Главная > БИФУРКАЦИЯ РОЖДЕНИЯ ЦИКЛА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ (ДЖ. МАРСДЕН, М. МАК-КРАКЕН)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Рассмотрим n-мерную гладкую динамическую систему, задаваемую уравнениями
x˙=X(x˙,λ)

и непрерывно зависящую от параметров λ=(λ1,,λk) Rk. Предположим, что система при λ=λ0 имеет сток Γλ0, который есть либо грубое устойчивое состояние равновесия, либо грубое устойчивое периодическое движение. Тогда, как известно, при всех достаточно малых λλ0 система также будет иметь сток Γλ, близкий к Γλ0. Введем понятие стока Γ рассматриваемой системы и его области устойчивости. Предварительно заметим, однако, что на эту систему, зависящую от λ, нужно смотреть как на k-параметрическое семейство систем Xλ.

Системы Xλ1 и Xλ2 будем называть Г-эквивалентными, если в пространстве параметров существует простая дуга Λ, соединяющая системы Xλ и Xλ2 и такая, что система Xλ при λΛ имеет грубый сток Γλ, непрерывно зависящий от λ. Множество Г-эквивалентных систем в пространстве параметров будем обозначать через DΓ и называть областью устойчивости стока Γ рассматриваемой системы или областью грубости устойчивого движения Γ.

Современное состояние теории устойчивости и теории бифуркаций позволяет в принципе решить задачу, связанную с выделением основных типов границ области D, т. е, гипер-поверхностей Sk1 размерности k1. Для изучения переходов через эти граничные поверхности удобно ограничиться рассмотрением однопараметрических семейств Xλ(μ)=X(μ), где μ[μ0,μ0] и выбирается так, что при μ<0 будет X(μ)DΓ,X(0)Sk1, а при μ>0 будет X(μ)otinD¯Γ. Сток Γ при μ<0 будем тогда обозначать через Γ(μ), а топологический предел Γ(μ) при μ0 через Γ. Множество. Г* есть состояние равновесия, если Γ(μ) — состояние равновесия. В случае же, когда Γ(μ) есть периодическое движение, Γ может быть и более сложным множеством. Так, Γ в ряде случаев есть контур, составленный из траекторий, одной из которых является состояние равновесия 1 ).

Критерии безопасных границ. 1. Пусть Γ(μ) — состояние равновесия и Γ на границе имеет только одну пару чисто мнимых корней. Как известно, в этом случае система X(μ) в некоторых подходящих переменных может быть записана в виде
x˙=ρ(μ)xω(μ)y+[L(μ)xa(μ)y](x2+y2)++f(x,y,z)zy˙=ω(μ)x+ρ(μ)y+[a(μ)x+L(μ)y](x2+y2)++g(x,y,z)z,z˙=[A(μ)+h(x,y,z)]z

где ω(0)eq0,ρ(0)=0 и ρ(μ)μ>0 при μeq0, а матрица A(μ) устойчивая. Граница S1k1, соответствующая этому случаю, будет безопасной, если L(0)<0. При возрастании μ от нуля из устойчивого негрубого фокуса Γ рождается устойчивое периодическое движение, которое и будет установившимся режимом системы (рис. 3 ).
2. Пусть Γ(μ) — периодическое движение и при выходе на границу области устойчивости один из мультипликаторов становится равным (-1). Соответствующее отображение последования T на площадке, трансверсальной к периодическому движению, можно записать в виде
x¯=ρ(μ)x+a2(μ)x2+a3(μ)x3++f(x,y,μ)y,y¯=[A(μ)+g(x,y,μ)]y,

где ρ(0)=1,|ρ(μ)|<1 при μ<0 и |ρ(μ)|>1 при μ> >0, а собственные числа A(μ) лежат внутри единичной окружности. Граница S2k1, соответствующая этому случаю, будет безопасной, если ляпуновская величина L(0)=2a3(0)
1) Невозможность других бифуркационных пленок коразмерности один, соответствующих другим топологическим пределам Γ(μ), в настоящее время полностью еще не доказана.

2a2(0)2, отрицательна. Из вида отображения T следует, что инвариантное многообразие, соответствующее y=0, есть лист
Рис. 3.

Мёбиуса со средней линией, являющейся нашим периодическим движением. Поэтому при μ>0 от него будет ответвляться
Рис. 4.

устойчивое периодическое движение с периодом, близким к удвоенному периоду Γ[20], на которое и будет «наматываться» изображающая точка (рис. 4).

3. Пусть Γ(μ) — периодическое движение и при выходе системы на границу два мультипликатора становятся равными eiφ(0), где φ(0)eq0,π2,2π3,π. Здесь отображение последования T можно записать в виде
x¯=ρ(μ)[xcosφ(μ)ysinφ(μ)]++[g(μ)xb(μ)y](x2+y2)++f()z,y¯=ρ(μ)[xsinφ(μ)+ycosφ(μ)]++[b(μ)x+g(μ)y](x2+y2)++h()z,z¯=[A(μ)+h(x,y,z;μ)]z,

где ρ(μ)<1 при μ<0,ρ(0)=1 и ρ(μ)>1 при μ>0. В этом случае граница S3k1 безопасная, если g(0)<0. Переход через S3k1 приводит к рождению из периодического
Рис. 5. Рождение устойчивого инвариантного тора.

движения устойчивого двумерного инвариантного тора (см. настоящую книгу). По образному выражению А. А. Андронова, поставившего эту задачу, «с цикла слезает шкура». Таким образом, в этом случае имеет место мягкий переход от автоколебаний к «режиму биений» (рис. 5).
4. Этот случай характерен тем, что пределом Γ(μ) при μ0 является контур Γ, составленный из простейшего негрубого состояния равновесия типа седло-узел (см. случай 6) и сепаратрисы седло-узла, возвращающейся в него. То, что граница S4k1 (а она выделяется еще дополнительным условием, что Γ — гладкий контур) является безопасной, есть простое следствие устойчивости Γ. При μ>0 установившимся режимом системы будет устойчивое состояние равновесия, возникающее при разделении седло-узла (рис. 6).

Критерии опасных границ. 5. В этом случае топологическим пределом периодического движения Γ(μ) является кон-

Рис. 6. Исчезновение устойчивого предельного цикла с возникновением устойчивого узла.

тур Γ, составленный из седла и траектории, двоякоасимптотической к нему. Общий случай границы, которую обозначим через S3k1, выделяется следующими условиями [4,8,9,10] :

Рис. 7. Исчезновение предельного цикла через образование петли сепаратрисы седла.

корни ρ1,,ρn характеристического уравнения в седле таковы, что Reρi<0(i=1,,n1),ρn>0, и все седловые величины σi=ρi+ρn<0(i=1,,n1). Таким образом, одна из траекторий, выходящих из седла, будет принадлежать Γ. Контур Γ неустойчив, так как другая траектория, выходящая из седла, покидает любую малую окрестность Γ (рис. 7 ).

6. Пусть у состояния равновесия Γ(μ) один корень харак теристического уравнения при μ0 обращается в нуль. Тогда при достаточно малом μ система в окрестности Γ может быть записана в виде
x˙=R(x,μ)+f(x,y,μ)y,y˙=[A(μ)+g(x,y,μ)]y,

где R(0,0)=Rx(0,0)=0. Общий случай здесь выделяется условием l2=Rxx(0,0)eq0. Поскольку мы предположим, что

Рис. 8. Исчезновение устойчивого узла при слиянии с состоянием равновесия седлового типа.

выход на границу происходит со стороны отрицательных μ, то l2>0. Соответствующая этому случаю граница S6k1 будет опасной: при стремлении μ к нулю к Г(μ) подтягивается другое состояние равновесия седлового типа; при μ=0 они сольются, образовав сложное неустойчивое состояние равновесия Γ типа седло-узел. При μ>0(R(x,μ)>0) состояние равновесия исчезает и все траектории покинут окрестность Γ[3,19] (рис. 8 ).
7. То же, что и в случае 1 , но L(0)>0. Здесь при μ0 в Γ влипает периодическое движение седлового типа. Это и обусловливает опасный тип границы S7k1, поскольку исчезновение периодического движения приводит к появлению у Γ двумерного неустойчивого многообразия Wu (рис. 1).
8. То же, что и в случае 2 , но L(0)>0. Неустойчивость в этом случае обусловлена влипанием неустойчивого периодического движения с периодом, близким к удвоенному периоду Γ(μ). При μ0 возникает неустойчивое периодическое движение, имеющее неустойчивое многообразие Wu лист Мёбиуса.
9. То же, что и в случае 3 , но g(0)>0. Неустойчивость Γ здесь связана с влипанием в него неустойчивого двумерного тора. При μ0 периодическое движение уже будет иметь неустойчивое многообразие Wu, размерность которого равна трем.
10. Пусть у периодического движения Γ(μ) при μ0 один мультипликатор ρ(μ) становится равным 1. Соответствующее отображение последования на секущей здесь может быть записано в виде
x¯=x+R(x,μ)+f(x,y,μ)y,y¯=[A(μ)+g(x,y,μ)]y.

Граница области устойчивости здесь будет ( k1)-мерна, если l2=Rxx(0,0)eq0. При сделанных выше предположениях о вхождении параметра μ, из l2eq0 следует, что l2>0. Опасный характер S10k1 в этом случае обусловлен тем, что Γ(μ) сливается при μ0 с периодическим движением седлового типа. Г* есть периодическое движение типа седло-узел, неустойчивое многообразие Wu которого является гомеоморфным образом цилиндра S1×R+, где R+- полупрямая.

Таким образом, в границу области устойчивости состояния равновесия могут входить поверхности трех типов: S1k1, S6k1 и S7k1. В границу же области устойчивости периодического движения — девяти типов S5k1,S8k1,S9k1,S10k1 — опасные и S2k1,S3k1,S4k1,S~1k1,S~2k1-безопасные ( S~1k1 и S~2k1 соответствуют влипанию периодического движения в сложный фокус и в периодическое движение половинного периода).

Другие точки границ Dг  связаны с более высоким вырождением и здесь не рассматриваются. С частью из них можно познакомиться по работам [4,5,23,28]. Отметим только, что бифуркационные явления в таких случаях весьма сложны и еще недостаточно изучены.

1
Оглавление
email@scask.ru