Напомним ситуацию для течения Куэтта: вязкая несжимаемая жидкость заполняет пространство между двумя концентрическими цилиндрами. Пусть $R_{1}$ – радиус внутреннего цилиндра, а $R_{2}$ – радиус внешнего цилиндра. Допустим, что мы вращаем оба цилиндра. Пусть $\Omega_{1}$ – угловая скорость внутреннего цилиндра, а $\Omega_{2}$ – угловая скорость внешнего цилиндра. Будем считать, что $\Omega_{1}>0$ и $\Omega_{2}>0$ (т. е. мы вращаем оба цилиндра против часовой стрелки). При малых значениях $\Omega_{1}$ и $\Omega_{2}$ можно наблюдать установившийся горизонтальный ламинарный поток, называемый течением Куэтта. Действительно, при произвольных $\Omega_{1}, \Omega_{2}$ течение Куэтта является явным решением уравнений Навье – Стокса, которое в цилиндрических координатах $(r, \varphi, z)$ задается следующим образом (см. гл. 1):
\[
V_{\theta}=\frac{\Omega_{2} R_{2}^{2}-\Omega_{1} R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}} r+\frac{\left(\Omega_{1}-\Omega_{2}\right) R_{1}^{2} R_{2}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}} \frac{1}{r} .
\]

Чтобы получить это решение, мы должны игнорировать особые явления, возникающие на концах цилиндров. Мы сделаем это, отождествляя концы цилиндров, так что пространство $A$, в котором заключена наша жидкость, будет прямым произведением кольца и окружности.

Пусть $E$ – пространство $C^{r}$-векторных полей $Y$ на $A$ с $C^{r}$-топологией, удовлетворяющи условиям $\operatorname{div} Y=0$ и $\left.Y\right|_{\partial A}=0$. Мы будем считать $\Omega_{1}$ малой фиксированной величиной, а $\Omega_{2}$ переменной: $\Omega_{2}$ будет нашим бифуркационным параметром $\mu$. Для каждого $\mu$ пусть $Z_{\mu}$ означает соответствующее векторное поле Куэтта на $A$. Тогда для каждого $\mu$ векторные поля $Y$ на $A$, удовлетворяющие условиям $\operatorname{div} Y=0$, $Y$ неподвижно относительно $\partial A$, образуют пространство $E_{\mu}$; его можно мыслить себе как $Z_{\mu}+E$. Будем очевидным образом отождествлять каждое $E_{\mu}$ с $E$. Будем считать, что уравнения Навье – Стокса определяют для каждого $\mu$ векторное поле $X_{\mu}$ на $E$. Сделаем предположение (вообще говоря, неверное), что векторное поле $X: E \times R \rightarrow E$, задаваемое равенством $X(Y, \mu)=X_{\mu}(Y)$, удовлетворяет условиям работы Рюэля $\left.{ }^{1}\right)$. Отметим, что точка $(0, \mu) \in E \times \mathbb{R}$ соответствует векторному полю Куэтта $Z_{\mu}$. Так как течение Куэтта – стационарное решение уравнений Навье – Стокса, то $X_{\mu}(0)=0$ для всех $\mu$.

Пусть $G=S O(2) \times O(2)$ – произведение группы вращений кольца на полную ортогональную группу окружности. Это естественная группа симметрий задачи. Отметим, что векторное поле, соответствующее течению Куэтта, $G$-инвариантно. Для каждого $g \in G$ определим $\Lambda_{g}: E \rightarrow E$ как $\left(\Lambda_{g} Y\right)(x)=D g Y\left(g^{-1}(x)\right)$, где $x \in A$. Так как каждое $g$ является изометрией $A$ и $D^{k} g=D^{k} g^{-1}=0$ при $k>1$, то легко проверить, что каждое $\Lambda_{g}$ – линейная изометрия $E$. Таким образом, $\Lambda_{a}=\left\{\Lambda_{g}: g \in G\right\}$ – это группа линейных изометрий $E$. Физические симметрии задачи означают, что $X_{\mu} \Lambda_{g}=$ $=\Lambda_{g} X_{\mu}$ при всех $g \in G$.

Предположим, что при малых $\mu$ точка 0 является устойчивой особой точкой $X_{\mu}$ (на самом деле это можно доказать, см. Серрин [1,2] и гл. 2А и 9). Данное предположение согласуется с известным экспериментальным фактом, что течение Куэтта устойчиво при малых $\Omega_{1}, \Omega_{2}$. Допустим, что в первой точке бифуркации $\mu_{0}>0$ только конечное число собственных значений оператора $D X_{\mu}(0)$ достигает мнимой оси, причем каждое имеет конечную кратность. Тогда, в общем случае, устойчивое многообразие $V \subset E \times \mathbb{R}$ в момент бифуркации должно касаться $E^{0} \times R$ в точке $\left(0, \mu_{0}\right)$, где $E^{0}$ 一 подпространство $E$, в котором $\Lambda_{o}$ действует неприводимо.
Допустим, что:
(1) $E^{0} \cong R^{2}$;
(2) если $g \in S O(2) \times 1$, то каждая точка $E^{0}$ неподвижна относительно действия $\Lambda_{g}$;
(3) если $g \in 1 \times O(2)$, то $\Lambda_{g}$ действует на $E^{0}$ точно так же, как соответствующий элемент полной ортогональной группы пространства $\mathbb{R}^{2}$.
1) Чтобы все это сделать корректно, можно использовать методы гл. 8 и 9 .

Таким образом, по существу $\Lambda_{a}^{0}$ – это полная ортогональная группа плоскости. Если $\left(0, \mu_{0}\right)$ – «слабый аттрактор» для $X_{\mu}$, то, согласно примеру 1 п. 4 (приспособленному для векторного поля), для каждого малого $\mu>\mu_{0}$ мы ожидаем существование следующих инвариантных множеств вблизи начала $E \times\{\mu\}$ (см. рис. 7.1):
(1) Начало координат – неустойчивый нуль поля $X_{\mu}$.
(2) Замкнутая кривая $S_{\mu}$ нулей поля $X_{\mu}$ в многообразии $V_{\mu}$; каждая $S_{\mu}$ инвариантна относительно $\Lambda_{G}, S_{\mu} \rightarrow 0$ при
Рис. 7.1.
$\mu \rightarrow 0$, и каждая $S_{\mu}$ является притягивающим множеством в $E \times\{\mu\}$.

Предположим, что $Y_{1}, Y_{2} \in S_{\mu}$ и $Y_{1}=\Lambda_{g} Y_{2}, g \in 1 \times O(2)$. Тогда $Y_{1}(x)=D g Y_{2}\left(g^{-1} x\right)$. Это означает, что $Y_{1}$ и $Y_{2}$ отличаются только вертикальным сдвигом и (или) отражением $A$. Кроме того, так как $\Lambda_{S O(2) \times 1}$ действует тождественно на $E^{0}$, мы видим, что каждое $Y \in S_{\mu}$ неподвижно относительно элементов $\Lambda_{\text {so(2) }_{1} \text {, }}$, т. е. каждое $Y \in S_{\mu}$ обладает горизонтальной вращательной симметрией. Такое описание $S_{\mu}$ согласуется с экспериментально наблюдаемым явлением – вихрями Тейлора. Когда $\mu$ проходит некоторое критическое значение, обычно наблюдается, что течение Куэтта разбивается на ячейки, внутри которых жидкость движется радиально от внутреннего цилиндра к внешнему и обратно и в то же время продолжает свое круговое движение вокруг вертикальной оси (рис. 7.2). Для уравнений Навье-Стокса вихри Тейлора являются устойчивым решением с горизонтальной вращательной симметрией. Так как любая картина вихрей Тейлора может встретиться с той же вероятностью, что и ее сдвиг в вертикальном направлении на любое расстояние (предполагая, что концы цилиндра отождествлены), мы видим, почему из течения Куэтта рождается целая окружность неподвижных точек, которые переставляются операторами $\Lambda_{1 \times 0(2)}$. Когда $\mu$ возрастает, $S_{\mu}$ на нашем рисунке все сильнее удаляется от точки $(0, \mu)$; это соответствует тому, что вихри Тейлора «усиливаются», т.е. усиливается радиальное движение. Отметим, что при $\mu>\mu_{0}$ течение Куэтта остается нулем поля $X_{\mu}$, однако этот нуль неустойчив.
(Вышесказанное происходит не из-за того, что векторное поле вихрей Тейлора инвариантно относительно конечного числа вертикальных сдвигов или, в нашей модели, относительно нетривиальной подгруппы группы $\Delta_{1 \times}$ so(2). Чтобы получить этот результат. нужно предположить, что для $g \in 1 \times O(2)$, $\Lambda_{g}$ действует на $E^{0} \cong R^{2}$ следующим обра-

Рис. 7.2. зом:рассмотрим $O(2)$ как группу, образованную числами $\theta$, $0 \leqslant \theta<2 \pi$, где $\theta$ задает угол поворота, и отражением $r$. Представим тогда $1 \times O(2)$ в $O(2)$ (изометриях $\mathbb{R}^{2}$ ) с помощью гомоморффизма $(1, \theta) \longmapsto n \theta,(1, r) \mapsto r$. Так как это гомоморфизм на, мы получаем, как и выше, $S_{\mu}$. Теперь, однако, каждое $Y_{\mu} \in S_{\mu}$ инвариантно относительно $\Lambda_{H}$, где $H=S O(2) \times$ $X\{0,2 \pi / n, 4 \pi / n, \ldots, 2(n-1) \pi / n\}$. Эта дополнительная инвариантность относительно новой $\Lambda_{Q}^{0}$ будет сохраняться и в дальнейшем.)

Теперь мы изучим вторую бифуркацию $X_{\mu}$. Ситуация усложняется тем обстоятельством, что при $\mu>\mu_{0}$ нули $X_{\mu}$, которыми мы интересуемся, образуют одномерные множества. Мы предположим, что уже сделана такая замена координат, что $S_{\mu} \subset E^{0} \times\{\mu\}$.

Пусть $Y_{\mu} \in S_{\mu}$. При малых $\mu>\mu_{0}, D X_{\mu}\left(Y_{\mu}\right)$ имеет соб ственное значение 0 кратности 1 , а остальная часть спектра лежит в полуплоскости $\operatorname{Re} z<0$. Отметим, что если также $Y_{\mu}^{\prime} \in S_{\mu}$, то $Y_{\mu}^{\prime}=\Lambda_{g} Y_{\mu}$ дла некоторого $g \in 1 \times O(2)$, поэтому $X\left(Y_{\mu}^{\prime}\right)=X \Lambda_{g}\left(Y_{\mu}\right)=\Lambda_{g} X\left(Y_{\mu}\right) . \quad$ Следовательно, $\quad D X\left(Y_{\mu}^{\prime}\right) \cdot \Lambda_{g}=$ $=\Lambda_{g} \cdot D X\left(Y_{\mu}\right)$, т. е. $D X\left(Y_{\mu}^{\prime}\right)$ и $D X\left(Y_{\mu}\right)$ сопряжены. Таким образом, Spec $D X\left(Y_{\mu}\right)=\operatorname{Spec} D X\left(Y_{\mu}^{\prime}\right)$.

Предполагая, что $\Lambda_{1 \times 0(2)}$ действует на $E^{0}$ подобно полной ортогональной группе плоскости, получаем, что $Y_{\mu}$ неподвижно относительно в точности двух элементов $\Lambda_{1 \times 0 \text { (2) }}$, именно $\Lambda_{(1,1)}$ и $\Lambda_{(\mathrm{i}, r)}$, где $\Lambda_{(1, r)}^{0}$ – как раз отражение относительно прямой, определенной $Y_{\mu}$. Так как $E^{0}$ неподвижно в каждой точке относительно $\Lambda_{S O(2) \times 1}$, то подгруппа группы $\Lambda_{G}$, которая оставляет на месте $Y_{\mu}$, – это $\Lambda_{S O(2)} \times\{1, r\}$. Поэтому $D X\left(Y_{\mu}\right) \cdot \Lambda_{g}=\Lambda_{g} \cdot D X\left(Y_{\mu}\right)$ для всех $g \in S O(2) \times\{1, r\}$.

Допустим, что для $\mu_{0}<\mu<\mu_{1}$ и $Y_{\mu} \in S_{\mu}$. Spec $D X_{\mu}\left(Y_{\mu}\right)$ содержится в полуплоскости $\operatorname{Re} z<0$, за исключением одного собственного значения 0 кратности 1. Допустим также, что для $Y_{\mu_{1}} \in S_{\mu_{1}} \operatorname{Spec} D X_{\mu_{1}}\left(Y_{\mu_{1}}\right) \cap(\operatorname{Re} z=0)$ состоит из конечного числа изолированных собственных значений (включая 0), каждое из которых имеет конечную кратность. Зафиксируем $Y_{\mu_{1}} \in S_{\mu_{1}}$, и пусть $r$ теперь обозначает единственный элемент группы $O(2)$, для которого $Y_{\mu_{1}}$. неподвижно относительно $\Lambda_{S O(2) \times\{1, r\}}$. X имеет центральное многообразие $W$ в точке $Y_{\mu}$ касающееся $T_{Y_{\mu_{1}}} S_{\mu_{1}} \oplus E^{1} \oplus\{\mu$-ось $\}, \quad$ где $E^{1}$ – конечномерное подпространство $T_{Y_{\mu_{1}}} \oplus E^{1}$ инвариантно относительно $\Lambda_{\text {SO (2) } \times\{1, r\}}$. Так как $W$ содержит всю локальную рекуррентность поля $X$ около точки $Y_{\mu_{1}}$, то $W$ содержит все точки $\bigcup_{4} S_{\mu}$ в окрестности $Y_{\mu_{1}}$.

Пусть II: $E \times{ }^{\prime} \mathrm{R} \rightarrow E$ – проекция на первый сомножитель. Тогда для каждого $\mu$, близкого к $\mu_{1}$, существует единственное $Y_{\mu} \in S_{\mu}$, для которого $\Pi Y_{\mu} /\left\|Y_{\mu}\right\|=\Pi Y_{\mu_{1}} /\left\|Y_{\mu_{1}}\right\|$. Возьмем теперь это в качестве определения $Y_{\mu}$. Тогда подгруппа $\Lambda_{\sigma}$, которая оставляет $Y_{\mu}$ неподвижным, в точности есть $\Lambda_{S O(2) \times 1, r}$

Қак в п. 1, мы можем отождествить окрестность $Y_{\mathbf{u}_{1}}$ в $W$ с окрестностью $U$ точки $\left(Y_{\mu_{1}}, 0,0\right)$ в $T_{Y_{\mu_{1}}} S_{\mu_{1}} \oplus E^{\mathrm{I}} \oplus\{\mu$-ось $\}$, и $\left.X\right|_{V}-$ с векторным полем на $U$ (которое снова назовем $X$ ) таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:
(1) $Y_{\mu}$ соответствует $\left(Y_{\mu_{1}}, 0, \mu\right)$;
(2) $\Lambda_{S O(2) \times\{1, r\}}$ действует как группа гильбертовых изометрий $T_{Y_{\mu_{1}}} S_{\mu_{1}} \oplus E^{\mathrm{I}}$;
(3) $X$ на $U$ коммутирует с $\Lambda_{S O(2) \times\{1, r)}$. В частности, $D X_{\mu}\left(Y_{\mu_{1}}, 0, \mu\right)$ коммутирует с $\Lambda_{S O(2) \times\{1, r\}}$.
В общем случае мы имедм одну из двух возможностей:
(1) Spec $D X_{\mu}\left(Y_{\mu_{1}}, 0, \mu\right)$ состоит из собственного значения 0 с собственным подпространством $T_{Y_{u_{1}}} S_{\mu_{1}}$ и единственного действительного собственного значения $\lambda_{\mu}$ с $\lambda_{\mu_{1}}=0$.
(2) $\operatorname{Spec} D X_{\mu}\left(Y_{\mu_{1}}, 0, \mu\right)$ состоит из собственного значения 0 с собственным подпространством $T_{Y_{\mu}} S_{\tilde{\mu}_{1}}$ и одной пары комплексно-сопряженных собственных значений $\lambda_{\mu}, \bar{\lambda}_{\mu}$ с $\operatorname{Re} \lambda_{\mu_{1}}=0$.

Предположим, что выполняется (2). Тогда для каждого $\mu$, близкого к $\mu_{1}$, существует единственное подпространство $E_{\mu}^{2} \subset T_{\left(Y_{\mu_{1}, 0, \mu}\right)} U$, такое, что $D X\left(Y_{\mu_{1}}, 0, \mu\right)$ оставляет $E_{\mu}^{2}$ инвариантным и $\left.D X\left(Y_{u_{1}}, 0, \mu\right)\right|_{E_{\mu}^{2}}$ имеет собственными значениями только $\lambda_{\mu}, \bar{\lambda}_{\mu}$. Если мы теперь будем считать $E_{u}^{2}$ подпространством $T_{Y_{\mu_{1}}} S_{\mu_{1}} \oplus E^{1} \oplus\{\mu$-ось $\}$, то $E_{\mu}^{2}$ инвариантно относительно действия $\Lambda_{S O(2) \times\{1, r\}}$, так как этим свойством обладает $D X\left(Y_{\mu_{1}}, 0, \mu\right)$.

В типичном случае $\Lambda_{S o(2) \times(1, ~ r)}$ действует неприводимо на $E_{\mu_{1}}^{2}$. Допустим, $E_{\mu_{1}}^{2} \cong \mathrm{R}^{2}$, тогда $E^{1} \cong \mathrm{R}^{2}$ и каждое $E_{u}^{2} \cong \mathrm{R}^{2}$. Предположим, что $\Lambda_{S O(2) \times(1, r}$ действует на $E_{\mu_{1}}^{2}$ подобно вращениям плоскости. Другими словами, предположим, что каждая точка $E_{\mu_{1}}^{2}$ неподвижна относительно $\Lambda_{(1, r)}$ и $\Lambda_{S O(2) \times 1}$ действует на $E_{\mu, \text { вращениями пло- }}^{2}$ скости. Так как $\Lambda_{(1, r)}$ оставляет $E_{\mu_{1}}^{2}$ неподвижной в каждой точке, то $E_{\mu_{1}}^{2}$ инвариантна относительно $X_{u_{1}}$. Так как $E_{\mu}^{2}$ почти параллельна $E_{\mu_{4}}^{2}$ и $\Lambda_{S O(2) \times(1, r)}$-инвариантна, мы можем заключить, что $E_{\mu}^{2}$ на самом деле параллельна $E_{\mu_{1}}^{2}$ и, следовательно, $E_{\mu}^{2} X_{\mu}$-инвариантно.
Рис. 7.3.
Из результатов последнего параграфа следует, что мы могли бы рассмотреть бифуркацию векторного поля $X^{\prime}$, определенного на $E_{\mu_{1}}^{2} \times\{\mu$-ось $\}$, где $X_{\mu}^{\prime}=\left.X\right|_{E_{\mu}^{2}}$ (здесь мы отождествляем $E_{\mu}^{2}$ с $\left.E_{\mu_{1}}^{2} \times\{\mu\}\right)$. $X_{\mu}^{\prime}$ коммутирует с вращениями $E_{\mu_{1}}^{2} \cong R^{2}$, и $\operatorname{Spec} D X_{\mu}^{\prime}(0, \mu)=\{\lambda, \bar{\lambda}\}$, где $\operatorname{Re} \lambda<0$ при $\mu<\mu_{1}$, $\operatorname{Re} \lambda=0$ при $\mu=\mu_{1}$. Предположим что $\operatorname{Re} \lambda>0$ при $\mu>\mu_{1}$. Если мы допустим, что $\left(0, \mu_{1}\right)$ – слабый аттрактор для $X_{\mu_{1}}^{\prime}$, то получим «бифуркацию рождения цикла с симметрией»: замкнутые орбиты $X_{\mu}^{\prime}$, которые появляются при $\mu>\mu_{1}$, являются геометрическими окружностями (они инвариантны относительно поворотов) и движение на этих окружностях происходит с постоянной скоростью.

Глобально окружность неподвижных точек $S_{\mu_{1}}$ бифурцирует в устойчивый тор $T_{\mu}$ для $\mu>\mu_{1}, T_{\mu}$ составлен из замкнутых орбит ${ }^{1}$ ), каждая из которых рождается из одной неподвижной точки $S_{\mu_{1}}$. Замкнутые орбиты инвариантны относи-
1) Аналогичное ннвариантное множество существует и для течения ва цилиндром.

тельно $\Lambda_{S о(2) \times\{1, r\}}$ и переставляются элементами $\Lambda_{1 \times O(2)}$. Эта бифуркация соответствует следующему экспериментальному наблюдению; когда $\mu$ возрастает, вихри Тейлора становятся «дважды периодическими», т. е. наводятся горизональные волны, и эта волновая структура вращается горизонтально с постоянной скоростью (см. рис. 7.3).

Это рассуждение не учитывает горизонтальной периодичности, часто наблюдаемой в волновой картине. Эта периодичность может быть объяснена, если предположить, что представление $S O(2) \times 1$ в $O(2)$ (группе изометрий $E_{\mu_{1}}^{2} \cong \mathbb{R}^{2}$ ) имеет вид $(\theta, 1) \mapsto n \theta$. Более серьезной проблемой является то, что из нашего рассуждения вытекает сохранение симметрии относительно вертикального отражения после второй бифуркации: элементы $T_{\mu}$ инвариантны относительно $\Lambda_{(1, r)}$. Эта симметрия не наблюдается экспериментально. В целом ситуация требует дальнейшего изучения. Методы, обсуждавшиеся здесь, кажутся очень плодотворными для продвижения в этом направлении.