Напомним ситуацию для течения Куэтта: вязкая несжимаемая жидкость заполняет пространство между двумя концентрическими цилиндрами. Пусть $R_1$ — радиус внутреннего цилиндра, а $R_2$ — радиус внешнего цилиндра. Допустим, что мы вращаем оба цилиндра. Пусть ${\mathrm{\Omega }}_1$ — угловая скорость внутреннего цилиндра, а ${\mathrm{\Omega }}_2$ — угловая скорость внешнего цилиндра. Будем считать, что ${\mathrm{\Omega }}_1>0$ и ${\mathrm{\Omega }}_2>0$ (т. е. мы вращаем оба цилиндра против часовой стрелки). При малых значениях ${\mathrm{\Omega }}_1$ и ${\mathrm{\Omega }}_2$ можно наблюдать установившийся горизонтальный ламинарный поток, называемый течением Куэтта. Действительно, при произвольных ${\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Omega }}_2$ течение Куэтта является явным решением уравнений Навье — Стокса, которое в цилиндрических координатах $(r,\phi ,z)$ задается следующим образом (см. гл. 1):
$$V_{\theta }=\frac{{\mathrm{\Omega }}_2{R}_2^2-{\mathrm{\Omega }}_1{R}_1^2}{R_2^2-R_1^2}r+\frac{({\mathrm{\Omega }}_1-{\mathrm{\Omega }}_2)R_1^2{R}_2^2}{R_2^2-R_1^2}\frac{1}{r}.$$

Чтобы получить это решение, мы должны игнорировать особые явления, возникающие на концах цилиндров. Мы сделаем это, отождествляя концы цилиндров, так что пространство $A$, в котором заключена наша жидкость, будет прямым произведением кольца и окружности.

Пусть $E$ — пространство $C^r$-векторных полей $Y$ на $A$ с $C^r$-топологией, удовлетворяющи условиям $\mathrm{div}Y=0$ и ${Y|}_{\partial A}=0$. Мы будем считать ${\mathrm{\Omega }}_1$ малой фиксированной величиной, а ${\mathrm{\Omega }}_2$ переменной: ${\mathrm{\Omega }}_2$ будет нашим бифуркационным параметром $\mu$. Для каждого $\mu$ пусть $Z_{\mu }$ означает соответствующее векторное поле Куэтта на $A$. Тогда для каждого $\mu$ векторные поля $Y$ на $A$, удовлетворяющие условиям $\mathrm{div}Y=0$, $Y$ неподвижно относительно $\partial A$, образуют пространство $E_{\mu }$; его можно мыслить себе как $Z_{\mu }+E$. Будем очевидным образом отождествлять каждое $E_{\mu }$ с $E$. Будем считать, что уравнения Навье — Стокса определяют для каждого $\mu$ векторное поле $X_{\mu }$ на $E$. Сделаем предположение (вообще говоря, неверное), что векторное поле $X:E\times R\to E$, задаваемое равенством $X(Y,\mu )=X_{\mu }(Y)$, удовлетворяет условиям работы Рюэля ${}^1)$. Отметим, что точка $(0,\mu )\in E\times \mathbb{R}$ соответствует векторному полю Куэтта $Z_{\mu }$. Так как течение Куэтта — стационарное решение уравнений Навье — Стокса, то $X_{\mu }(0)=0$ для всех $\mu$.

Пусть $G=SO(2)\times O(2)$ — произведение группы вращений кольца на полную ортогональную группу окружности. Это естественная группа симметрий задачи. Отметим, что векторное поле, соответствующее течению Куэтта, $G$-инвариантно. Для каждого $g\in G$ определим ${\mathrm{\Lambda }}_g:E\to E$ как $\left({\mathrm{\Lambda }}_{g}Y\right)(x)=DgY(g^{-1}(x))$, где $x\in A$. Так как каждое $g$ является изометрией $A$ и $D^{k}g=D^k{g}^{-1}=0$ при $k>1$, то легко проверить, что каждое ${\mathrm{\Lambda }}_g$ — линейная изометрия $E$. Таким образом, ${\mathrm{\Lambda }}_a=\{{\mathrm{\Lambda }}_g:g\in G\}$ — это группа линейных изометрий $E$. Физические симметрии задачи означают, что $X_{\mu }{\mathrm{\Lambda }}_g=$ $={\mathrm{\Lambda }}_g{X}_{\mu }$ при всех $g\in G$.

Предположим, что при малых $\mu$ точка 0 является устойчивой особой точкой $X_{\mu }$ (на самом деле это можно доказать, см. Серрин [1,2] и гл. 2А и 9). Данное предположение согласуется с известным экспериментальным фактом, что течение Куэтта устойчиво при малых ${\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Omega }}_2$. Допустим, что в первой точке бифуркации ${\mu }_0>0$ только конечное число собственных значений оператора $D{X}_{\mu }(0)$ достигает мнимой оси, причем каждое имеет конечную кратность. Тогда, в общем случае, устойчивое многообразие $V\subset E\times \mathbb{R}$ в момент бифуркации должно касаться $E^0\times R$ в точке $(0,{\mu }_0)$, где $E^0$ 一 подпространство $E$, в котором ${\mathrm{\Lambda }}_o$ действует неприводимо.
Допустим, что:
(1) $E^0\cong R^2$;
(2) если $g\in SO(2)\times 1$, то каждая точка $E^0$ неподвижна относительно действия ${\mathrm{\Lambda }}_g$;
(3) если $g\in 1\times O(2)$, то ${\mathrm{\Lambda }}_g$ действует на $E^0$ точно так же, как соответствующий элемент полной ортогональной группы пространства ${\mathbb{R}}^2$.
1) Чтобы все это сделать корректно, можно использовать методы гл. 8 и 9 .

Таким образом, по существу ${\mathrm{\Lambda }}_a^0$ — это полная ортогональная группа плоскости. Если $(0,{\mu }_0)$ — «слабый аттрактор» для $X_{\mu }$, то, согласно примеру 1 п. 4 (приспособленному для векторного поля), для каждого малого $\mu >{\mu }_0$ мы ожидаем существование следующих инвариантных множеств вблизи начала $E\times \{\mu \}$ (см. рис. 7.1):
(1) Начало координат — неустойчивый нуль поля $X_{\mu }$.
(2) Замкнутая кривая $S_{\mu }$ нулей поля $X_{\mu }$ в многообразии $V_{\mu }$; каждая $S_{\mu }$ инвариантна относительно ${\mathrm{\Lambda }}_G,S_{\mu }\to 0$ при
Рис. 7.1.
$\mu \to 0$, и каждая $S_{\mu }$ является притягивающим множеством в $E\times \{\mu \}$.

Предположим, что $Y_1,Y_2\in S_{\mu }$ и $Y_1={\mathrm{\Lambda }}_g{Y}_2,g\in 1\times O(2)$. Тогда $Y_1(x)=Dg{Y}_2\left(g^{-1}x\right)$. Это означает, что $Y_1$ и $Y_2$ отличаются только вертикальным сдвигом и (или) отражением $A$. Кроме того, так как ${\mathrm{\Lambda }}_{SO(2)\times 1}$ действует тождественно на $E^0$, мы видим, что каждое $Y\in S_{\mu }$ неподвижно относительно элементов ${\mathrm{\Lambda }}_{{\text{so(2) }}_1\text{, }}$, т. е. каждое $Y\in S_{\mu }$ обладает горизонтальной вращательной симметрией. Такое описание $S_{\mu }$ согласуется с экспериментально наблюдаемым явлением — вихрями Тейлора. Когда $\mu$ проходит некоторое критическое значение, обычно наблюдается, что течение Куэтта разбивается на ячейки, внутри которых жидкость движется радиально от внутреннего цилиндра к внешнему и обратно и в то же время продолжает свое круговое движение вокруг вертикальной оси (рис. 7.2). Для уравнений Навье-Стокса вихри Тейлора являются устойчивым решением с горизонтальной вращательной симметрией. Так как любая картина вихрей Тейлора может встретиться с той же вероятностью, что и ее сдвиг в вертикальном направлении на любое расстояние (предполагая, что концы цилиндра отождествлены), мы видим, почему из течения Куэтта рождается целая окружность неподвижных точек, которые переставляются операторами ${\mathrm{\Lambda }}_{1\times 0(2)}$. Когда $\mu$ возрастает, $S_{\mu }$ на нашем рисунке все сильнее удаляется от точки $(0,\mu )$; это соответствует тому, что вихри Тейлора «усиливаются», т.е. усиливается радиальное движение. Отметим, что при $\mu >{\mu }_0$ течение Куэтта остается нулем поля $X_{\mu }$, однако этот нуль неустойчив.
(Вышесказанное происходит не из-за того, что векторное поле вихрей Тейлора инвариантно относительно конечного числа вертикальных сдвигов или, в нашей модели, относительно нетривиальной подгруппы группы ${\mathrm{\Delta }}_{1\times }$ so(2). Чтобы получить этот результат. нужно предположить, что для $g\in 1\times O(2)$, ${\mathrm{\Lambda }}_g$ действует на $E^0\cong R^2$ следующим обра-

Рис. 7.2. зом:рассмотрим $O(2)$ как группу, образованную числами $\theta$, $0⩽\theta <2\pi$, где $\theta$ задает угол поворота, и отражением $r$. Представим тогда $1\times O(2)$ в $O(2)$ (изометриях ${\mathbb{R}}^2$ ) с помощью гомоморффизма $(1,\theta )⟼n\theta ,(1,r)\mapsto r$. Так как это гомоморфизм на, мы получаем, как и выше, $S_{\mu }$. Теперь, однако, каждое $Y_{\mu }\in S_{\mu }$ инвариантно относительно ${\mathrm{\Lambda }}_H$, где $H=SO(2)\times$ $X\{0,2\pi /n,4\pi /n,\dots ,2(n-1)\pi /n\}$. Эта дополнительная инвариантность относительно новой ${\mathrm{\Lambda }}_Q^0$ будет сохраняться и в дальнейшем.)

Теперь мы изучим вторую бифуркацию $X_{\mu }$. Ситуация усложняется тем обстоятельством, что при $\mu >{\mu }_0$ нули $X_{\mu }$, которыми мы интересуемся, образуют одномерные множества. Мы предположим, что уже сделана такая замена координат, что $S_{\mu }\subset E^0\times \{\mu \}$.

Пусть $Y_{\mu }\in S_{\mu }$. При малых $\mu >{\mu }_0,D{X}_{\mu }\left(Y_{\mu }\right)$ имеет соб ственное значение 0 кратности 1 , а остальная часть спектра лежит в полуплоскости $\mathrm{Re}z<0$. Отметим, что если также $Y_{\mu }^{\prime }\in S_{\mu }$, то $Y_{\mu }^{\prime }={\mathrm{\Lambda }}_g{Y}_{\mu }$ дла некоторого $g\in 1\times O(2)$, поэтому $X\left(Y_{\mu }^{\prime }\right)=X{\mathrm{\Lambda }}_g\left(Y_{\mu }\right)={\mathrm{\Lambda }}_{g}X\left(Y_{\mu }\right).$ Следовательно, $DX\left(Y_{\mu }^{\prime }\right)\cdot {\mathrm{\Lambda }}_g=$ $={\mathrm{\Lambda }}_g\cdot DX\left(Y_{\mu }\right)$, т. е. $DX\left(Y_{\mu }^{\prime }\right)$ и $DX\left(Y_{\mu }\right)$ сопряжены. Таким образом, Spec $DX\left(Y_{\mu }\right)=\mathrm{Spec}DX\left(Y_{\mu }^{\prime }\right)$.

Предполагая, что ${\mathrm{\Lambda }}_{1\times 0(2)}$ действует на $E^0$ подобно полной ортогональной группе плоскости, получаем, что $Y_{\mu }$ неподвижно относительно в точности двух элементов ${\mathrm{\Lambda }}_{1\times 0\text{ (2) }}$, именно ${\mathrm{\Lambda }}_{(1,1)}$ и ${\mathrm{\Lambda }}_{(\mathrm{i},r)}$, где ${\mathrm{\Lambda }}_{(1,r)}^0$ — как раз отражение относительно прямой, определенной $Y_{\mu }$. Так как $E^0$ неподвижно в каждой точке относительно ${\mathrm{\Lambda }}_{SO(2)\times 1}$, то подгруппа группы ${\mathrm{\Lambda }}_G$, которая оставляет на месте $Y_{\mu }$, — это ${\mathrm{\Lambda }}_{SO(2)}\times \{1,r\}$. Поэтому $DX\left(Y_{\mu }\right)\cdot {\mathrm{\Lambda }}_g={\mathrm{\Lambda }}_g\cdot DX\left(Y_{\mu }\right)$ для всех $g\in SO(2)\times \{1,r\}$.

Допустим, что для ${\mu }_0<\mu <{\mu }_1$ и $Y_{\mu }\in S_{\mu }$. Spec $D{X}_{\mu }\left(Y_{\mu }\right)$ содержится в полуплоскости $\mathrm{Re}z<0$, за исключением одного собственного значения 0 кратности 1. Допустим также, что для $Y_{{\mu }_1}\in S_{{\mu }_1}\mathrm{Spec}D{X}_{{\mu }_1}\left(Y_{{\mu }_1}\right)\cap (\mathrm{Re}z=0)$ состоит из конечного числа изолированных собственных значений (включая 0), каждое из которых имеет конечную кратность. Зафиксируем $Y_{{\mu }_1}\in S_{{\mu }_1}$, и пусть $r$ теперь обозначает единственный элемент группы $O(2)$, для которого $Y_{{\mu }_1}$. неподвижно относительно ${\mathrm{\Lambda }}_{SO(2)\times \{1,r\}}$. X имеет центральное многообразие $W$ в точке $Y_{\mu }$ касающееся $T_{Y_{{\mu }_1}}{S}_{{\mu }_1}\oplus E^1\oplus \{\mu$-ось $\},$ где $E^1$ — конечномерное подпространство $T_{Y_{{\mu }_1}}\oplus E^1$ инвариантно относительно ${\mathrm{\Lambda }}_{\text{SO (2) }\times \{1,r\}}$. Так как $W$ содержит всю локальную рекуррентность поля $X$ около точки $Y_{{\mu }_1}$, то $W$ содержит все точки $\bigcup _4{S}_{\mu }$ в окрестности $Y_{{\mu }_1}$.

Пусть II: $E\times {}^{\prime }\mathrm{R}\to E$ — проекция на первый сомножитель. Тогда для каждого $\mu$, близкого к ${\mu }_1$, существует единственное $Y_{\mu }\in S_{\mu }$, для которого $\mathrm{\Pi }{Y}_{\mu }/\Vert Y_{\mu }\Vert =\mathrm{\Pi }{Y}_{{\mu }_1}/\Vert Y_{{\mu }_1}\Vert$. Возьмем теперь это в качестве определения $Y_{\mu }$. Тогда подгруппа ${\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }$, которая оставляет $Y_{\mu }$ неподвижным, в точности есть ${\mathrm{\Lambda }}_{SO(2)\times 1,r}$

Қак в п. 1, мы можем отождествить окрестность $Y_{{\mathbf{u}}_1}$ в $W$ с окрестностью $U$ точки $(Y_{{\mu }_1},0,0)$ в $T_{Y_{{\mu }_1}}{S}_{{\mu }_1}\oplus E^{\mathrm{I}}\oplus \{\mu$-ось $\}$, и ${X|}_V-$ с векторным полем на $U$ (которое снова назовем $X$ ) таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:
(1) $Y_{\mu }$ соответствует $(Y_{{\mu }_1},0,\mu )$;
(2) ${\mathrm{\Lambda }}_{SO(2)\times \{1,r\}}$ действует как группа гильбертовых изометрий $T_{Y_{{\mu }_1}}{S}_{{\mu }_1}\oplus E^{\mathrm{I}}$;
(3) $X$ на $U$ коммутирует с ${\mathrm{\Lambda }}_{SO(2)\times \{1,r)}$. В частности, $D{X}_{\mu }(Y_{{\mu }_1},0,\mu )$ коммутирует с ${\mathrm{\Lambda }}_{SO(2)\times \{1,r\}}$.
В общем случае мы имедм одну из двух возможностей:
(1) Spec $D{X}_{\mu }(Y_{{\mu }_1},0,\mu )$ состоит из собственного значения 0 с собственным подпространством $T_{Y_{u_1}}{S}_{{\mu }_1}$ и единственного действительного собственного значения ${\lambda }_{\mu }$ с ${\lambda }_{{\mu }_1}=0$.
(2) $\mathrm{Spec}D{X}_{\mu }(Y_{{\mu }_1},0,\mu )$ состоит из собственного значения 0 с собственным подпространством $T_{Y_{\mu }}{S}_{{\tilde{\mu }}_1}$ и одной пары комплексно-сопряженных собственных значений ${\lambda }_{\mu },{\overline{\lambda }}_{\mu }$ с $\mathrm{Re}{\lambda }_{{\mu }_1}=0$.

Предположим, что выполняется (2). Тогда для каждого $\mu$, близкого к ${\mu }_1$, существует единственное подпространство $E_{\mu }^2\subset T_{\left(Y_{{\mu }_1,0,\mu }\right)}U$, такое, что $DX(Y_{{\mu }_1},0,\mu )$ оставляет $E_{\mu }^2$ инвариантным и ${DX(Y_{u_1},0,\mu )|}_{E_{\mu }^2}$ имеет собственными значениями только ${\lambda }_{\mu },{\overline{\lambda }}_{\mu }$. Если мы теперь будем считать $E_u^2$ подпространством $T_{Y_{{\mu }_1}}{S}_{{\mu }_1}\oplus E^1\oplus \{\mu$-ось $\}$, то $E_{\mu }^2$ инвариантно относительно действия ${\mathrm{\Lambda }}_{SO(2)\times \{1,r\}}$, так как этим свойством обладает $DX(Y_{{\mu }_1},0,\mu )$.

В типичном случае ${\mathrm{\Lambda }}_{So(2)\times (1,r)}$ действует неприводимо на $E_{{\mu }_1}^2$. Допустим, $E_{{\mu }_1}^2\cong {\mathrm{R}}^2$, тогда $E^1\cong {\mathrm{R}}^2$ и каждое $E_u^2\cong {\mathrm{R}}^2$. Предположим, что ${\mathrm{\Lambda }}_{SO(2)\times (1,r}$ действует на $E_{{\mu }_1}^2$ подобно вращениям плоскости. Другими словами, предположим, что каждая точка $E_{{\mu }_1}^2$ неподвижна относительно ${\mathrm{\Lambda }}_{(1,r)}$ и ${\mathrm{\Lambda }}_{SO(2)\times 1}$ действует на $E_{\mu ,\text{ вращениями пло- }}^2$ скости. Так как ${\mathrm{\Lambda }}_{(1,r)}$ оставляет $E_{{\mu }_1}^2$ неподвижной в каждой точке, то $E_{{\mu }_1}^2$ инвариантна относительно $X_{u_1}$. Так как $E_{\mu }^2$ почти параллельна $E_{{\mu }_4}^2$ и ${\mathrm{\Lambda }}_{SO(2)\times (1,r)}$-инвариантна, мы можем заключить, что $E_{\mu }^2$ на самом деле параллельна $E_{{\mu }_1}^2$ и, следовательно, $E_{\mu }^2{X}_{\mu }$-инвариантно.
Рис. 7.3.
Из результатов последнего параграфа следует, что мы могли бы рассмотреть бифуркацию векторного поля $X^{\prime }$, определенного на $E_{{\mu }_1}^2\times \{\mu$-ось $\}$, где $X_{\mu }^{\prime }={X|}_{E_{\mu }^2}$ (здесь мы отождествляем $E_{\mu }^2$ с $E_{{\mu }_1}^2\times \{\mu \})$. $X_{\mu }^{\prime }$ коммутирует с вращениями $E_{{\mu }_1}^2\cong R^2$, и $\mathrm{Spec}D{X}_{\mu }^{\prime }(0,\mu )=\{\lambda ,\overline{\lambda }\}$, где $\mathrm{Re}\lambda <0$ при $\mu <{\mu }_1$, $\mathrm{Re}\lambda =0$ при $\mu ={\mu }_1$. Предположим что $\mathrm{Re}\lambda >0$ при $\mu >{\mu }_1$. Если мы допустим, что $(0,{\mu }_1)$ — слабый аттрактор для $X_{{\mu }_1}^{\prime }$, то получим «бифуркацию рождения цикла с симметрией»: замкнутые орбиты $X_{\mu }^{\prime }$, которые появляются при $\mu >{\mu }_1$, являются геометрическими окружностями (они инвариантны относительно поворотов) и движение на этих окружностях происходит с постоянной скоростью.

Глобально окружность неподвижных точек $S_{{\mu }_1}$ бифурцирует в устойчивый тор $T_{\mu }$ для $\mu >{\mu }_1,T_{\mu }$ составлен из замкнутых орбит ${}^1$ ), каждая из которых рождается из одной неподвижной точки $S_{{\mu }_1}$. Замкнутые орбиты инвариантны относи-
1) Аналогичное ннвариантное множество существует и для течения ва цилиндром.

тельно ${\mathrm{\Lambda }}_{Sо(2)\times \{1,r\}}$ и переставляются элементами ${\mathrm{\Lambda }}_{1\times O(2)}$. Эта бифуркация соответствует следующему экспериментальному наблюдению; когда $\mu$ возрастает, вихри Тейлора становятся «дважды периодическими», т. е. наводятся горизональные волны, и эта волновая структура вращается горизонтально с постоянной скоростью (см. рис. 7.3).

Это рассуждение не учитывает горизонтальной периодичности, часто наблюдаемой в волновой картине. Эта периодичность может быть объяснена, если предположить, что представление $SO(2)\times 1$ в $O(2)$ (группе изометрий $E_{{\mu }_1}^2\cong {\mathbb{R}}^2$ ) имеет вид $(\theta ,1)\mapsto n\theta$. Более серьезной проблемой является то, что из нашего рассуждения вытекает сохранение симметрии относительно вертикального отражения после второй бифуркации: элементы $T_{\mu }$ инвариантны относительно ${\mathrm{\Lambda }}_{(1,r)}$. Эта симметрия не наблюдается экспериментально. В целом ситуация требует дальнейшего изучения. Методы, обсуждавшиеся здесь, кажутся очень плодотворными для продвижения в этом направлении.