Теперь мы получим один результат, используя который можно выяснить, когда полупоток состоит из гладких отображений. Этот результат особенно эффективен при использовании вместе с вышеприведенной линейной теорией. Настоящая теорема принадлежит Дорро и Марсдену [1], к книге которых мы отсылаем за дополнительными результатами. Сначала читателю рекомендуется попытаться решить упражнение 2.9 , чтобы прочувствовать ситуацию.

Мы будем использовать следующие обозначения. Пусть $X$ и $Y$ – банаховы пространства, $Y$ плотно и непрерывно вложено в $X$, подмножество $D$ открыто в $Y$ и $F_{t}$ – непрерывный локальный полупоток на $D$. Предположим, что отображение $G: D \rightarrow X$ тақово, что $F_{t}$ – полупоток для $G$. Для точек $p, q \in D$ и отрезка $\{p+r(q-p) \mid 0 \leqslant r \leqslant 1\} \subset D$ определим
\[
Z(q, p)=\int_{0}^{1} D G(p+r(q-p)) d r
\]
– усреднение производной $G$ вдоль отрезка.
Предположения: (а) $G: D \rightarrow X$ класса $C^{1}$;
(б) для фиксированного $f \in D$ и $g \in D$, достаточно близкого к $f$, существует сильно непрерывная эволюционная система $\left\{U^{g}(t, s) \mid 0 \leqslant s \leqslant t<T_{g}\right\}$ в $X$, у которой $X$-инфинитеземальное производящее семейство операторов является расширением $\left\{Z\left(F_{s} g, F_{s} f\right) \mid 0 \leqslant s<T_{g}\right\}$ (здесь $T_{g}$ означает время существования для $F_{s} g$ и $F_{s} f$ ).
(в) $\left\|U^{g}(t, s)-U^{f}(t, s)\right\|_{B(Y, x)} \rightarrow 0$ при $\|\mathrm{g}-f\|_{Y} \rightarrow 0$ (см. (8A.27)).
(8А.29) Теорема. При предположениях (а), (б), (в) $F_{t}$ : $Y \rightarrow X$ дифференцируемо по Фреше в точке $f u D F_{t}(f)=$ $=U^{f}(t, 0)$.
(8A.30) Замечания. 1. Из доказательства также следует, что если $\left\|U^{g}(t, 0)\right\|_{B(X)}$ равномерно ограничены при изменении $g$, то $F_{t}$ липшицево, как отображение $X \rightarrow X$, для $g$, достаточно близких к $f$ в $Y$.
2. Соображения сдвига дают $D F_{t-s}\left(F_{s}(f)\right)=U^{t}(t, s)$.
Дальнейшие предположения:
(г) система $U^{g}(t, s) Y$-регулярна; заменим (в) на
(в’) $U^{g}(t, s)$ сильно сходится в $Y$ к $U^{f}(t, s)$, когда $g$ стремится к $f$ вдоль прямолинейного отрезка (см. теорему (8A.28)).
(8А.31) Теорема. При условиях (а), (б), (в’), (г) $\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{t i}} \boldsymbol{Y} \rightarrow$ $\rightarrow Y$ дифференцируемо по Гато в точке $f u$
\[
D F_{t}(f)=U^{f}(t, 0) .
\]
(8A.32) Замечания. 1. Из доказательства также следует, что если $\left\|U^{g}(t, 0)\right\|_{B(Y)}$ локально ограничены, то $F_{t}: Y \rightarrow Y$ локально липшиц-непрерывно.
2. Воспользовавшись теоремой (8A.26), мы видим, что фактически $D F_{t}(f)$ локально ограничено в $B(Y, Y)$ при $f$. Мы можем повторно воспользоваться (8А.31) и получить, что $F_{t}$ дважды дифференцируемо по Гато и т. д. Отсюда следует, что на самом деле $F_{t}$ класса $C^{\infty}$ (дифференцируемость по Гато и непрерывность производной по норме означает принадлежность функции к классу $C^{1}$ в силу соотношения
\[
f(x)-f(y)=\int_{0}^{1} D f(x+t(y-x))(y-x) d t
\]

дифференцируемость по Гато и локальная ограниченность производных означает липшиц-непрерывность).
3. Производная $D F_{t}(f)$ в (8A.29) продолжается до ограниченного оператора $X \rightarrow X$.

Доказательство (8А.29). Пусть $0<T^{\prime} T_{f}$. При достаточно малой $\|g-f\|_{Y}$ определим функцию $w$ на $\left[0, T^{\prime}\right]$ по формуле $w(s)=F_{s} g-F_{s} f$. Дифференцируя и используя равенство $Z(q, p)(q-p)=\dot{G}(q)-G(p)$, получаем
\[
w^{\prime}(s)=G\left(F_{s} g\right)-G\left(F_{s} f\right)=Z\left(F_{s} g, F_{s} f\right) w(s)
\]

при $0 \leqslant s \leqslant T^{\prime}$. Если $0 \leqslant \mathrm{~s} \leqslant t \leqslant T^{\prime}$, то в силу следствия (8A.18)
\[
\frac{\partial}{\partial s} U^{g}(t, s) w(s)=0
\]

поэтому $F_{t} g-F_{t} f=U^{g}(t, 0)(g-f)$ при $0 \leqslant t \leqslant T^{\prime}$. Тогда получаем оценки
\[
\begin{array}{c}
\left\|F_{t} g-F_{t} f-U^{f}(t, 0)(g-f)\right\|_{X} \cdot\|g-f\|_{Y}^{-1} \leqslant \\
\leqslant\left\|U^{g}(t, 0)-U^{f}(t, 0)\right\|_{B(Y, X)}, \\
\left\|F_{t} g-F_{t} f\right\|_{X} \leqslant\left\|U^{g}(t, 0)\right\|_{B(X)}\|g-f\|_{X} .
\end{array}
\]

Доказательство (8А.31). Как и при доказательстве (8А.29), имеем
\[
F_{t} g-F_{t} f=U^{g}(t, 0)(g-f),
\]

поэтому
\[
\left\|F_{t} g-F_{t} f\right\|_{X} \leqslant\left\|U^{g}(t, 0)\right\|_{B(X)} \cdot\|g-f\|_{X}
\]

и
\[
\left\|F_{t g}-F_{t} f\right\|_{Y} \leqslant\left\|U^{g}(t, 0)\right\|_{B(Y)} \cdot\|g-f\|_{Y} .
\]

Отсюда следуют утверждения о липшиц-непрерывности. Если мы положим $g=f+\lambda h$, то получим
\[
\lambda^{-1}\left[F_{t}(f+\lambda h)-F_{t}(f)\right]=U^{f+\lambda h}(t, 0) h,
\]

откуда сразу следует утверждение о дифференцируемости.
Используя эти рассуждения, можно также установить $Y$-дифференцируемость $F_{t}$ по $t$ и дифференцируемость по внешним параметрам. Рассмотрим два таких результата из работы Дорро и Марсдена [1].
(8А.33) Следствие. В условиях теорем (8А.29) или (8А.31) допустим, что эволюционная система $\left\{U^{f}(t, s)\right\}$ с семейством производящих операторов $\left\{D G\left(F_{s}\right)\right\}$ удовлетворяет условию Uf $(t, s) X \subset Y$ для $0 \leqslant \mathrm{~s}<t<T_{f}$. Тогда $G\left(F_{t} f\right) \in Y$ при $f \in$ $\in D$ и $0<t<T_{f}$. Eсли Uf $(\cdot, 0) g$ Y-непрерывна на $\left(0, T_{f}\right)$ для каждого $g \in X$, то $F(\cdot) f$ непрерывно $Y$-дифференцируема $\left.{ }^{1}\right)$ на интервале $\left(0, T_{f}\right)$.

Доказательство. При этих предположениях можно установить правило дифференцирования сложной функции, поэтому дифференцируя $F_{t+s} f=F_{t}\left(F_{s}(f)\right)$ по $s$ при $s=0$, получим
\[
G\left(F_{t} f\right)=D F_{t}(f) \cdot G(f)=U^{f}(t, 0) \cdot G(f) \in Y,
\]

что доказывает первую часть заключения. Вторая часть следует из равенства
\[
F_{t} f-F_{s} f=\int_{s}^{t} G\left(F_{\tau} f\right) d \tau=\int_{s}^{t} U^{f}(\tau, 0) \cdot G(f) d \tau .
\]

Условие $Y$-дифференцируемости $F_{t} f$ при $t>0$ является нелинейным аналогом условия, используемого в теории линейных аналитических полугрупп (см. Иосида [1]).

Для рассмотрения зависимости от параметра мы предположим, что $G(f, z)$ и $F_{t}^{z}$ зависят от параметра $z \in V \subset Z$, где $V$ – открытое множество в банаховом пространстве. Вначале будем предполагать, что $F_{t}^{z}(f)$ непрерывна по всем переменным и для каждого $z F_{t}^{z}$ обладает теми же свойствами, что и выше.

Чтобы доказать дифференцируемость $F_{t}^{z}(f)$ по $(z, f)$, мы можем использовать переход к надстройке. Именно, рассмотрим полупоток $H_{t}$ на $D \times V$, определенный соотношением
\[
H_{t}(f, z)=\left(F_{t}^{z}(f), z\right) .
\]

Производящим оператором является оператор $K: D \times V \rightarrow$ $\rightarrow X \times Z$ :
\[
K(f, z)=(G(f, z), 0) .
\]
1) Здесь $Y$-непрерывность, $Y$-дифференцируемость означают соответствующее свойство функции со значениями в пространстве $Y$. – Прим. перев.

Если (8A.29) или (8A.30) можно применить к $H_{t}$, то можно получить дифференцируемость ‘) $F_{t}^{z}(f)$ по $(f, z)$.

Одним из ключевых моментов в (8А.29) является предположение, касающееся линеаризованных уравнений. Здесь
\[
D K(f, z)(g, w)=\left(D_{1} G(f, z) \cdot g+D_{2} G(f, z) \cdot w, 0\right) ;
\]

поэтому в соответствии с (8A.29) или (8A.31) мы можем потребовать разрешимость системы
\[
\begin{array}{c}
\frac{d w}{d t}=0, \quad \text { т. e. } \quad w=\text { const, } \\
\frac{d g}{d t}=D_{1} G\left(F_{t}^{z}(f), z\right) \cdot g(t)+D_{2} G\left(F_{t}^{z}(f), z\right) \cdot w
\end{array}
\]
(аналогично для систем, включающих усредненный производящий оператор $Z$ ). Это линейная система по $g$ с неоднородным членом $D_{2} G\left(F_{t}^{z}(f), z\right) \cdot w$. Решение эволюционной системы для $D_{1} G\left(F_{t}^{z}(f), z\right)$ может быть записано обычным образом с помощью формулы Дюамеля. Для систем такого типа существуют теоремы, из которых следует, что при этом получается эволюционная система, и которые позволяют изучить ее свойства. Отметим, например, теорему 7.2 в работе Като [4]. В этом случае можно проверить для $H_{t}$ условия теорем (8А.29) или (8А.31). Мы смогли бы получить соответственно дифференцируемость отображения $F_{t}^{(\cdot)}(\cdot)$ из $D \times V$ в $X \times V$ и (при более сильных условиях 8A.31) из $D \times V$ и $Y \times V$. (Для голоморфных полугрупп гладкая зависимость от параметра может быть проанализирована непосредственно, как в книге Като [3].)
(8A.34) Замечания и приложения. В работе Аронсона и Теймза [1] изучается следующая система:
\[
\left.\begin{array}{c}
u_{x x}-q^{2} u=u_{t}, \quad v_{x x}-q^{2} v=v_{t} \quad \text { в } \quad(0,1) \times R^{+} \\
u_{x}(1, t)=v_{x}(0, t)=0 \\
u_{x}(0, t)=-p q(f \circ v)(0, t) \\
v_{x}(1, t)=p q\{1-(f \circ u)(1, t)\}
\end{array}\right\} t \geqslant 0 .
\]

Здесь $p$ и $q$-положительные параметры, а $f(u)=$ $=u^{2} /\left(1+u^{2}\right)$. Эта система описывает диффузию ферментов в биологических системах. В работе доказывается, что условия на собственные значения для применения теоремы Хопфа
1) Более непосредственный анализ, из которого получаются изящные результаты, дан Дорро и Марсденом [1].

выполнены. В работе Дорро и Марсдена [1] показано, используя методы, описанные выше, что полупоток этой системы гладкий. Отсюда следует, что все условия теоремы Xопфа выполняются, и, следовательно, доказано существование устойчивых периодических решений этой системы для значений параметров, больших крити’еских.

Эти уравнения обычно называются уравнениями Гласса Кауфмана, см. Гласс и Кауфман [1]. Работа по дискретным аналогам этих уравнений была недавно сделана Сю (Hsü).