Мы уже видели, как бифуркации могут приводить от устойчивых особых точек к устойчивым периодическим орбитам, а затем к устойчивым двумерным торам. Подобным образом мы можем прийти к торам более высоких размерностей ${ }^{1}$ ). Рюэль и Такенс [1] утверждают, что в этой и других ситуациях можно ожидать появление сложных («странных») аттракторов и что это лежит в основе объяснения турбулентности.

В частном случае, когда при изменении параметра образуются торы возрастающей размерности, такая модель является техническим усовершенствованием идеи Хопфа [4] ${ }^{2}$ ); при этом турбулентность является результатом последовательных потерь устойчивости и ветвления. Однако странные аттракторы, по-видимому, могут образовываться также другим путем, как в уравнениях Лоренца (см. гл. 4В) (строго говоря, имеется только «странное» инвариантное множество). Это хорошо согласуется с общей картиной Рюэля и Такенса, а также тесно связано с идеей жесткого возникновения колебаний Джозефа и Сэттинджера [1].

В процессе ветвления при возрастании числа Рейнольдса устойчивые решения становятся неустойчивыми. Следовательно, предполагается, что турбулентность есть необходимое следствие уравнений, действительно является «типичным случаем» и просто представляет собой сложное решение. Например, в течении Куэтта с ростом угловой скорости $\Omega_{1}$ внутреннего цилиндра при некотором бифуркационном значении $\Omega_{1}$ происходит переход от ламинарного потока к вихрям Тейлора или течению подобного типа и в конце концов развивается турбулентность. По такой схеме, как это делалось в течение длительного времени, сначала доказывают теорему устойчивости и смотрят, когда теряется устойчивость (Хопф [2], Чандрасекар [1], Линь [1] и т. д.). Например, если параметр остается достаточно близким к значению, при котором существует ламинарный поток, следует ожидать, что поток останется приблизительно ламинарным. Серрин [2] доказал теорему такого типа, которую мы приведем в качестве иллюстрации.
(9.9) Теорема об устойчивости. Пусть $D \subset \mathbb{R}^{3}$ – ограниченная область и поток $v_{t}^{v}$ на $\partial D$ задан (что соответствует.
1) Рождение $(k+1)$-мерного тора из $k$-мерного при $k \geqslant 2$ пока является нерешенной задачей, гораздо более сложной, чем рождение из точки и замкнутой орбиты, – Прим, перев.
2) Гораздо раньше такая идея была высказана Л. Д. Ландау.Прим. перев.

подвижной границе, как в потоке Куэтта). Пусть $V=\max _{x \in D, t \geqslant 0}\left\|v_{t}^{v}(x)\right\|, d$-диаметр $D, a v$-вязкость. Тогда, если число Рейнольдса $N_{\mathrm{Re}}=V d / v \leqslant 5,71$, то vі является абсолютно $L^{2}$-устойчивым для всех решений уравнений Навье – Стокса.

Абсолютная $L^{2}$-устойчивость означает, что если $\bar{v}_{t}^{v}$ – любое другое решение уравнений с теми же самыми граничными условиями, тогда $L^{2}$-норма (или энергия) разности $\bar{v}_{t}^{v}-v_{t}^{v}$ стремится к нулю при $t \rightarrow \infty$.

Доказательство этой теоремы очень простое, и поэтому мы советуем прочитать Серрина [1,2]. Используя теорему 1.4 гл. 2 А и идеи гл. 8 , можно получить локальную устойчивость и в сильной топологии.

Критерии такого типа для потока Куэтта подробно анализировали Чандрасекар [1], Серрин [2] и Вельте [3].

Как частный случай, мы обнаруживаем теперь то, что мы и ожидали. Именно, если $v_{t}^{v}$ – любое решение, равное нулю на $\partial M$ и $v \rightarrow 0$, то $v_{t}^{v} \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$ в $L^{2}$-норме, так как нулевое решение абсолютно устойчиво.

Традиционное определение (Хопф [2], Ландау и Лифшиц [1]) говорит, что при развитии турбулентности векторное поле $v_{t}$ описывается квазипериодическими функциями, т.е. $v_{t}\left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right)=f\left(t w_{1}, \ldots, t w_{n}\right)$, где $f$ является периодической по каждой координате, но периоды рационально независимы. Например, если орбиты $v_{t}$ на торе, который получается из теоремы Хопфа, являются спиралями с рационально независимыми углами, то $v_{t}$ – именно такой поток.

Если рассмотреть этот пример несколько подробнее, становится ясно, что существует много орбит потока $v_{t}$, которые качественно похожи на квазипериодические, но сами не являются квазипериодическими, и действительно, малая окрестность квазипериодической функции может не содержать достаточно много других таких функций. Хотелось бы, однако, чтобы множество функций, описывающих турбулентность, содержало бы большинство функций, а не было бы тощим множеством. Точнее, назовем подмножество топологического пространства $S$ типичным, если оно является бэровским множеством (т.е. счетным пересечением открытых всюду плотных множеств). Естественно ожидать, что функции, описывающие турбулентность, будут типичными, так как турбулентность – явление общего характера, а уравнения, описывающие поток, никогда не являются точными. Таким образом, хотелось бы, чтобы построенная теория турбулентности не рушилась при добавлении малых возмущений к уравнениям движения.

Такого рода причины привели Рюэля и Такенса [1] к следующей точке зрения: маловероятно, чтобы квазипериодические функции могли «реально» описывать турбулентность, так как они не типичны. Вместо них предлагается использовать «странные аттракторы». Решения, лежащие на странных аттракторах, обладают многими качественными свойствами, которые можно ожидать от «турбулентных» решений уравнений Навье – Стокса, и они устойчивы при возмущениях уравнений, т. е. «структурно устойчивы» ${ }^{1}$ ).

За примерами странных аттракторов мы отсылаем к Смейлу [1]. Обычно странный аттрактор устроен, как произведение канторовского множества на многообразие, по крайней мере, локально ${ }^{2}$ ).

Рюэль и Такенс показали, что если мы определим странный аттрактор как аттрактор, не являющийся точкой или замкнутой орбитой и пренебрежем нетипичными случаями, вроде «восьмерки», то такие странные аттракторы существуют на торе $T^{4}$, т. е. каждое векторное поле из некоторого открытого множества пространства векторных полей имеет странный аттрактор.

Если притягивающее множество потока, который порождается уравнениями Навье – Стокса на пространстве векторных полей, является странным, то ясно, что решение, притягивающееся к этому множеству, ведет себя сложным, турбулентным образом. В то время как в целом множество устойчиво, индивидуальная точка может не быть таковой. Притягивающаяся орбита все время проходит около неустойчивого (близкого к периодическому) решения и смещается аттрактором случайным образом (см. рис. 9.1). Таким образом, мы приходим к следующему определению турбулентности, предложенному Рюэлем и Такенсом: «… движение жидкой среды турбулентно, если это движение описывается интегральной кривой векторного поля $X_{\mu}$, которая стремится к непустому множеству $A$, не являющемуся состоянием равновесия или замкнутой орбитой».
1) Қак сейчас уже стало ясно, многие аттракторы не являются устойчивыми в обычном смысле. Например, таков аттрактор в уравнениях Лоренца (см. Афраймович, Быков, Шильников [1]). Однако при возмущениях сам аттрактор сохраняется (хотя структура на нем меняется). Прим. перев.
2) Здесь имеются в виду аттракторы, являющиеся базисными множествами в смысле Смейла. В общем случае это не так (см. Гукенхеймер [2]). – Прим. перев.

Одна из возможностей возникновения турбулентного движения – это его появление на торе $T^{k}$, рождающемся в результате бифуркации рождения цикла. Такое может случиться после конечного числа последовательных бифуркаций. Однако С. Смейл и К. Симон указали нам, что здесь могут иметь место бесконечное число других бифуркаций (таких, как различные пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий и т.д.). Однако турбулентность, по-видимому, может возникать и другим путем. Например, в примере 4B. 9
Рис. 9.1.
(уравнения Лоренца) бифуркация рождения цикла является субкритической, и странный аттрактор может появиться неожиданно, когда $\mu$ проходит критическое значение, без предварительного появления автоколебаний. Описание возникающего здесь аттрактора имеется в гл. 12. См. также МакЛафлин и Мартин [1,2], Гукенхеймер и Йок [1] и Ланфорд [2] ${ }^{1}$ ).

Суммируя сказанное, эту точку зрения на турбулентность можно сформулировать следующим образом. При малых (соответствующих числу Рейнольдса во многих проблемах гидродинамики) наши решения устойчивы, а при возрастании $\mu$ эти решения становятся неустойчивыми при определенном критическом значении $\mu$, после чего решения стремятся к более сложному устойчивому решению; в конце концов после определенного (конечного) числа таких бифуркаций решение попадает на странный аттрактор (в пространстве всех решений задачи). Такое решение, которое блуждает вблизи странного аттрактора, называется турбулентным.
1) См. работу В. С. Афраймовича, В. В. Быкова и Л. П. Шильникова, где описана схема появления аттрактора, а также приложение Л.П. Шильникова к настоящей книге. – Прим. перев.

Попадание на странный аттрактор может случаться после бифуркации рождения цикла, а затем инвариантного тора или с помощью других механизмов, таких, как в уравнениях Лоренца («жесткое возникновение турбулентности»).

Лере [3] утверждал, что уравнения Навье – Стокса могут терять смысл, их решения перестают быть гладкими, когда начинается турбулентность. Эта идея еще более распространилась, когда Хопф [3] в 1950 году доказал глобальное существование (по времени) слабых решений уравнений, но не их единственность. Было выдвинуто предположение, что турбулентность возникает, когда сильное решение становится слабым и нарушается единственность. Однако до сих пор неизвестно, так это или нет в действительности (см. Ладыженская $[1,2]$ ).

Представление Рюэля и Такенса и представление Лере противоречат друг другу. В самом деле, если объяснением являются странные аттракторы, то их устойчивость влечет за собой гладкость решений для всех $t$. Действительно, как мы знаем из нашего доказательства теоремы Хопфа, вблизи устойчивой замкнутой орбиты решения определены, остаются гладкими и удовлетворяют условию единственности для всех $t \geqslant 0$ (см. гл. 8, а также Сэттинджер [2] ). И это происходит уже в области интересных чисел Рейнольдса, где глобальная гладкость не получается из классических оценок.

Известно, что в двумерных задачах решения уравнений Эйлера и Навье – Стокса существуют глобально по $t$ и остаются гладкими. В трехмерной задаче это неизвестно и называется задачей «глобальной регулярности» или «задачей продолжения на все время».

Недавние численные результаты (см. Темам и др. [1]) наводят на мысль, что для уравнений Эйлера ответ отрицательный.

Теоретические исследования, включающие анализ спектра, пока не дают окончательного ответа на этот вопрос для уравнений Навье – Стокса (см. Марсден, Эбин и Фишер [1] и статьи Фриша и др. в книге Темама и др. [1]).

Мы хотим сформулировать в качестве гипотез два утверждения:
1. В картине Рюэля и Такенса глобальная регулярность для всех начальных условий не является априорно необходимой, области притяжения аттракторов будут определять, какие решения регулярны, и будут гарантировать регулярность для турбулентных решений (которые существуют, как считает теперь большинство специалистов).
2. Глобальная регулярность, если она верна в общем, вероятно никогда не будет доказана с помощью оценок на уравнения. Необходимо гораздо более глубоко исследовать притягивающие множества бесконечномерной динамической системы уравнений Навье – Стокса и получить таким путем априорные оценки.