Пусть $D \subseteq \mathbb{R}^{3}$ – открытое ограниченное множество с гладкой границей. Будем считать $D$ заполненным несжимаемой однородной (постоянной плотности) жидкостью. Обозначим через и и $p$ скорость и давление жидкости соответственно. Если жидкость вязкая и изменениями температуры можно пренебречь, то уравнения, описывающие движения жидкости, таковы:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial u}{\partial t}+(u \cdot
abla) u-v \Delta u=-\operatorname{grad} p, \\
\operatorname{div} u=0 .
\end{array}
\]

В качестве граничных условий обычно берется $\left.u\right|_{\partial D}=0$ (или $\left.u\right|_{\partial D}$ считается заданным, если граница движущаяся), а в качестве начальных условий $-u(x, 0)=u_{0}(x)$. Задача состоит в отыскании $u(x, t)$ и $p(x, t)$ для $t>0$. Первое урав-
1) Здесь иллюстрируется возникновение аттрактора в форме замкнутой кривой, но этот аттрактор является не периодической траекторией, а кривой неподвижных точек. – Прим. перев.
2) См. также Андронов и др. [1], где рассмотрены различные случаи появления автоколебаний в технических устройствах. – Прим. ред.
$\left.{ }^{3}\right)$ То, что фибрилляция сердца связана с бифуркацией рождения цикла, является гипотезой, сообщенной нам А. Фишером; см. Зиман [2].

.нение (1.3) аналогично второму закону Ньютона, второе уравнение (1.4) эквивалентно условию несжимаемости жидкости ${ }^{1}$ ).

Дифференциальное уравнение (1.3) можно трактовать как векторное поле на пространстве $\mathscr{X}$ всех соленоидальных векторных полей на $D$; поэтому оно определяет поток на $D$ (мы не касаемся сейчас имеющихся здесь существенных. технических трудностей; см. гл. 8).

Число Рейнольдса потока определяется как $N_{\mathrm{Re}}=\frac{U L}{v}$, где $U$ и $L$-характерные скорость и длина, $v$ – коэффициент
Рис. 1.8.

кинематической вязкости. Так, например, если мы рассматриваем поток, обтекающий сферу и имеющий постоянную скорость на бесконечности $U_{\infty} \mathbf{i}$ (рис. 1.8), то в качестве $L$ можно взять радиус сферы и $U=U_{\infty}$.

Если жидкость идеальная ( $v=0$ ), то $N_{\mathrm{Re}}=\infty$ и движение жидкости удовлетворяет уравнениям Эйлера:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial u}{\partial t}+(u \cdot
abla) u=-\operatorname{grad} p, \\
\operatorname{div} u=0 .
\end{array}
\]

Граничные условия теперь выбираются так: $\left.u\right|_{\partial D}$ параллельна $\partial D$ (обозначим это для краткости $u \mid \partial D$ ). Это резкое изменение граничных условий от $u=0$ на $\partial D$ к $u \| \partial D$ имеет фундаментальное значение. Оно является причиной многих трудностей в гидромеханике при очень больших $N_{\text {Re }}$ (см. сноску ниже).

Число Рейнольдса потока имеет то характерное свойство, что при переходе к новым масштабам
\[
u^{*}=\frac{U^{*}}{U} u, \quad x^{*}=\frac{L^{*}}{L} x, \quad t^{*}=\frac{T^{*}}{T} t, \quad p^{*}=\left(\frac{U^{*}}{U}\right)^{2} p
\]
1) Обсуждение этих вопросов имеется в любой книге по гидромеханике, например Серрин [1], Шинброт [1] или Хьюз и Марсден [3].

и выборе $T=\frac{L}{U}, T^{*}=\frac{L^{*}}{U^{*}}$ мы получим при $N_{\mathrm{Re}}^{*}=U^{*} L^{*} / v^{*}=$ $=N_{\mathrm{Re}}=U L / v$, что $u^{*}$ удовлетворяет тем же самым уравнениям относительно $x^{*}, t^{*}$, каким удовлетворяет $u$ относительно $x$ и $t$, т. е.
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial u^{*}}{\partial t^{*}}+\left(u^{*} \cdot
abla^{*}\right) u^{*}-v^{*}
abla u^{*}=-\operatorname{grad} p^{*}, \\
\operatorname{div} u^{*}=0
\end{array}
\]

с тем же самым граничным условием $\left.u^{*}\right|_{\partial D}=0$, что и выше (это свойство уравнений называется законом подобия Рейнольдса и легко проверяется). Таким образом, природа указанных двух решений уравнений Навье – Стокса одинакова. Тот факт, что возможно такое изменение масштабов, играет важную роль в практических задачах. Например, благодаря ему инженеры, испытав небольшую модель самолета при низких скоростях, могут решить, будет ли летать настоящий самолет при высоких скоростях.
(1.7) Пример. Рассмотрим поток, изображенный на рис. 1.8. Если жидкость невязкая, то в качестве граничного
Рис. 1.9.

условия берется равенство нулю нормальной компоненты скорости на поверхности сферы, и жидкость гладко обтекает сферу (рис. 1.9).

Теперь рассмотрим ту же ситуацию, но в случае вязкой жидкости. Предположим, что $N_{\text {Re }}$ постепенно возрастает, начиная с малых значений (в лаборатории это обычно достигается ростом $U_{\infty} \mathbf{i}$, но мы можем представлять себе, что $v \rightarrow 0$, как будто патока постепенно превращается в воду). Ввиду условия прилипания на поверхности сферы при
увеличении $U_{\infty}$ градиент скорости возрастает. Это является причиной все большего усложнения течения (рис. 1.10) ${ }^{1}$ ).

Для малых значений числа Рейнольдса поле скоростей позади шара будет стационарным или приблизительно ста-
Рис. 1.10 .

ционарным, но когда число Рейнольдса проходит критическое значение, поле становится периодическим. При больших значениях числа Рейнольдса периодическое решение теряет устойчивость и происходят другие бифуркации. Следующая бифуркация показана на рис. 1.10, и кажется, что она представляет собой бифуркацию от устойчивой периодической орбиты к периодической орбите на устойчивом 2 -торе в $\mathscr{X}$. Эти последующие бифуркации, видимо, могут привести к турбулентности (см. замечание 1.15 и гл. 9 ниже).
(1.8) Пример. Течение Куэтта ${ }^{2}$ ). Вязкая несжимаемая однородная жидкость заполняет пространство между двумя длинными коаксиальными враРис. 1.11. щающимися цилиндрами. Они могут, например, вращаться в противоположных направлениях с частотой $\omega$ (рис. 1.11). Для малых значений
1) Большие скоростные градиенты означают, что при численном изучении интересных течений конечно-разностная техника становится бесполезной. Недавно А. Чорин [1] предложил хорошую методику для преодоления этих трудностей и смог моделировать численно начальный этап «вихревой дорожки Кармана», показанной на рис. 1.10 (см. также Марс ден [5] и Марсден и Мак-Кракен [2]).
[1], Коуление Куэтта интенсивно изучалось в литературе (см. Серрин так и уравнений Навье – Стокса (см. следующее упражнение).

хождения частоты через некоторое значение $\omega_{0}$ жидкость разбивается на слои, называемые вихрями Тейлора (рис. 1.12). Вихри Тейлора также являются стационарными решениями уравнений Навье – Стокса. Для бо́льших значений $\omega$ могут иметь место бифуркации с рождением периодического, два-
Рис. 1.12 .

жды периодического и более сложных режимов (рис. 1.13). При еще больших значениях $\omega$ структура вихрей Тейлора усложняется и при некоторых условиях полностью разру-

Рис. 1.13. $a$-геликоидная структура; 6 -структура с двойной периодичностью.

шается, а поток становится турбулентным. Дальнейшую информацию можно найти у Коулза [7] и в гл. 7.
(1.9) Упражнение. Найти стационарное решение и уравнений Навье – Стокса в цилиндрических координатах, для которого $\mathbf{\mathbf { u }}$ зависит только от $r, u_{r}=u_{z}=0$, внешняя сила $f=0$, а угловая скорость $\omega$ удовлетворяет условиям $\left.\omega\right|_{r=A_{1}}=-\rho_{1},\left.\omega\right|_{t=A_{2}}=+\rho_{2}$ (т. е. найти течение Куэтта).

Показать, что и также есть решение уравнений Эйлера. (Ответ: $\omega=\frac{\alpha}{r^{2}}+\beta$, где $\alpha=\frac{-\left(\rho_{1}+\rho_{2}\right) A_{1}^{2} A_{2}^{2}}{A_{2}^{2}-A_{1}^{2}}$ и $\beta=\frac{\rho_{1}^{2} A_{1}^{2}+\rho_{2}^{2} A_{2}^{2}}{A_{2}^{2}-A_{1}^{2}}$.)
Другой важный случай в гидромеханике, где неустойчивость подобного рода имеет место, – это поток в трубе. Поток является установившимся и ламинарным (течение Пуазейля) до значения числа Рейнольдса примерно 4000, после которого он становится неустойчивым и происходит переход к хаотичному или турбулентному потоку. Однако если эксперимент сделан аккуратно ${ }^{1}$ ), то турбулентность возникает при значительно больших $N_{\mathrm{Re}}$. Это напоминает балансирование шарика на кончике стержня, диаметр которого уменьшается.