}}
\]

уравнения (2.4) комплексный вектор а определен поэтому с точностью до комплексного скалярного множителя; а̄ — сопряженный вектор. Кроме того, в силу простоты не существует решений вида
\[
e^{a t}(t \mathbf{b}+\mathbf{c}), \quad \mathbf{b}
eq 0 .
\]

В точке $\mu=0 \alpha(\mu)$-аналитическая функция. Можно выбрать фиксированный действительный вектор $\mathbf{e}
eq 0$ так, чтобы для всех малых $|\mu| \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}
eq 0$ для $\mathbf{a}
eq 0$. Тогда $\mathbf{a}=$ $=\mathbf{a}(\mu)$ единственным образом определяется условием
\[
\mathbf{a}(\mu) \cdot \mathbf{e}=\frac{1}{\alpha(\mu)-\bar{\alpha}(\mu)}, \quad(\mathrm{e}=\overline{\mathbf{e}}
eq 0) .
\]

По предположению
\[
\alpha(0)=-\bar{\alpha}(0)
eq 0 .
\]

В точке $\mu=0$ a $(\mu)$ аналитична.
Действительные решения уравнения (2.4), являющиеся линейными комбинациями (2.5), имеют вид
\[
\mathbf{z}=c e^{\alpha} \mathbf{a}+\bar{c} e^{\bar{\alpha} t} \mathbf{a}
\]

с комплексным скаляром $c$. Они образуют семейство, зависящее от двух действительных параметров; один из этих параметров пропорционален множителю, а другой представляет собой аддитивную по $t$ постоянную (решения образуют лишь однопараметрическое семейство кривых).
В силу того что $\mathbf{e}=\overline{\mathbf{e}}$, имеем
\[
\left.\begin{array}{l}
\mathbf{z} \cdot \mathbf{e}=c \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}+\bar{c} \overline{\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}} \\
\dot{\mathbf{z}} \cdot \mathbf{e}=c \alpha \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}+\bar{c} \overline{\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}}
\end{array}\right\} \quad \text { при } \quad t=0 .
\]

Для $c=1$ (2.9) превращается в
\[
\mathbf{z}=e^{a t} \mathbf{a}+e^{\bar{a} t \overline{\mathbf{a}}}=\mathbf{z}(t, \mu) .
\]

В силу (2.7) это z удовлетворяет условиям:
\[
t=0: \mathrm{z} \cdot \mathrm{e}=0, \quad \frac{d}{d t}(\mathrm{z} \cdot \mathrm{e})=1 .
\]

Это единственное решение вида (2.9); удовлетворяющее этим условиям, так как из
\[
t=0: \mathbf{z} \cdot \mathbf{e}=\mathbf{z} \cdot \mathbf{e}=0
\]

и из (2.9), (2.7) и (2.8) следует, что $c=0$; таким образом, $\mathrm{z}=0$.

По предположению при $\mu=0 \alpha$ и $\bar{\alpha}$ — единственные из всех характеристических показателей, являющиеся чисто мнимыми. Следовательно, для $\mu=0$ (2.9) определяет все действительные периодические решения (2.4). Их период
\[
T_{0}=2 \pi / \alpha(0) \mid .
\]

В частности, для $\mu=0$ (2.10)-единственное периодическое решение со свойствами (2.11).

Для дальнейшего заметим также, что при $\mu=0$ (2.4) не имеет решений вида
\[
t \mathbf{p}(t)+\mathbf{q}(t),
\]

где $\mathbf{p}$ и q имеют общий период и р не тождественно равна нулю. Иначе бы (2.4) распалось на два уравнения
\[
\dot{\mathbf{p}}=\mathbf{L}_{0}(\mathbf{p}), \quad \mathbf{p}+\dot{\mathbf{q}}=\mathbf{L}_{0}(\mathbf{q}),
\]

и $\mathbf{p}$ было бы нетривиальной линейной комбинацией (2.5). Разложение $\mathbf{q}(t)$ в ряд Фурье приводило бы тогда к решению вида (2.6).

Дифференцируя (2.4) по $\mu$ в точке $\mu=0$, получим неоднородное дифференциальное уравнение
\[
\dot{\mathbf{z}}^{\prime}=\mathbf{L}_{0}\left(\mathbf{z}^{\prime}\right)+\mathbf{L}_{0}^{\prime}(\mathbf{z}) ; \quad \mathbf{L}_{0}^{\prime}=\frac{d}{d \mu} \mathbf{L}_{\mu}(\mu=0),
\]

а для производной по $\mu$ от (2.10):
\[
\mathbf{z}^{\prime}=t\left(\alpha^{\prime} e^{\alpha t} \mathbf{a}+\bar{\alpha}^{\prime} e^{\bar{a}} \overline{\mathbf{a}}\right)+\left(e^{\alpha t} \mathbf{a}^{\prime}+e^{\bar{\alpha} \overline{\mathbf{a}^{\prime}}}\right), \quad(\mu=0) .
\]

Множитель при $t$ есть решение уравнения (2.4). Если его линейно выразить через решение (2.10) и $\dot{\mathbf{z}}$, то из (2.8) будет следовать, что
\[
\mathbf{z}^{\prime}=t\left(\operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}\right) \mathbf{z}+\frac{\operatorname{Im}\left(\alpha^{\prime}\right)}{\alpha} \cdot \dot{\mathbf{z}}\right)+\mathbf{h}(t)
\]

где
\[
\mathbf{h}\left(t+T_{0}\right)=\mathbf{h}(t) .
\]

Пусть теперь
\[
\mathbf{y}=\mathbf{y}\left(t, \mu, \varepsilon, \mathbf{y}^{0}\right)
\]

решение (2.3), удовлетворяющее начальному условию $\mathbf{y}=\mathbf{y}^{\mathbf{0}}$ при $t=0$. Согласно хорошо известным теоремам, оно аналитически зависит от всех своих аргументов в каждой точке $\left(t, 0,0, \mathbf{y}^{0}\right)$. Это решение периодично с периодом $T$ в том и только в том случае, когда оно удовлетворяет уравнению
\[
\mathbf{y}\left(T, \mu, \boldsymbol{\varepsilon}, \mathbf{y}^{0}\right)-\mathbf{y}^{0}=0 .
\]

Если обозначить через $z^{0}$ начальное условие фиксированного решения (2.10) уравнения (2.4) при $\mu=0$, то (2.16) выполняется при значениях
\[
T=T_{0}, \quad \mu=\varepsilon=0, \quad \mathbf{y}^{0}=\mathbf{z}^{0} .
\]

Возникает задача: для данного $\varepsilon$ решить уравнение (2.16) относительно $T, \mu$ и у0. Это $n$ уравнений с $(n+2)$ неизвестными. Чтобы сделать решение единственным, добавим еще два уравнения
\[
\mathbf{y}^{0} \cdot \mathbf{e}=0, \quad \dot{\mathbf{y}}^{0} \cdot \mathbf{e}=1,
\]

где $\mathbf{e}$-действительный вектор, введенный выше, а $\dot{\mathbf{y}}^{0}=\dot{\mathbf{y}}$ при $t=0$. Как будет показано в следующем параграфе, введение этих условий не налагает ограничений на все множество решений в малом. Из (2.11) следует, что для начальных условий $\mu=\varepsilon=0, \mathbf{y}^{0}=\mathbf{z}^{0}$ этим уравнениям удовлетворяют решения (2.10).

Для всех достаточно малых $|\varepsilon|$ (2.16) и (2.18) имеют точно одно решение
\[
T=T(\varepsilon), \quad \mu=\mu(\varepsilon), \quad \mathbf{y}^{0}=\mathrm{y}^{0}(\varepsilon)
\]

в некоторой окрестности системы значений
\[
T=T_{0}, \quad \mu=0, \quad \mathbf{y}^{0}=\mathbf{z}^{0}
\]

в следующем случае: система линейных уравнений, образованная взятием дифференциалов (в равенствах (2.16)) по переменным $T, \mu, \varepsilon, \mathbf{y}^{0}$, имеет единственное решение при данном $d \varepsilon$. Это эквивалентно тому, что функции (2.19) существуют, если эти линейные уравнения при $d \varepsilon=0$ имеют нулевое решение $d T=d \mu=d \mathbf{y}^{0}=0$. Именно этот случай и осуществляется, как сейчас будет показано. Имеем
\[
\dot{\mathbf{y}}=\mathbf{L}_{\mu}(\mathbf{y}), \quad \mathbf{y}=\mathbf{y}\left(t, \mu, 0, \mathbf{y}^{0}\right) .
\]

В частности,
\[
\mathbf{y}\left(t, \mu, 0, \mathbf{z}^{0}\right)=\mathbf{z}(t, \mu)
\]

есть решение (2.10). Дифференциал $d \mathbf{y}\left(t, \mu, 0, \mathbf{y}^{0}\right)$ является суммой дифференциалов относительно отдельных аргументов, когда все остальные фиксированы. Если ввести для дифференциалов
\[
d t, \quad d \mu, \quad d \mathbf{y}^{0},
\]

как для независимых констант или векторов, обозначения
\[
\rho, \sigma, \mathbf{u}^{0},
\]

то вышеуказанный дифференциал запишется как $\rho \dot{\mathbf{y}}+\sigma \mathbf{y}^{\prime}+$ $+\mathbf{u}$. Здесь $\dot{\text { у }}$ и $\mathbf{y}^{\prime}=\partial \mathbf{y} / \partial \mu$ берутся в точке $T=T_{0}, \mu=0$, $\mathbf{y}^{0}=\mathbf{z}^{0}$ и $\mathbf{u}$ — это решение
\[
\dot{\mathbf{u}}=\mathbf{L}_{0} \mathbf{u}
\]

с начальным условием $\mathbf{u}^{0}$ при $t=0$. Согласно (2.22), $\dot{\mathbf{y}}=$ $=\dot{\mathbf{z}}(t, 0)$. Если положить $\mathbf{y}^{\prime}=\mathbf{v}$, тогда $\mathbf{v}(t)$ — решение урав. нения
\[
\dot{\mathbf{v}}=\mathbf{L}_{0}(\mathbf{v})+\mathbf{L}_{0}^{\prime}(\mathbf{z}), \quad \mathbf{v}(0)=0 .
\]

Линейное векторное уравнение, получающееся из (2.16), таково:
\[
\rho \dot{\mathbf{z}}\left(T_{0}\right)+\sigma \mathbf{v}\left(T_{0}\right)+\mathbf{u}\left(T_{0}\right)-\mathbf{u}(0)=0,
\]

где $\mathbf{z}(t)$ обозначает решение (2.10) уравнения
\[
\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{L}_{0}(\mathbf{z})
\]
$\mathbf{u}(t)$ — какое-нибудь решение этого однородного линейного дифференциального уравнения с постоянным $\mathbf{L}_{0}$, и $\mathbf{v}(t)$ — решение (2.23). Покажем сейчас, что соотношение (2.24) возможно лишь тогда, когда $\rho=\sigma=0$ и $\mathbf{u}(t)=0$.
Теперь для всех $t$
\[
\dot{\rho \mathbf{z}}(t)+\sigma\left[\mathbf{v}\left(t+T_{0}\right)-\mathbf{v}(t)\right]+\mathbf{u}\left(t+T_{0}\right)-\mathbf{u}(t)=0 .
\]

Это выполняется, так как $\mathbf{z}(t)$ имеет период $T_{0}$, поэтому из (2.23) следует, что выражение в квадратных скобках есть решение (2.25); $\mathbf{z}$ также решение (2.25), следовательно, вся левая часть (2.26) есть решение (2.25). Из (2.24) и того обстоятельства, что $\mathbf{v}(0)=0$, следует, что начальное условие этого решения нулевое и, таким образом, оно тождественно равно нулю. Теперь из (2.13) и (2.23) следует, что
\[
\mathbf{v}(t)-\mathbf{z}^{\prime}(t)+\mathbf{g}(t), \quad \dot{\mathbf{g}}(t)=\mathbf{L}_{0}(\mathrm{~g}) .
\]

Таким образом, по (2.14) и (2.15) квадратная скобка в (2.26) равна
\[
T_{0}\left[\operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}\right) \cdot \mathbf{z}(\dot{t})+\frac{\operatorname{Im}\left(\alpha^{\prime}\right)}{\alpha} \cdot \dot{\mathbf{z}}(t)\right]+\left[\mathrm{g}\left(t+T_{0}\right)-\mathbf{g}(t)\right] .
\]

Положим $\mathbf{u}+\sigma \mathbf{g}=\mathbf{w}$ и
\[
\sigma T_{0} \operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}\right) \cdot \mathbf{z}(t)+\left[\rho+\sigma T_{0} \frac{\operatorname{Im}\left(\alpha^{\prime}\right)}{\alpha}\right] \dot{\mathbf{z}}(t)=\tilde{\mathbf{z}}(t) .
\]

Тогда получим, что
\[
\tilde{\mathbf{z}}(t)+\mathbf{w}\left(t+T_{0}\right)-\mathbf{w}(t)=0,
\]
rде $\mathbf{w}(t)$ — решение, а $\tilde{\mathbf{z}}(t)$ — периодическое решение (2.25). Это значчит, что
\[
\mathbf{w}(t)=-\frac{t}{T_{0}} \tilde{z}(t)+q(t)
\]

с периодической функцией $q$. Однако, как мы перед этим установили, таких решений не существует, если $\tilde{\mathbf{z}}
eq 0$.

Так как $\mathbf{z}$ и $\mathbf{z}$ линейно независимы, то из (2.27) и предположения (1.2) следует, что $\sigma=0$ и $\rho=0$. Таким образом, по $(2.24) \mathbf{u}(t)$ имеет период $T_{0}$.

Наконец, так как $d \mathbf{y}^{0}=\mathbf{u}^{0}$ и $d \mathbf{y}^{\dot{0}}=\dot{\mathbf{u}}$ при $t=0$, из уравнений (2.18) следует, что $\mathbf{u} \cdot \mathbf{e}=\dot{\mathbf{u}} \cdot \mathbf{e}=0$ при $t=0$. Периодическое решение уравнения $\dot{\mathbf{u}}=\mathbf{L}_{0}(\mathbf{u})$ с такими свойствами обязано быть нулевым, как мы установили выше.

Этим завершается доказательство существования семейства периодических решений ${ }^{1}$ ).
Решения (2.19) аналитичны в точке $\varepsilon=0$,
\[
\begin{array}{l}
T=T_{0}\left(1+\tau_{1} \varepsilon+\tau_{2} \varepsilon^{2}+\ldots\right), \\
\mu=\mu_{1} \varepsilon+\mu_{2} \varepsilon^{2}+\ldots .
\end{array}
\]

Периодические решения $\mathbf{y}(t, \varepsilon)$ уравнения (2.23) и семейство периодических решений
\[
\mathbf{x}(t, \varepsilon)=\varepsilon \mathbf{y}(t, \varepsilon)
\]

уравнения (1.1) аналитичны в каждой точке $(t, 0)$.
Те же самые периодические решения получаются, если вместо $T_{0}$ начать с кратного периода $m T_{0}$, т. е. если рассматривать окрестность системы значений
\[
T=m T_{0}, \quad \mu=0, \quad \mathbf{y}^{0}=\mathbf{z}^{0}
\]

вместо (2.20). Ничего существенного в доказательстве не изменится.