Нам потребуется следующий результат, который дает критерий разрешимости неоднородной системы дифференциальных уравнений
\[
\dot{\mathbf{w}}=\mathbf{L}(\mathbf{w})+\mathbf{q}, \quad\left(\mathbf{L}=\mathbf{L}_{0}\right),
\]

где $\mathbf{q}(t)$ имеет период $T_{0}$. Пусть
\[
\dot{\mathbf{z}}^{*}=-\mathbf{L}^{*}\left(\mathbf{z}^{*}\right)
\]
1) См. редакторские комментарии II в гл. 5А.
2) И действительно, получаются при сдвиге начала отсчета приблизительно на $T_{Q} / 2$.

— дифференциальное уравнение, сопряженное к однородной части уравнения (4.1); $\mathbf{L}^{*}$ — сопряженный к $\mathbf{L}$ оператор (транспонированная матрица), определенный соотношением
\[
\left.\mathbf{L}(\mathbf{u}) \cdot \mathbf{v}=\mathbf{u} \cdot \mathbf{L}^{*}(\mathbf{v})^{1}\right) .
\]

Тогда (4.1) имеет периодическое решение $\mathbf{w}$ c периодом $T_{0}$, если и только если
\[
\int_{0}^{T_{0}} \mathbf{q} \cdot \mathbf{z}^{*} d t=0
\]

для всех решений (4.2), которые имеют период $T_{0}$. Этот результат следует из известного критерия разрешимости системы линейных уравнений. Необходимость следует непосредственно из (4.1) и (4.2). Достаточность этого условия можно показать следующим образом. Сопряженное уравнение имеет те же самые характеристические показатели, и поэтому оно также имеет два решения вида
\[
e^{\alpha t} \mathrm{a}^{*}, \quad e^{-\alpha t \overline{\mathrm{a}}^{*}}, \quad \alpha=\alpha(0)=-\bar{\alpha}(0),
\]

из которых линейной комбинацией может быть образовано любое периодическое решение. Далее, разложение $\mathbf{q}(t)$ в ряд Фурье показывает, что достаточно рассмотреть случай
\[
\mathbf{q}=e^{-\alpha t} \mathbf{b}
\]

и аналогичный случай с $\alpha$ вместо — $\alpha$. Подставим
\[
\mathbf{w}=e^{-a t} \mathbf{c}
\]

в (4.1), получим
\[
(\alpha I+\mathbf{L}) \cdot \mathbf{c}=\mathbf{b} .
\]

Из (4.4) и (4.2) следует
\[
(\alpha I+\mathbf{L})^{*} \mathbf{a}^{*}=0,
\]

в то время как (4.3) влечет за собой $\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}^{*}=0$. Отсюда с учетом теоремы вытекает требуемое утверждение.

Кроме того, нам потребуется следующий факт. Для каждого решения $\mathbf{z}
eq 0$ уравнения $\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{L}(\mathbf{z})$, имеющего период $T_{0}$, всегда существует решение $z^{*}$ сопряженного уравнения с тем же самым периодом, для которого
\[
\left.\int_{0}^{T_{0}} \mathbf{z} \cdot \mathbf{z}^{*} d t
eq 0^{2}\right) .
\]
1) В дальнейшем скалярное произведние двух комплексных векторов a и b определяется как $\Sigma \bar{a}_{i} b_{i}$.
2) K тому же подинтегральное выражение всегда постояндо.

В противном случае уравнение $\dot{\mathbf{w}}=\mathbf{L}(\mathbf{w})+\mathbf{z}$ имело бы решение $\mathbf{w}, \mathbf{a}-t \mathbf{z}^{1}$ ) было бы решением однородного дифференциального уравнения, что противоречит простоте характеристического показателя $\alpha$.

Пусть $\mathbf{z}_{1}^{*}$ и $\mathbf{z}_{2}^{*}$ суть два линейно независимых решения (4.2) с периодом $T_{0}$. Пусть
\[
[\mathbf{q}]_{l}=\int_{0}^{T_{1}} \mathbf{q} \cdot \mathbf{z}_{i}^{*} d t, \quad(i=1,2) .
\]

Тогда критерий разрешимости (4.1) может быть записан как
\[
[\mathbf{q}]_{1}=[\mathbf{q}]_{2}=0 .
\]

Заметим также, что $z_{1}^{*}, z_{2}^{*}$ могут быть выбраны так, чтобы
\[
[\mathbf{z}]_{1}=[\dot{\mathbf{z}}]_{2}=1, \quad[\mathbf{z}]_{2}=[\dot{\mathbf{z}}]_{1}=0,
\]

где $\mathbf{z}$ — решение (2.10) уравнения (2.4) с $\mu=0$ (биортогонализация).

Задача определения коэффициентов степенного ряда для периодического семейства теперь может быть решена следующим общим способом. Если определить новую независимую переменную равенством
\[
t=s\left(1+\tau_{2} \mathrm{e}^{2}+\tau_{3} \mathrm{e}^{3}+\ldots\right),
\]

то, согласно (2.28), период в семействе решений $\mathbf{y}=\mathbf{y}(s, \varepsilon)$ станет постоянным, равным $T_{0} ; \mathbf{y}$ как функция $s$ (или $t$ ) аналитична в каждой точке $(s, 0)$. Получаем
\[
\mathbf{y}=\mathbf{y}_{0}(s)+\varepsilon \mathbf{y}_{1}(s)+\varepsilon^{2} \mathbf{y}_{2}(s)+\ldots,
\]

где все $\mathbf{y}_{i}$ имеют период $T_{0}$. Производная по $s$ будет снова обозначаться точкой. Для простоты будем писать
\[
\mathbf{L}_{0}=\mathbf{L}, \quad \mathbf{L}_{0}^{\prime}=\mathbf{L}^{\prime}, \quad \mathbf{Q}_{0}=\mathbf{Q}, \quad \mathbf{K}_{0}=\mathbf{K}, \ldots
\]

Тогда, используя (3.2) и подставляя (4.7) и (4.8) в (2.3), получим рекуррентные уравнения
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{y}}_{0}=\mathbf{L}\left(\mathrm{y}_{0}\right) \quad\left(\mathrm{y}_{0}=\mathrm{z}\right), \\
\dot{\mathbf{y}}_{1}=\mathbf{L}\left(\mathrm{y}_{1}\right)+\mathbf{Q}\left(\mathrm{y}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right), \\
-\boldsymbol{\tau}_{2} \dot{\mathbf{y}}_{0}+\dot{\mathbf{y}}_{2}=\mathbf{L}\left(\mathbf{y}_{2}\right)+\mu_{2} \mathbf{L}^{\prime}\left(\mathrm{y}_{0}\right)+2 \mathbf{Q}\left(\mathrm{y}_{0}, \mathbf{y}_{1}\right)+\mathbf{K}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right),
\end{array}
\]
1) В оригинале $w+t \mathbf{z}$, что неверно.

из которых нужно определить $\mathrm{y}_{i}, \mu_{i}, \tau_{i}$. В дополнение к ним имеем условия, вытекающие из (2.18):
\[
\mathbf{y}_{k} \cdot \mathbf{e}=\dot{\mathbf{y}}_{k} \cdot \mathbf{e}=0 \quad \text { при } \quad s=0
\]

для $k=1,2, \ldots$. В уравнениях мы опять пишем $t$ вместо $s$. По (4.10) и (4.12) $\mathbf{y}_{1}$ однозначно определяется как периодическая функция периода $T_{0}$. Сначала с помощью (2.13) из (4.11) должна быть исключена L’. Так как круглые скобки в первом слагаемом (2.14) являются решением $\mathbf{z}=\mathbf{L}(\mathbf{z})$, то (2.13) может быть записано в виде
\[
\operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}\right) \cdot \mathbf{z}+\frac{\operatorname{Im}\left(\alpha^{\prime}\right)}{\alpha} \dot{\mathbf{z}}+\dot{\mathbf{h}}=\mathbf{L}(\mathbf{h})+\mathbf{L}^{\prime}(\mathbf{z}) .
\]

Пусть
\[
\mathbf{y}_{2}-\mu_{2} \mathbf{h}=\mathbf{v},
\]

где $\mathbf{v}$, согласно (2.15), имеет период $T_{0}$. Так как $z=\mathbf{y}_{0}$, то отсюда следует, что
\[
\begin{array}{l}
-\mu_{2} \operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}\right) \mathbf{y}_{0}-\left(\tau_{2}+\mu_{2} \frac{\operatorname{Im}\left(\alpha^{\prime}\right)}{\alpha}\right) \dot{\mathbf{y}}_{0}+\dot{\mathbf{v}}= \\
=\mathbf{L}(\mathbf{v})+2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{1}\right)+\mathbf{K}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом, согласно (4.6),
\[
\begin{aligned}
\mu_{2} \operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}\right) & =-\left[2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{1}\right)+\mathbf{K}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)\right]_{1}, \\
\tau_{2}+\mu_{2} \frac{\operatorname{Im}\left(\alpha^{\prime}\right)}{\alpha} & =-\left[2 \mathbf{Q}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{1}\right)+\mathbf{K}\left(\mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)\right]_{2} .
\end{aligned}
\]

В силу (1.2) отсюда могут быть определены $\mu_{2}$ и $\tau_{2}$. Тогда можно разрешить (4.15) относительно $\mathbf{v}$ и из (4.14), (4.12) при $k=2$ однозначно получить $\mathbf{y}_{2}$. Аналогичным образом из последующих рекуррентных формул могут быть получены все высшие коэффициенты. В общем случае $\mu_{2}
eq 0$. Если $\mu_{2}$ положительно, то периодические решения существуют лишь для $\mu>0$; соответствующее утверждение имеет место для $\left.\mu_{2}<0^{1}\right)$.