Основной результат Рюэля, которой мы сформулируем без доказательства, это приведенная ниже теорема 7.2 ; она помогает найти инвариантные многообразия в случае 2 разд. 2 . Мы теперь будем считать, что $\left.f\right|_{U \times J}$ определено в окрестности точки $(0,0)$ пространства $F \times J$, где $F$ – конечномерное комплексное эрмитово пространство, а $J$ – интервал из $\mathbb{R}$, содержащий 0 .
(7.2) Лемма. Предположим, что $\left.f\right|_{U \times J}$ класса $C^{t} n р и$ фиксированном $\mu$ и $C^{k}$ по $\mu, 1 \leqslant k \leqslant l, k \geqslant 3$. Пусть также $D f_{0}(0)=\lambda_{\mu} I,\left|\lambda_{0}\right|=1$, но $\lambda_{0}^{3}
eq 1$ и $\lambda_{0}^{4}
eq 1$ (эти предположения являются типичными). Тогда с помощью зависящей от $\mu$ замены координат (класса $C^{k-3}$ по $\mu$ и $C^{\infty}$ при фиксированном $\mu$ ), коммутирующей с $\Lambda_{G}^{0}$, можно привести $f$ к виду
\[
f_{\mu}^{\prime}(z)=\lambda_{\mu} z+P_{\mu}(z)+Q_{\mu}(z),
\]

где $P_{\mu}$-однородный многочлен степени 2 по $z$ и степени 1 по $\bar{z}$, а $Q_{\mu}$ порядка o $\left(|z|^{3}\right)$. Фактически $\left|Q_{\mu}(z)\right| \leqslant c(|z|)|z|^{3}$ $\left.u\left|D Q_{\mu}(z) \| \leqslant c(|z|)\right| z\right|^{2}$, где $c(\cdot)$ не зависит от $\mu$ и $\lim _{u \rightarrow 0} c(u)=$ $=0$.

Если $z \in \mathbb{C}^{2}, z=\left(z_{1}, z_{2}\right)$, где каждое $z_{i} \in \mathbb{C}$, то «однородный многочлен степени 2 по $z$ и степени 1 по $\bar{z}$ » на $C^{2}$ имеет вид
\[
\begin{array}{c}
P(z)=\left(A z_{1}^{2} \bar{z}_{1}+B z_{1} z_{2} \bar{z}_{1}+C z_{2}^{2} \bar{z}_{1}+D z_{1}^{2} \bar{z}_{2}+E z_{1} z_{2} \bar{z}_{2}+F z_{2}^{2} \bar{z}_{2},\right. \\
\left.Q z_{1}^{2} \bar{z}_{1}+R z_{1} z_{2} \bar{z}_{1}+S z_{2}^{2} \bar{z}_{1}+T z_{1}^{2} \bar{z}_{2}+U z_{1} z_{2} \bar{z}_{2}+V z_{2}^{2} \bar{z}_{2}\right) .
\end{array}
\]

Для мотивировки такого представления можно отметить, что для таких $P(z)$ и $\lambda \in \mathbb{C}$ с $|\lambda|=1$ выполняется равенство $P(\lambda z)=\lambda P(z)$.
(7.2) Теорема. Пусть $\Phi_{\mu}: \mathbb{C}^{n} \mapsto \mathbb{C}^{n}$ – однопараметрическое семейство $C^{l}$-диффеоморфизмов, $1 \leqslant l<\infty$, зависящее от действительного параметра $\mu$, изменяющегося на интервале, содержащем 0. Предположим, что $\Phi_{\mu}(z)=\lambda_{\mu} z+$ $+P_{\mu}(z)+Q_{\mu}(z)$, где $\mu \mapsto \lambda_{\mu}$ – непрерывная комплексная функция, $P_{\mu}$-однородный многочлен степени 2 по $z$ и степени I по $\bar{z}$ с коэффициентами, непрерывными по $\mu$,
\[
\left|Q_{\mu}(z)\right| \leqslant c(|z|) \mid z \beta \quad \text { и }\left|D Q_{\mu}(z)\right| \leqslant c(|z|)|z|^{2},
\]

где $c(\cdot)$ не зависит от $\mu$ и $\lim _{u \rightarrow 0} c(u)=0$. Будем также предполагать, что $\left|\lambda_{0}\right|=1 u\left|\lambda_{\mu}\right| \stackrel{u \rightarrow 0}{>} 1$ nри $\mu>0$. Допустим, что векторное поле $z \mapsto z+\lambda_{0}^{-1} P_{0}(z)$ имеет компактное инвариантное нормально аиперболическое ${ }^{1}$ ) $к$ нему многообразие $S$. Допустим также, что $S$ инвариантно относительно преобразования $z \mapsto z e^{i \sigma}$ ( при всех действительных $\sigma$ ). Тогда для достаточно малых $\mu>0$ существуют отображения $\theta_{\mu} \in$ $\in C^{l}\left(S, \mathbb{C}^{n}\right)$ и многообразия $S_{\mu} \in \mathbb{C}^{n}$, для которых:
(1) $\theta_{\mu}$-диффеоморфизм $S$ на $S_{\mu}$.
(2) $S_{\mu}$ инвариантно относительно $\Phi_{\mu}$, и $\Phi_{\mu}$ нормально гиперболичен $\kappa S_{\mu}$.
(3) $S_{\mu} \rightarrow 0$ при $\mu \rightarrow 0$.
(4) Если $\Lambda$-группа унитарных преобразований $\mathbb{C}^{n}, \Lambda$ коммутирует с $\Phi_{\mu}$ для всех $\mu, a \Lambda S=S$, то $\Lambda S_{\mu}=S_{\mu}$. В действительности каждое $\theta_{\mu}$ коммутирует с $\Lambda$.
(5) Если $\mu \rightarrow \Phi_{\mu}$ – непрерывное отображение из $\mathbb{R}$ в пространство $C^{k}, k \leqslant l$, то $\mu \rightarrow \theta_{\mu}$ – непрерывное отображение из $\left\{\mu: 0<\mu<\mu_{0}\right\}$ в $C^{k}\left(\mathcal{S}, \mathbb{C}^{n}\right)$.

Теорема 7.2 дает информацию об инвариантных многообразиях при $\mu>0$. Если предположить $\left|\lambda_{\mu}\right|<1$ при $\mu<0$, то можно получить аналогичную информацию относительно $\mu<0$, применяя теорему 7.2 к $\Phi_{-\mu}^{-1}$. Легко проверить, что
\[
\Phi_{-\mu}^{-1}(z)=\lambda_{-\mu}^{-1} z-\lambda_{-\mu}^{-3} \bar{\lambda}_{-\mu}^{-1} P_{-\mu}(z)+Q_{-\mu}^{\prime}(z) .
\]

Поэтому следует искать инвариантные многообразия векторного поля $z \mapsto z-\lambda_{0}^{-1} P_{0}(z)$.