(8A.1) Определения. Пусть имеется множество D. Поток на $D$ — это семейство отображений $F_{t}: D \rightarrow D$, определенных при всех $t \in \mathbb{R}$ и таких, что:
(1) $F_{0}$ — тождественное отображение;
(2) $F_{t+s}=F_{t} \circ F_{s}$ для всех $t, s \in \mathbb{R}$.

Отметим, что при фиксированном $t$ отображение $F_{t}$ взаимно однозначно и отображает на все $D$, так как $F_{-t} \circ F_{t}$ an id и $F_{t} \circ F_{-t}=$ id, , e. $F_{t}^{-1}=F_{-t}$.

Полупоток на $D$ — это семейство отображений $F_{t}: D \rightarrow D$, определенных при $t \geqslant 0$ и также удовлетворяющих условиям (1) и (2) для $t, s \geqslant 0$.

Предостережение: полупоток не обязательно состоит из биекций $\left.{ }^{1}\right)$.
(8А.2) Определение. Пусть $N$-топологическое пространство и $D \subset N$.
Локальный поток на $D$ — это отображение $F: \mathscr{D} \rightarrow D, \mathscr{D} \subset$ $\subset \mathbb{R} \times D$, где $\mathscr{D}$ открыто в топологии произведения и такое, что для $x \in D$ точка $(0, x) \in \mathscr{D}$, а если $\mathscr{D}_{t}=\{x \in D \mid(t, x) \in$ $\in \mathscr{D}\}$, так что можно определить $F_{t:} \mathscr{D}_{t} \rightarrow D$, то $F_{t}$ удовлет-
1) Биекция — взаимно-однозначное отображение множества $D$ на множество D. — Прим. перев.

воряет условиям (1) и (2) для тех значений $t$, где оно определено. Поток максимальный, если из $(t, x) \in \mathscr{D},\left(s, F_{t}(x)\right) \in$ $\in \mathscr{D}$ следует $(s+t, x) \in \mathscr{D}$. Аналогично определяется локальный полупоток и максимальный полупоток.

Пусть теперь $N$ — банахово многообразие. Векторное поле $c$ областью определения $D$ — это отображение $X: D \rightarrow$ $\rightarrow T(N)$, такое, что $X(x) \in T_{x}(N)$ при всех $x \in D$. $\left(T_{x}(N)-\right.$ касательное пространство к $N$ в точке $x \in D \subset N$.) Интегральная кривая поля $X$ — это кривая $c:(a, b) \rightarrow D,(a, \beta) \subset$ $\subset \mathbb{R}$, причем $c$ дифференцируемо как отображение из $(a, b)$ в $N$ и $c^{\prime}(t)=X(c(t))$. Поток (соответственно полупоток, локальный поток) поля $X$ — это поток (соответственно полупоток, локальный поток) на $D$, такой, что для всех $x \in D$ отображение $t \longmapsto F_{t}(x)$ есть интегральная кривая поля $X$.

Если $F_{t}$ — поток на $N$, для которого отображение $F: \dot{\mathrm{R}} \times$ $X N \rightarrow N$, задаваемое как $(t, x) \mapsto F_{t}(x)$, класса $C^{0}$, то мы будем говорить, что $F$ есть $C^{0}$-поток на $N$.

Если $F_{t}$ — поток поля $X$ и $F_{t}$ продолжается до непрерывного отображения $F_{t}: N \rightarrow N^{1}$ ), а продолжение является $C^{0}$-потоком на $N$, то мы будем говорить, что $F_{t}$ есть $C^{0}$-поток поля $X$.

Если $F_{t}$ является $C^{0}$-потоком на $N$ и при каждом фиксированном $t$ отображение $F_{t}: N \rightarrow N$ класса $C^{k}$ (соответственно $T^{k}$ ), то скажем, что $F_{t}$ — поток класса $C^{k}$ (соответственно $\left.T^{k}\right)$.

Здесь принадлежность $F_{t}: N \rightarrow N$ классу $T^{k}$ означает, что $j$-е касательное отображение $T^{j} F_{t}: T^{j}(N) \rightarrow T^{j}(N)$ существует и непрерывно для $j \leqslant k$; принадлежность $F_{t}: N \rightarrow N$ классу $C^{k}$ означает, что в каждой карте отображение $x \rightarrow d_{x}^{l} F, j \leqslant$ $\leqslant k$ непрерывно в топологии, порожденной нормой ( $d_{x}^{l} F$ есть $j$-я полная производная $F$ в точке $x$. Это $j$-линейное отображение на пространстве, являющемся моделью ${ }^{2}$ ) для $N$.) Случай $T^{k}$ отличается от $C^{k}$-случая тем, что непрерывность по норме заменяется сильной непрерывностью.

Предостережение. Здесь не предполагается, что $C^{k}$-поток будет класса $C^{k}$ по переменной $t$, а только по переменной $x$. Поток будет класса $C^{k}$ по переменной $t$, только если он порожден гладким всюду определенным векторным полем (см., однако, теорему Бохнера-Монтгомери, приведенную ниже).
1) Конечно, при каждом $t \in \mathbb{R}$. — Прим. перев.
2) Для связного банахова многообразия это пространство, изоморфное касательному пространству в некоторой (а следовательно, и в любой) точке (см. Ленг [1]). — Прим. первв.