Пусть
\[
\dot{x}_{i}=F_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, \mu\right) \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

или, в векторных обозначениях,
\[
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{F}(\mathbf{x}, \omega)
\]
– система дифференциальных уравнений с действительным параметром $\mu$, где $\mathbf{F}$ аналитична по $\mathbf{x}$ и $\mu$ для $\mathbf{x}$ из области $G \subset \mathbb{R}^{n}$ и $|\mu|<c$. Пусть для $|\mu|<c$ система (1.1) имеет семейство стационарных решений $\mathbf{x}=\tilde{\mathbf{x}}(\mu)$, лежащее в $G$ :
\[
\mathbf{F}(\tilde{\mathbf{x}}(\mu), \mu)=0 .
\]

Как хорошо известно, характеристические показатели стационарного решения являются собственными значениями в задаче о собственных значениях
\[
\lambda \mathbf{a}=\mathbf{L}_{\mu} \mathbf{a},
\]

где $\mathbf{L}_{\mu}$ – линейный оператор, зависящий только от $\mu$, соответствующий линейной части разложения $\mathbf{F}$ в ряд в точке $\mathbf{x}=\mathbf{x}$. Эти показатели либо действительные числа, либо пары комплексно-сопряженных и зависят от $\mu$.

Предположим просто, что для значения $\mu=0$ существует стационарное решение $\mathbf{x}_{0}$ в $G$, которое не имеет равных нулю характеристических показателей. Тогда, как хорошо известно, отсюда автоматически следует, что существует единственное стационарное решение $\tilde{\mathbf{x}}(\mu)$ в некоторой окрестности $\mathbf{x}=\mathbf{x}_{0}$ для каждого достаточно малого $|\mu|$ и что $\tilde{\mathbf{x}}(\mu)$ аналитично в точке $\mu=0$.

Предположим теперь, что при переходе через значение $\mu=0$ мнимую ось пересекает пара комплексно-сопряженных характеристических показателей и ни один из характеристических показателей не равен нулю. Эта ситуация часто встречается в неконсервативных механических системах, например
1) Англйиский перевод работы Хопфа [1] выполнен Л. Н. Ховардом и н. Қоппель,

в гидродинамических. Следующая теорема утверждает, что при этих предположениях всегда существует периодическое решение уравнения (1.1) в окрестности значений $\mathbf{x}=\mathbf{x}_{0}$ и $\mu=0$.

Теорема. Пусть для $\mu=0$ ровно два комплексно-сопряженных характеристических показателя $\alpha(\mu), \bar{\alpha}(\mu)$ становятся чисто мнимыми и при этом удовлетворяются условия
\[
\alpha(0)=-\bar{\alpha}(0)
eq 0, \quad \operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}(0)\right)
eq 0 .
\]

Тогда существует семейство действительных периодических решений $\mathbf{x}=\mathbf{x}(t, \varepsilon), \mu=\mu(\varepsilon)$, такое, что $\mu(0)=0, \mathbf{x}(t, 0)=$ $=\tilde{\mathbf{x}}(0)$, причем $\mathbf{x}(t, \varepsilon)
eq \tilde{\mathbf{x}}(\mu(\varepsilon))$ для всех достаточно малых $\varepsilon
eq 0 . \mu(\varepsilon)$ и $\mathbf{x}(t, \varepsilon)$ аналитичны в точке $\varepsilon=0$ и соответственно в каждой точке $(t, 0)$. То же справедливо для периода $T(\varepsilon), u$
\[
T(0)=2 \pi /|\alpha(0)| .
\]

Для произвольно большого $L$ существует два положительных числа а и $b$, такие, что для $|\mu|<b$ не существует периодических решений, кроме стационарного решения и решений полусемейства $\varepsilon>0$, период которых меньше $L$ и которые целиком лежат в окрестности $\left.|\mathbf{x}-\tilde{\mathbf{x}}(\mu)|<a^{1}\right)$.

Для достаточно малых $\mu$ периодические решения, вообще говоря, существуют для $\mu>0$ или лишь для $\mu<0$; возможно также, что они существуют лишь для $\mu=0^{2}$ ).

Как хорошо известно, характеристические показатели периодического решения $\mathbf{x}(t, \varepsilon)$ являются решениями задачи о собственных значениях
\[
\dot{\mathbf{v}}+\lambda \mathbf{v}=\mathbf{L}_{t, \varepsilon}(\mathbf{v}),
\]

где $\mathbf{v}(t)$ имеет тот же период $T(\varepsilon)$, что и решение, а $\mathbf{L}_{t, \varepsilon}-$ линейный оператор, полученный линеаризацией системы в окрестности периодического решения. Он периодически зависит от $t$ с периодом $T$ и аналитичен по $t$ и $\varepsilon$ в точке $\varepsilon=0$.

Характеристические показатели определяются лишь по модулю $(2 \pi i / T)$ и непрерывно зависят от $\varepsilon$. Один из них, естественно, нуль: для $\mathrm{F}$, не зависящего явно от $t$,
\[
\lambda=0, \quad \mathbf{v}=\mathbf{x}(t, \boldsymbol{\varepsilon})
\]
1) Полусемейство, соответствующее $\varepsilon<0$, представляет те же самые интегральные кривые.
2) По поводу этой теоремы см. комментарий редакторов в конце книги.

является решением задачи о собственных значениях. При $\varepsilon \rightarrow 0$ характеристические показатели по модулю $\left(2 \pi i / T_{0}\right)$ непрерывно стремятся к соответствующим показателям стационарного решения системы (1.1) с $\mu=0$. При этом по предположению ровно два показателя стремятся к мнимой оси. Один из них тождественно равен нулю. Другой, $\beta=\beta(\varepsilon)$, должен быть действительным и аналитичным в точке $\varepsilon=0$, а $\beta(0)=0$. Из приведенной выше теоремы непосредственно следует, что коэффициенты $\mu_{1}$ и $\beta_{1}$ в разложениях в ряды
\[
\begin{array}{c}
\mu=\mu_{1} \varepsilon+\mu_{2} \varepsilon^{2}+\ldots \\
\beta=\beta_{1} \varepsilon+\beta_{2} \varepsilon^{2}+\ldots
\end{array}
\]

удовлетворяют равенствам $\mu_{1}=\beta_{1}=0$. В дополнение к этому ниже будет показано, что имеет место простое соотношение
\[
\beta_{2}=-2 \mu_{2} \operatorname{Re}\left(\alpha^{\prime}(0)\right) .
\]

В общем случае, когда $\mu_{2}
eq 0$, это соотношение дает информацию об условиях устойчивости. Если, например, для $\mu<0$ все характеристические показатели стационарного решения $\mathbf{x}=\tilde{\mathbf{x}}(\mu)$ имеют отрицательные действительные части (устойчивость, малая окрестность $\tilde{\mathbf{x}}$ сжимается к $\tilde{\mathbf{x}}$ при $t \rightarrow \infty$ ), то имеется следующая альтернатива. Либо периодическое решение ответвляется от стационарного после смены устойчивости стационарного решения $(\mu>0)$, и в этом случае все характеристические показатели периодического решения имеют отрицательные действительные части (устойчивость, трубки вокруг периодических решений сжимаются к ним при $t \rightarrow \infty)$; либо, наоборот, семейство периодических решений существует перед сменой устойчивости, т. е. для $\mu<0$, и тогда периодические решения неустойчивы ${ }^{1}$ ).

Так как в природе при достаточно длительном наблюдении мы можем наблюдать лишь устойчивые решения, то бифуркация периодического решения из стационарного может быть обнаружена, только когда стационарное решение становится неустойчивым.

Такие наблюдения хорошо известны в гидродинамике. Так, например, в потоке, обтекающем твердое тело, движение стационарное, если скорость потока достаточно мала. Однако если она, увеличиваясь, станет достаточно большой, то движение может стать периодическим (происходит периодический отрыв вихря): Здесь идет речь о примерах неконсерва-
1) В двумерном случае это очевидно.

тивных систем (рассматривается вязкая жидкость) ${ }^{1}$ ). В консервативных системах, конечно, предположение (1.2) никогда не осуществляется: наряду с характеристическим показателем $\lambda$, всегда имеется и характеристический показатель ( $-\lambda$ ).

В литературе я не встречал бифуркационных задач, рассмотренных на основании предположения (1.2). Однако я думаю, что едва ли имеется что-нибудь существенно новое в сформулированной выше теореме. Методы были развиты Пуанкаре, возможно, лет 50 назад ${ }^{2}$ ) и являются сегодня составной частью классической теории периодических решений в малом. Так как, однако, теорема представляет интерес для задач неконсервативной механики, мне кажется, что полное ее изложение имеет смысл. Чтобы облегчить переход к системе с бесконечно многими степенями свободы, например к фундаментальным уравнениям движения вязкой жидкости, я буду отдавать предпочтение общим методам линейной алгебры, а не специальной технике (например, выбору подходящей системы координат).

Конечно, с таким же успехом может случиться, что при $\mu=0$ действительный характеристический показатель $\alpha(\mu)$ стационарного решения $\hat{\mathbf{x}}(\mu)$ пересекает мнимую ось, т. е. $\alpha(0)=0, \alpha^{\prime}(0)
eq 0$, в то время как другие отделены от нее. В этом случае не периодическое, а другое стационарное решение ответвляется от данного ${ }^{3}$ ). Ограничимся формулировкой теоремы для этого простого случая. Существует аналити-
1) Мне неизвестен пример из гидродинамики, в котором осуществляется второй случай. О существовании неустойчивых решений можно догадаться, если при очень тщательно поставленном эксперименте (очень медленное изменение параметров) всегда наблюдается внезапное разрушение стационарного движения в одной и той же точке.
${ }^{2}$ ) «Новые методы небесной механики». Периодические решения, определенные выше, представляют простейший предельный случай периодических решений Пуанкаре второго типа («рода»), см. т. III, гл. 28, 30-31. Пуанкаре, имея в виду приложения к небесной механике, тщательно изучил эти решения (с помощью интегральных инвариантов) лишь в случае канонических систем дифференциальных уравнений, где ситуация сложнее, чем выше. Пуанкаре использовал вспомогательный параметр в в гл. 30 при вычислении коэффициентов (вычисления в нашем § 4 по существу те же самые), но не при доказательстве существования, которое благодаря этому становится проще.

Пенлеве в короткой заметке в т. I, стр. 156 затрагивает этот вопрос: «Les petits mouvements périodiques des systèmes, Comptes Rendus, Paris, XXIV (1897), p. 1222. Общая теорема, сформулированная там, охватывает случай $\mu=0$ в нашей системе (1.1), но для общего случая она неверна. Для законности этого утверждения $\mathbf{F}$ должна удовлетворять специальным условиям.
3) Подобный пример в гидродинамике осуществляется при движении жидкости между двумя концентрическими цилиндрами (G. I. Taylor).

ческое семейство $\underset{\sim}{x}=x^{*}(\varepsilon), \mu=\mu^{*}(\varepsilon)$ стационарных решений, отличных от $\tilde{\mathbf{x}}, \mu^{*}(0)=0, \mathbf{x}^{*}(0)=\tilde{\mathbf{x}}(0)$. Если $\mu_{1}
eq 0$ (общий случай), тогда решения существуют для $\mu>0$ для $\mu<0$. Для характеристического показателя $\beta(\varepsilon)$, который переходит через нуль, справедлив аналог формулы (1.4)
\[
\beta_{1}=-\mu_{1} \alpha^{\prime}(0) .
\]

Если $\tilde{\mathbf{x}}$ устойчиво для $\mu<0$ и неустойчиво для $\mu>0$, тогда для $\mathbf{x}^{*}$ осуществляется прямо противоположное (обнаружить $\tilde{\mathbf{x}}$ для $\mu<0$ все равно, что $\mathbf{x}^{*}$ для $\mu>0$ ). В особом случае $\mu_{1}=0$ ситуация может быть различной. Если $\mu_{2}
eq 0$, тогда новые решения существуют лишь для $\mu>0$ либо для $\mu<0$. Тогда для фиксированного $\mu$ существуют два решения (одно с положительным $\varepsilon$, другое-с отрицательным). При этом справедливо равенство
\[
\beta_{2}=-2 \mu_{2} \alpha^{\prime}(0) .
\]

Из него можно получить утверждение об устойчивости, аналогичное сформулированному выше. В этом случае или оба решения устойчивы, или оба неустойчивы.