Рассмотрим $n$-мерную гладкую динамическую систему, задаваемую уравнениями
\[
\dot{x}=X(\dot{x}, \lambda)
\]

и непрерывно зависящую от параметров $\lambda=\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{k}\right) \in$ $\in R^{k}$. Предположим, что система при $\lambda=\lambda_{0}$ имеет сток $\Gamma_{\lambda_{0}}$, который есть либо грубое устойчивое состояние равновесия, либо грубое устойчивое периодическое движение. Тогда, как известно, при всех достаточно малых $\lambda-\lambda_{0}$ система также будет иметь сток $\Gamma_{\lambda}$, близкий к $\Gamma_{\lambda_{0}}$. Введем понятие стока $\Gamma$ рассматриваемой системы и его области устойчивости. Предварительно заметим, однако, что на эту систему, зависящую от $\lambda$, нужно смотреть как на $k$-параметрическое семейство систем $X_{\lambda}$.

Системы $X_{\lambda_{1}}$ и $X_{\lambda_{2}}$ будем называть Г-эквивалентными, если в пространстве параметров существует простая дуга $\Lambda$, соединяющая системы $X_{\lambda}$ и $X_{\lambda 2}$ и такая, что система $X_{\lambda}$ при $\lambda \in \Lambda$ имеет грубый сток $\Gamma_{\lambda}$, непрерывно зависящий от $\lambda$. Множество Г-эквивалентных систем в пространстве параметров будем обозначать через $D_{\Gamma}$ и называть областью устойчивости стока $\Gamma$ рассматриваемой системы или областью грубости устойчивого движения $\Gamma$.

Современное состояние теории устойчивости и теории бифуркаций позволяет в принципе решить задачу, связанную с выделением основных типов границ области $D_{\text {p }}$, т. е, гипер-поверхностей $S^{k-1}$ размерности $k-1$. Для изучения переходов через эти граничные поверхности удобно ограничиться рассмотрением однопараметрических семейств $X_{\lambda(\mu)}=X(\mu)$, где $\mu \in\left[-\mu_{0}, \mu_{0}\right]$ и выбирается так, что при $\mu<0$ будет $X(\mu) \in D_{\Gamma}, X(0) \in S^{k-1}$, а при $\mu>0$ будет $X(\mu)
otin \bar{D}_{\Gamma}$. Сток $\Gamma$ при $\mu<0$ будем тогда обозначать через $\Gamma(\mu)$, а топологический предел $\Gamma(\mu)$ при $\mu \rightarrow 0$ через $\Gamma^{*}$. Множество. Г* есть состояние равновесия, если $\Gamma(\mu)$ — состояние равновесия. В случае же, когда $\Gamma(\mu)$ есть периодическое движение, $\Gamma^{*}$ может быть и более сложным множеством. Так, $\Gamma^{*}$ в ряде случаев есть контур, составленный из траекторий, одной из которых является состояние равновесия ${ }^{1}$ ).

Критерии безопасных границ. 1. Пусть $\Gamma(\mu)$ — состояние равновесия и $\Gamma^{*}$ на границе имеет только одну пару чисто мнимых корней. Как известно, в этом случае система $X(\mu)$ в некоторых подходящих переменных может быть записана в виде
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}=\rho(\mu) x-\omega(\mu) y+[L(\mu) x-a(\mu) y]\left(x^{2}+y^{2}\right)+\ldots \\
\cdots+f(x, y, z) z \\
\dot{y}=\omega(\mu) x+\rho(\mu) y+[a(\mu) x+L(\mu) y]\left(x^{2}+y^{2}\right)+\ldots \\
\cdots+g(x, y, z) z, \\
\dot{z}=[A(\mu)+h(x, y, z)] z
\end{array}
\]

где $\omega(0)
eq 0, \rho(0)=0$ и $\rho(\mu) \cdot \mu>0$ при $\mu
eq 0$, а матрица $A(\mu)$ устойчивая. Граница $S_{1}^{k-1}$, соответствующая этому случаю, будет безопасной, если $L(0)<0$. При возрастании $\mu$ от нуля из устойчивого негрубого фокуса $\Gamma^{*}$ рождается устойчивое периодическое движение, которое и будет установившимся режимом системы (рис. 3 ).
2. Пусть $\Gamma(\mu)$ — периодическое движение и при выходе на границу области устойчивости один из мультипликаторов становится равным (-1). Соответствующее отображение последования $T$ на площадке, трансверсальной к периодическому движению, можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
\bar{x}=\rho(\mu) x+a_{2}(\mu) x^{2}+a_{3}(\mu) x^{3}+\ldots+f(x, y, \mu) y, \\
\bar{y}=[A(\mu)+g(x, y, \mu)] y,
\end{array}
\]

где $\rho(0)=-1,|\rho(\mu)|<1$ при $\mu<0$ и $|\rho(\mu)|>1$ при $\mu>$ $>0$, а собственные числа $A(\mu)$ лежат внутри единичной окружности. Граница $S_{2}^{k-1}$, соответствующая этому случаю, будет безопасной, если ляпуновская величина $L(0)=-2 a_{3}(0)$ —
1) Невозможность других бифуркационных пленок коразмерности один, соответствующих другим топологическим пределам $\Gamma(\mu)$, в настоящее время полностью еще не доказана.

$-2 a_{2}(0)^{2}$, отрицательна. Из вида отображения $T$ следует, что инвариантное многообразие, соответствующее $y=0$, есть лист
Рис. 3.

Мёбиуса со средней линией, являющейся нашим периодическим движением. Поэтому при $\mu>0$ от него будет ответвляться
Рис. 4.

устойчивое периодическое движение с периодом, близким к удвоенному периоду $\Gamma^{*}[20]$, на которое и будет «наматываться» изображающая точка (рис. 4).

3. Пусть $\Gamma(\mu)$ — периодическое движение и при выходе системы на границу два мультипликатора становятся равными $e^{i \varphi(0)}$, где $\varphi(0)
eq 0, \frac{\pi}{2}, \frac{2 \pi}{3}, \pi$. Здесь отображение последования $T$ можно записать в виде
\[
\begin{aligned}
\bar{x}= & \rho(\mu)[x \cos \varphi(\mu)-y \sin \varphi(\mu)]+ \\
& +[g(\mu) x-b(\mu) y]\left(x^{2}+y^{2}\right)+\ldots+f(\cdot) z, \\
\bar{y}= & \rho(\mu)[x \sin \varphi(\mu)+y \cos \varphi(\mu)]+ \\
& +[b(\mu) x+g(\mu) y]\left(x^{2}+y^{2}\right)+\ldots+h() z, \\
\bar{z}= & {[A(\mu)+h(x, y, z ; \mu)] z, }
\end{aligned}
\]

где $\rho(\mu)<1$ при $\mu<0, \rho(0)=1$ и $\rho(\mu)>1$ при $\mu>0$. В этом случае граница $S_{3}^{k-1}$ безопасная, если $g(0)<0$. Переход через $S_{3}^{k-1}$ приводит к рождению из периодического
Рис. 5. Рождение устойчивого инвариантного тора.

движения устойчивого двумерного инвариантного тора (см. настоящую книгу). По образному выражению А. А. Андронова, поставившего эту задачу, «с цикла слезает шкура». Таким образом, в этом случае имеет место мягкий переход от автоколебаний к «режиму биений» (рис. 5).
4. Этот случай характерен тем, что пределом $\Gamma(\mu)$ при $\mu \rightarrow 0$ является контур $\Gamma^{*}$, составленный из простейшего негрубого состояния равновесия типа седло-узел (см. случай 6) и сепаратрисы седло-узла, возвращающейся в него. То, что граница $S_{4}^{k-1}$ (а она выделяется еще дополнительным условием, что $\Gamma^{*}$ — гладкий контур) является безопасной, есть простое следствие устойчивости $\Gamma^{*}$. При $\mu>0$ установившимся режимом системы будет устойчивое состояние равновесия, возникающее при разделении седло-узла (рис. 6).

Критерии опасных границ. 5. В этом случае топологическим пределом периодического движения $\Gamma(\mu)$ является кон-

Рис. 6. Исчезновение устойчивого предельного цикла с возникновением устойчивого узла.

тур $\Gamma^{*}$, составленный из седла и траектории, двоякоасимптотической к нему. Общий случай границы, которую обозначим через $S_{3}^{k-1}$, выделяется следующими условиями $[4,8,9,10]$ :

Рис. 7. Исчезновение предельного цикла через образование петли сепаратрисы седла.

корни $\rho_{1}, \ldots, \rho_{n}$ характеристического уравнения в седле таковы, что $\operatorname{Re} \rho_{i}<0(i=1, \ldots, n-1), \rho_{n}>0$, и все седловые величины $\sigma_{i}=\rho_{i}+\rho_{n}<0 \quad(i=1, \ldots, n-1)$. Таким образом, одна из траекторий, выходящих из седла, будет принадлежать $\Gamma^{*}$. Контур $\Gamma^{*}$ неустойчив, так как другая траектория, выходящая из седла, покидает любую малую окрестность $\Gamma^{*}$ (рис. 7 ).

6. Пусть у состояния равновесия $\Gamma(\mu)$ один корень харак теристического уравнения при $\mu \rightarrow 0$ обращается в нуль. Тогда при достаточно малом $\mu$ система в окрестности $\Gamma^{*}$ может быть записана в виде
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=R(x, \mu)+f(x, y, \mu) y, \\
\dot{y}=[A(\mu)+g(x, y, \mu)] y,
\end{array}
\]

где $R(0,0)=R_{x}(0,0)=0$. Общий случай здесь выделяется условием $l_{2}=R_{x x}(0,0)
eq 0$. Поскольку мы предположим, что

Рис. 8. Исчезновение устойчивого узла при слиянии с состоянием равновесия седлового типа.

выход на границу происходит со стороны отрицательных $\mu$, то $l_{2}>0$. Соответствующая этому случаю граница $S_{6}^{k-1}$ будет опасной: при стремлении $\mu$ к нулю к $Г(\mu)$ подтягивается другое состояние равновесия седлового типа; при $\mu=0$ они сольются, образовав сложное неустойчивое состояние равновесия $\Gamma^{*}$ типа седло-узел. При $\mu>0(R(x, \mu)>0)$ состояние равновесия исчезает и все траектории покинут окрестность $\Gamma^{*}[3,19]$ (рис. 8 ).
7. То же, что и в случае 1 , но $L(0)>0$. Здесь при $\mu \rightarrow 0$ в $\Gamma^{*}$ влипает периодическое движение седлового типа. Это и обусловливает опасный тип границы $S_{7}^{k-1}$, поскольку исчезновение периодического движения приводит к появлению у $\Gamma^{*}$ двумерного неустойчивого многообразия $W^{u}$ (рис. 1).
8. То же, что и в случае 2 , но $L(0)>0$. Неустойчивость в этом случае обусловлена влипанием неустойчивого периодического движения с периодом, близким к удвоенному периоду $\Gamma(\mu)$. При $\mu \geqslant 0$ возникает неустойчивое периодическое движение, имеющее неустойчивое многообразие $W^{u}$ лист Мёбиуса.
9. То же, что и в случае 3 , но $g(0)>0$. Неустойчивость $\Gamma^{*}$ здесь связана с влипанием в него неустойчивого двумерного тора. При $\mu \geqslant 0$ периодическое движение уже будет иметь неустойчивое многообразие $W^{u}$, размерность которого равна трем.
10. Пусть у периодического движения $\Gamma(\mu)$ при $\mu \rightarrow 0$ один мультипликатор $\rho(\mu)$ становится равным 1. Соответствующее отображение последования на секущей здесь может быть записано в виде
\[
\begin{array}{l}
\bar{x}=x+R(x, \mu)+f(x, y, \mu) y, \\
\bar{y}=[A(\mu)+g(x, y, \mu)] y .
\end{array}
\]

Граница области устойчивости здесь будет ( $k-1)$-мерна, если $l_{2}=R_{x x}(0,0)
eq 0$. При сделанных выше предположениях о вхождении параметра $\mu$, из $l_{2}
eq 0$ следует, что $l_{2}>0$. Опасный характер $S_{10}^{k-1}$ в этом случае обусловлен тем, что $\Gamma(\mu)$ сливается при $\mu \rightarrow 0$ с периодическим движением седлового типа. Г* есть периодическое движение типа седло-узел, неустойчивое многообразие $W^{u}$ которого является гомеоморфным образом цилиндра $S^{1} \times R^{+}$, где $R^{+}$- полупрямая.

Таким образом, в границу области устойчивости состояния равновесия могут входить поверхности трех типов: $S_{1}^{k-1}$, $S_{6}^{k-1}$ и $S_{7}^{k-1}$. В границу же области устойчивости периодического движения — девяти типов $S_{5}^{k-1}, S_{8}^{k-1}, S_{9}^{k-1}, S_{10}^{k-1}$ — опасные и $S_{2}^{k-1}, S_{3}^{k-1}, S_{4}^{k-1}, \tilde{S}_{1}^{k-1}, \tilde{S}_{2}^{k-1}$-безопасные ( $\widetilde{S}_{1}^{k-1}$ и $\tilde{S}_{2}^{k-1}$ соответствуют влипанию периодического движения в сложный фокус и в периодическое движение половинного периода).

Другие точки границ $D_{\text {г }}$ связаны с более высоким вырождением и здесь не рассматриваются. С частью из них можно познакомиться по работам $[4,5,23,28]$. Отметим только, что бифуркационные явления в таких случаях весьма сложны и еще недостаточно изучены.