Известно, что интегральные кривые липшиц-непрерывного векторного поля однозначно определяются своими начальными условиями, но это неверно для некоторых непрерывных векторных полей ${ }^{1}$ ). С другой стороны, известно, что интег-
1) Известный пример на прямой – это $X(x)=x^{2 / 3}$. В пространстве Фреше непрерывное линейное векторное поле $S: X \rightarrow X$ может иметь бесконечно много интегральных кривых с данными начальными условиями, например: $S\left(x_{0}, x_{1}, \ldots\right)=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right)$ на пространстве $E$ действительных последовательностей с топологией поточечной сходимости или может воральные кривые уравнений, порождающих линейные полугруппы, единственны. Следующий результат показывает, что эта единственность есть следствие локальной липшиц-непрерывности потока (см. теорему ван Кампена, Хартман [1], стр. 50).
(8A.11) Теорема. Пусть $X$ – векторное поле на банаховом многообразии $M$ с областью определения $D$. Допустим, что $X$ порождает локально липшиц-непрерывный поток $F_{t}$. Более точно, предположим, что:
(a) $F_{t}$ – группа взаимно-однозначных отображений $D$, для каждого $x \in D$ отображение $t \mapsto F_{t}(x)$ дифференцируемо в $M$ и
\[
\frac{d}{d t} F_{t}(x)=X\left(F_{t}(x)\right)
\]
(б) для каждых $x_{0} \in M$ и $t_{0} \in \mathbb{R}$ существуют окрестность $\mathcal{U} \subset M$ точки $x_{0}$ и $\varepsilon>0$, такие, что в локальных картах
\[
d\left(F_{t} x, F_{t} y\right) \leqslant C d(x, y)
\]

для $x, y \in \mathcal{U}$ и $t \in\left[t_{0}-\varepsilon, t_{0}+\varepsilon\right]$. Здесь предполагается, что постоянная $C$ не зависит от $x, y$ и $t$ (другими словами, локальная константа Липшица предполагается локально ограниченной по $t$. Например, это выполняется для глобально липшиц-непрерывного потока).

Заключение: если $c(t)$-кривая в $D$, такая, что $c^{\prime}(t)=$ $=X(c(t))$, то $c(t) F_{t}(c(0))$.

Доказательство. Мы можем работать в локальной карте (см. (8A.13)), поэтому будем считать $M$ банаховым пространством $\mathbb{E}$. Для данного $t_{0}$ пусть $x_{0}=c\left(t_{0}\right)$. Выберем тогда $\varepsilon>0$ и окрестность $U$ точки $x_{0}$ из условия (б); в дополнение к этому $\varepsilon$ должно быть столь мало, чтобы $c(t) \in \mathcal{U}$ при $\left|t-t_{0}\right| \leqslant \varepsilon$.

Определим $h(t)=F_{t_{0}-t} c(t)$. Тогда для $t$, близких к $t_{0}$, и малых $\tau$
\[
\begin{array}{l}
\|h(t+\tau)-h(t)\|=\left\|F_{t_{0}-t-\tau} c(t+\tau)-F_{t_{c}-t} c(t)\right\|= \\
\quad=\left\|F_{t_{0}-t-\tau} c(t+\tau)-F_{t-t-\tau} F_{\tau} c(t)\right\| \leqslant C\left\|c(t+\tau)-F_{\tau} c(t)\right\| .
\end{array}
\]

Кроме того, $\left[c(t+\tau)-F_{\tau} c(t)\right] / \tau=[c(\mathrm{t}+\tau)-c(t)] / \tau+$ $+\left[c(t)-F_{\tau} c(t)\right] / \tau \rightarrow X(c(t))-X(c(t))=0$ при $\tau \rightarrow 0$. Tа-

обще не нметь интегральных кривых с данными начальными условиями: $S(f)=d f / d x$ на $E=C^{\infty}$-функции на $[0,1]$, равные нулю вместе со всеми производными в точках 0 и 1. Результат (8A.11) существенно обобщается в работе Дорро и Марсдена [1].

ким образом, $h$ дифференцируема и $h^{\prime}(t) \equiv 0$. Отсюда следует, что $h(t)$ константа, т. е. $c(t)=F_{t-t} c\left(t_{0}\right)$ для $t$, близких к $t_{0}$. Отсюда легко следует соотношение $c(t)=F_{t} c(0)$.
(8A.12) Следствие. Заключение теоремы (8А.11) применимо к $C^{1}$-потокам $F_{t}$.

Доказательство. Проверим условие (б) предположения теоремы. Для локальной карты из наших результатов о совместной непрерывности (см. (8A.6)) следует, что $D F_{t}(x) y$ непрерывно совместно по $t, x$ и $y$. Следовательно, по теореме Банаха – Штейнхауса для данных $x_{0}$ и $t_{0}$ существуют выпуклая окрестность $\mathcal{U}$ точки $x_{0}$ и $\varepsilon>0$, такие, что $\left\|D F_{t}(x)\right\| \leqslant C$, если $x \in \mathcal{U}$ и $\left|t-t_{0}\right| \leqslant \varepsilon$. Тогда по теореме о среднем значении получаем, что $\left\|F_{t}(x)-F_{t}(y)\right\| \leqslant C\|x-y\|$, если $x, y \in$ $\in \mathcal{U}$ и $\left|t-t_{0}\right| \leqslant \varepsilon$.

Эти результаты обобщают классические теоремы Кнезера и ван Қампена. Они легко обобщаются на полупотоки.

Замечание. Существует хорошо известный пример непрерывного векторного поля с совместно непрерывным потоком, для которого заключение теоремы (8A.11) не выполняется. Пусть поле $X$ на $R$ задано выражением
\[
X(x)=\frac{3}{2}|x|^{1 / 2} .
\]

Определим $\varphi(y)=|y|^{3 / 2} \cdot \operatorname{sgn} y$. Тогда $\varphi$ дифференцируема и $\varphi^{\prime}(y)=\frac{3}{2}|y|^{1 / 2}$. Легко проверить, что $F_{t}(x)=\varphi\left(t+\varphi^{-1}(x)\right)$ является потоком для $X$. В частности, $F_{t}(0)=|t|^{3 / 2} \operatorname{sgn} t$. Но $c(t) \equiv 0$ – другая интегральная кривая, для которой $c(0)=$ $=0$. Другие примеры см. у Хартмана [1].
(8A.13) Замечания. 1) В случае, когда требуется работать на всем $M$, а не в отдельных картах, можно использовать специального типа метрику.

Определение. Пусть $N$ – банахово многообразие, моделью которого служит банахово пространство $\mathbb{E}$. Пусть $d$-метрика на $N$. Скажем, что $d$ совместима со структурой $N$, если $d$ задает топологию $N$ и если для любого $x_{0} \in N$ существует карта $(\mathcal{U}, \varphi)$, содержащая $x_{0}$ и постоянные $\boldsymbol{\alpha}\left(x_{0}\right), \boldsymbol{\beta}\left(x_{0}\right)$, такие, что для всех $x, y \in \mathcal{U} d(x, y) \leqslant \alpha\|\varphi(x)-\varphi(y)\| \leqslant$ $\leqslant \beta d(x, y)$.
2) Обычно для доказательства единственности интегральных кривых, например, в $\mathbb{R}^{n}$, пользуются не зтим методом. Обычно предполагают, что векторное поле локально липшиц-

непрерывно, и тогда для доказательства единственности интегрируют его. Напомним, как это делается. Пусть $X$ – локально липшиц-непрерывное векторное поле в $\mathbb{R}^{n}$ (или любом банаховом пространстве). Пусть $d(t)$ и $c(t)$ – две любые интегральные кривые поля $X$ и $d(0)=c(0)$. Тогда
\[
|d(t)-c(t)|=\mid \int_{0}^{t}\left(X(d(s))-X(c(s)) d s\left|\leqslant K \int_{0}^{t}\right| d(s)-c(s) \mid d s .\right.
\]

Затем применяют тот факт (называемый неравенством Гронуолла), что если $\alpha$ удовлетворяет неравенству $\alpha(t) \leqslant$ $\leqslant \int_{0}^{t} K \alpha(s) d s, \quad$ то $\alpha(t) \leqslant \alpha(0) e^{K t}$. Поэтому получаем $d(t) \equiv$ $\equiv c(t)$. Для уравнений с частными производными, однако, важно иметь результат, установленный в (8A.11), так как часто бывает возможно найти константу Липшица для построенного потока, но редко – для порождающего векторного поля.
3) Другой метод, иногда используемый для доказательства единственности интегральных кривых векторного поля $X$ с областью определения $D \subseteq N$, называется энергетическим методом. Допустим, что существует гладкая функция $H: D X$ $\times D \rightarrow \mathbb{R}^{+}$, для которой $H(x, y)=0$, тогда и только тогда, когда $x=y$, и для любых двух интегральных кривых $c$ и $d$ поля $X$
\[
\frac{d H(c(t), d(t))}{d t} \leqslant K(t, d(0), c(0)) H(c(t), d(t)),
\]

где $K$ локально ограничена по $t$. Тогда, как в замечании 2 , мы можем заключить, что $X$ имеет единственную интегральную кривую. Этот метод прямо применим, например, к классическим решениям уравнений Эйлера и Навье – Стокса.