Начиная с этого места, в силу теоремы 7.1 мы можем считать $\left.f\right|_{v}$ действуюцим в окрестности точки $(0,0)$ пространсгва $E^{0} \times(-1,1)$, например вида $U \times J$, и через $A_{\mu}$ будем обозначать $\left.D f_{\mu}(0)\right|_{E^{*}}$. $\Lambda_{G}^{0}$ будет тогда группой изометрий гильбертова пространства $E^{0}$. Теперь мы выделим типичное подмножество $^{1}$ ) в $\mathscr{F}$, поддающееся удовлетворительному описанию.

Характеристический полином $A_{0}$ является произведением множителей вида $(x-1),(x+1)$ и $\left(x^{2}-2 \operatorname{Re} \lambda x+\lambda \bar{\lambda}\right)$ с $|\lambda|=1$. Пусть $\lambda$-комплексное собственное значение $A_{0}$ (аналогичное рассуждение применимо в случае $\lambda= \pm 1$ ), и пусть $F$ — нулевое подпространство оператора ( $A_{0}^{2}-$ — $\left.2 \operatorname{Re} \lambda A_{0}+\lambda \bar{\lambda} I\right)^{k}$, где $k$ — показатель, с которым $\left(x^{2}-\right.$ $-2 \operatorname{Re} \lambda x+\lambda \bar{\lambda})$ входит в характеристический полином $A_{0}$. Тогда $F \Lambda_{G}$-инвариантно, так как оно является нулевым подпространством оператора, который коммутирует с $\Lambda_{G} ; F^{\perp}$ также $\Lambda_{G}$-инвариантно, так как $F$ и $\Lambda_{g}$ сохраняют скалярное произведение.

Пусть $B: E^{0} \rightarrow E^{0}$ — ортогональное проектирование на $F^{\perp}$. Тогда $A_{0}+\varepsilon A_{0} B$ коммутирует с $\Lambda_{G}$ и оставляет $F$ и $F^{\perp}$ инвариантными. Оператор $\left.\left(A_{0}+\varepsilon A_{0} B\right)\right|_{F}$ имеет собственными значениями только $\lambda$ и $\bar{\lambda}$, а при $\varepsilon
eq 0 A_{0}+\left.\varepsilon A_{0} B\right|_{F \perp}$ не имеет собственных значений на окружности $|z|=1$. Используя (0.1) и (0.3), легко построить возмущение диффеоморфизма $\left.f\right|_{U \times J}$ так, чтобы новый оператор $D\left(\left.f\right|_{U \times J}\right)_{0}(0)=A_{0}+\varepsilon A_{0} B$ имел только одну пару собственных значений $\lambda, \bar{\lambda}$ на окружности $|z|=1$. Так как дополнение $E^{0}$ в $E \Lambda_{G}$-инвариантно $\left(E=E^{0} \oplus \operatorname{Ker} Q\right)$, то нетрудно продолжить это возмущение $\left.f\right|_{U \times J}$ до такого возмущения $f$, у которого соответствующий $D f_{0}(0)$ имеет собственными значениями только $\lambda$ и $\bar{\lambda}$, лежащие на единичной окружности, каждое конечной кратности. Для этого возмущения размерность $E^{0}$ уменьшается. Если теперь Spec $A_{\mu}$ для каждого $\mu$, близкого к нулю, состоит не
1) Типичное подмножество пространства — это пересечение счетного числа открытых всюду плотных подмножеств этого пространства. — Прим. nерев.

только из одной пары комплексных собственных значений $\lambda_{\mu}$, $\bar{\lambda}_{\mu}$, то мы можем сделать другое возмущение и дальше уменьшить размерность $E^{0}$. Таким образом, мы видим, что сколь угодно малым возмущением мы можем в конце концов добиться того, чтобы $\operatorname{Spec} A_{\mu}$ состоял или из одного действительного значения $\lambda_{\mu}$ при всех достаточно малых $\mu$, или из пары комплексных собственных значений $\lambda_{\mu}, \bar{\lambda}_{\mu}$, причем зависимость собственных значений от $\mu$ будет класса $C^{k-1}$.

Случай 1. Sрес $A_{\mu}$ при всех малых $\mu$ состоит из одного действительного собственного значения, причем $\lambda_{0}= \pm 1$. Запишем $A_{0}=S+T, S$ — симметричен, $T$ — антисимметричен. Используя тот факт, что $\Lambda_{g}$ — изометрия гильбертова пространства, можно проверить, что $S$ и $T$ коммутируют с $\Lambda_{G}$. Выберем ортонормированный базис в $E^{0}$, в котором $S$ диагонален; тогда в этом базисе $T_{i j}=-T_{j i}$.

Лемма 1. Если $T
eq 0$, то при сколь угодно малом $\varepsilon>0$ $\mathrm{Spec}\left(A_{0}+\varepsilon T\right)$ состоит более чем из одной точки.

Доказательство. Допустим, что $\operatorname{Spec}\left(A_{0}+\varepsilon T\right)$ состоит в точности из одной точки при всех достаточно малых $\varepsilon>0$. Тогда при всех таких $\varepsilon>0$
\[
\operatorname{det}\left(z I-\left(A_{0}+\varepsilon T\right)\right)=(z-\lambda(\varepsilon))^{n},
\]

где $\operatorname{Spec}\left(A_{0}+\varepsilon T\right)=\{\lambda(\varepsilon)\}$ и $n=\operatorname{dim} E^{0}$. Сравнивая коэффициенты при $z^{n-1}$ в обеих частях (2.1) (диагональные члены $\varepsilon T$ равны нулю!), мы видим, что $\operatorname{tr} A_{0}=n \lambda(\varepsilon)$. Но $\operatorname{tr} A_{0}=$ $=n \lambda(0)$. Поэтому $\lambda(\varepsilon)=\lambda(0)$ при всех малых $\varepsilon>0$. Отсюда следует, что $\operatorname{det}\left(z I-\left(A_{0}+\varepsilon T\right)\right)$ не зависит от $\varepsilon$ при малых $\varepsilon>0$. Однако коэффициент при $z^{n-2}$ в этом полиноме равен $\sum_{i<j}\left(S_{i l} \cdot S_{i j}-S_{i j}^{2}\right)+\sum_{i<j}\left(T_{i j}+\varepsilon T_{i j}\right)^{2}$ и, следовательно, не будет равен постоянной, кроме случая $T=0$.

Так как $T$ коммутирует с $\Lambda_{G}$, при $T
eq 0$ из леммы 1 следует существование такого возмущения $h$ отображения $\left.f\right|_{U \times J}$, для которого $\operatorname{Spec} D h_{0}(0)$ содержит более одной точки. Это в свою очередь позволяет нам выбрать другое возмущение, которое осуществляет дальнейшее уменьшение размерности $E^{0}$. Поэтому при некотором возмущении $f$ мы должны получить $T=0$. В этой ситуации $A_{0}= \pm I$. Действительно, при некотором возмущении $f$ мы должны получить $A_{\mu}=\lambda_{\mu} I$ для всех достаточно малых $\mu, \lambda_{\mu} \in \mathbb{R}, \lambda_{0}= \pm 1$.

Кроме того, для некоторого такого возмущения $f \Lambda_{G}^{0}$ имеет «неприводимый действительный тип», т. е. только крат-

ные $I$ элементы Hom $E^{01}$ ) коммутируют с $\Lambda_{G}^{0}$. Чтобы показать это, допустим, что $R \in \operatorname{Hom} E^{0}, R$ коммутирует с $\Lambda_{G}^{0}$ и $R
eq \lambda I$. Тогда $A_{0}+\varepsilon R$ коммутирует с $\Lambda_{G}^{0}$ при всех $\varepsilon$ и не кратно I. Следовательно, можно построить возмущение $h$ отображения $\left.f\right|_{U \times J}$, для которого $D h_{0}(0)=A_{0}+\varepsilon R$, а тогда и другое возмущение, приводящее $\operatorname{dim} E^{0}$. Поэтому для некоторого сколь угодно малого возмущения мы получаем:
(1) $\Lambda_{G}^{0}$ имеет неприводимый действительный тип;
(2) $A_{\mu}=\lambda_{\mu} I$ при всех малых $\mu$ и $\lambda_{0}= \pm 1$.

Но множество отображений $f \in \mathscr{F}$, удовлетворяющих (1) и (2), открыто. Поэтому условия (1) и (2) являются типичными.

Случай 2. Sрес $A_{\mu}$ при всех малых $\mu$ состоит из одной пары комплексных собственных значений. Для каждого $\mu$ мы имеем следующую коммутативную диаграмму:
\[
\begin{array}{l}
E^{0} \xrightarrow{i} E^{0} \otimes \mathbb{C} \xrightarrow{\pi_{\mu}} F_{\mu} \\
A_{\mu} \downarrow\left.\downarrow A_{\mu} \otimes I \quad \downarrow A_{\mu} \otimes I\right|_{F_{\mu}} \\
E^{0} \xrightarrow{t} E^{0} \otimes \mathbb{C} \xrightarrow{\pi_{\mu}} F_{\mu}
\end{array}
\]

Здесь $F_{\mu}$ — нулевое подпространство оператора [ $\left(A_{\mu} \otimes\right.$ $\left.\otimes I)-\lambda_{\mu} I\right]^{n / 2}$, действующего в $E^{0} \otimes \mathbb{C}$ — комплексном подпространстве комплексной размерности $n / 2, i(x)=x \otimes 1$, $a \pi_{\mu}$ — ортогональное проектирование. Скалярное произведение в $E^{0}$ индуцирует комплексное эрмитово произведение в $E^{0} \otimes \mathbb{C}$, относительно которого $\Lambda_{G}^{0} \otimes I$ — группа унитарных операторов. $F_{\mu}$ инвариантно относительно $\Lambda_{G}^{0} \otimes I$, так как $A_{\mu} \otimes I$ коммутирует с $\Lambda_{Q}^{0} \otimes I,\left.A_{\boldsymbol{\mu}} \otimes I\right|_{F_{\mu}}$ сопряжено с $A_{\mu}$ и коммутирует с $\left.\Lambda_{Q}^{0} \otimes I\right|_{F_{\mu}}$. Теперь мы работаем с $\left.A_{\mu} \otimes I\right|_{F_{\mu}}$ аналогично случаю 1 .
Мы видим, что в общем случае
(1) $\left.\Lambda_{G}^{0} \otimes I\right|_{F_{\mu}}$ неприводимо и
(2) $A_{\mu}=\lambda_{\mu}^{\mu} I$ при малых $\mu$, где $I$ обозначает тождественный огератор в $F_{\mu}=\mathbb{C}^{n / 2}$ и $\lambda_{\mu}$ — комплексное число, $\left|\lambda_{0}\right|=$ $=1$. Другими словами, в общем случае $E^{0}$ можно считать комплексным эрмитовым пространством, а $\Lambda_{G}^{0}$ — неприводимой группой унитарных операторов в $E^{0}$, и в то же время $A_{\mu}=\lambda_{\mu} I$ для всех малых $\mu$ с комплексным $\lambda_{\mu}$ и $\left|\lambda_{0}\right|=1$.
1) $\operatorname{Hom} E^{0}$ — гомоморфизмы банахова пространства $E^{0}$ в себя, т. е. линейные операторы. — Прим. перев.