Теперь мы готовы к доказательству теоремы. Оно будет дано для случая инвариантного многообразия отображения $\Psi$, не обязательно являющегося локальным диффеоморфизмом. Позже, пользуясь им, мы получим теорему об инвариантном многообразии для потоков. Замечания, связанные с обобщениями, приведены в конце доказательства.
1) А в случае конечномерной исходной задачи – свести исследование к задаче меньшего числа измерений. – Прим. перев.

(2.1) Теорема о центральном многообразии. Пусть $\Psi$ отображение, определенное в окрестности нуля в банаховом пространстве $Z$. Будем предполагать, что $\Psi$ принадлежит классу $C^{k+1}, k \geqslant 1$ и $\Psi(0)=0$. Предположим также, что $D \Psi(0)$ имеет спектральный радиус 1 и что спектр $D \Psi(0)$ расщепляется на две части: часть, лежащую на единичной окружности, и остаток, который находится на ненулевом расстоянии от единичной окружности ${ }^{1}$ ). Обозначйм через $Y$ обобщенное собственное подпространство оператора $D \Psi(0)$, порожденное частью спектра, лежащей на единичной окружности; будем предполагать, что $Y$ имеет размерность $d<\infty$.

Тогда существует окрестность нуля $V \subset Z$ и $C^{k}$-подмногообразие $M \subset V$ размерности $d$, проходящее через 0 и касающееся $Y$ в точке 0, для которого выполнены следующие условия:
(a) (локальная инвариантность): если $x \in M u \Psi(x) \in V$, To $\Psi(x) \in M$;
(б) (локальная устойчивость): если $\Psi^{n}(x) \in V$ для всех $n=0,1,2 \ldots$ то при $n \rightarrow \infty$ расстояние между $\Psi^{n}(x)$ и стремится к нулю.

Мы сейчас немного обобщим формулировку теоремы, которую мы хотим доказать. У нас имеется отображение окрестности нуля банахова пространства $Z$, для которого $\Psi(0)=$ $=0$. Мы предполагаем, что спектр $D \Psi(0)$ расщепляется на часть, лежащую на единичной окружности, и остаток, который содержится внутри окружности радиуса строго меньше единицы с центром в нуле. Из результатов спектральной теории, приведенных в гл. 2A, следует существование спектрального проектора $P$, соответствующего части спектра, лежащей на единичной окружности, и имеющего следующие свойства:
1) $P$ коммутирует с $D \Psi(0)$, поэтому подпространства $P Z$ и $(I-P) Z$ отображаются оператором $D \Psi(0)$ в себя;
2) спектр ограничения $D \Psi(0)$ на $P Z$ лежит на единичной окружности;
3) спектральный радиус ограничения $D \Psi(0)$ на $(I-P) Z$ строго меньше единицы.

Пусть $X, Y$ обозначают $(I-P) Z$ и $P Z$ соответственно, $A$ и $B$ – ограничения $D \Psi(0)$ на $X, Y$ соответственно. Тогда $Z=X \oplus Y$ и $\Psi(x, y)=\left(A x+X^{*}(x, y), B y+Y^{*}(x, y)\right)$, где $A$ – ограниченный линейный оператор на $X$ со спектральным радиусом, строго меньшим единицы;
1) Это требование автоматически выполняется, если $Z$ конечномерно или, в более общем случае, если оператор $D \Psi(0)$ компактен.

$B$ – ограниченный линейный оператор со спектром на единичной окружности (в действительности нам необходимо только, чтобы спектральный радиус $B^{-1}$ был не больше единицы);
$X^{*}$ – отображение класса $C^{k+1}$, переводящее окрестность нуля пространства $X \oplus Y$ в пространство $X$, имеющее второй порядок малости в нуле, т. е. $X(0,0)=0$ и $D X(0,0)=0$;
$Y^{*}$ – отображение класса $C^{k+1}$ из окрестности нуля в пространстве $X \oplus Y$ в пространство $Y$ второго порядка малости в нуле.

Мы хотим найти инвариантное многообразие для $\Psi$, которое касается $Y$ в нуле. Такое многообразие будет графиком отображения $u$, которое переводит окрестность нуля пространства $Y$ в пространство $X$, причем $u(0)=0, D u(0)=0$.

В том варианте этой теоремы, который мы сформулировали в п. 2.1, предполагается, что $Y$ конечномерно. Мы можем ослабить это требование, но не исключить совсем; а именно, мы можем сделать
(2.2) Предположение: существует действительная функция $\varphi$ на $Y$ класса $C^{k+1}$, которая равна 1 в окрестности нуля и нулю при $\|y\|>1$. Как ни странно, это предположение на самом деле довольно ограничительно. Оно выполняется тривиально, если $Y$ конечномерно или $Y$ является гильбертовым пространством. Более подробное исследование см. у Боника и Фрэмтона [1].
(2.3) Теорема. Пусть обозначения и предположения будут такие же, как и ранее. Тогда существует в $>0$ и C $^{k+1}$-отображение $u^{*}$, определенное на множестве $\{y \in Y:\|y\|<\varepsilon\}$ со значениями в $X$, второго порядка малости в нуле, такое, что
(a) многообразие $\Gamma_{u^{*}}=\left\{(x, y) \mid x=u^{*}(y) \quad u \quad\|y\|<\varepsilon\right\} \subset$ $\subset X \oplus Y$ (т. е. график $\left.u^{*}\right)$ инвариантно относительно $\Psi$ в том смысле, что если $\|y\|<\varepsilon u \Psi\left(u^{*}(y), y\right)=\left(x_{1}, y_{1}\right)$, где $\left\|y_{1}\right\|<\varepsilon$, то $x_{1}=u^{*}\left(y_{1}\right)$;
(б) многообразие $\Gamma_{u^{*}}$ является локально устойчивым относительно $\Psi$, т. е. если при $\|x\|<\varepsilon$, $\|y\|<\varepsilon$ последовательность $\left(x_{n}, y_{n}\right)=\Psi^{n}(x, y)$ такова, что $\left\|x_{n}\right\|<\varepsilon,\left\|y_{n}\right\|<\varepsilon$ для всех $n>0$, то
\[
\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_{n}-u^{*}\left(y_{n}\right)\right\|=0 .
\]

Переходя к доказательству, мы для удобства предположим, что $\|A\|<1$, а $\left\|B^{-1}\right\|$ немного больше 1 . Это требование не всегда выполняется, но мы всегда можем свести к этому случаю, заменяя нормы $X$ и $Y$ эквивалентными нормами (см. лемму 2A.4). Будем считать, что такой выбор норм уже сделан. К сожалению, не очень удобно формулировать точное условие близости $\left\|B^{-1}\right\|$ к единице. Поэтому мы будем вести доказательство таким образом, как если бы $\left\|B^{-1}\right\|$ была бы регулируемым параметром; в процессе доказательства мы наложим конечное число условий на $\left\|B^{-1}\right\|$. В принципе, конечно, можно собрать все эти условия и потребовать их с самого начала.

Теорема гарантирует существование функции $\dot{u}^{*}$, которая может быть определена в очень малой окрестности нуля. Чтобы не работать с очень малыми значениями $x, y$, мы изменим масштабы в системе, вводя новые переменные $x / \varepsilon$, $y / \varepsilon$ (обозначая их по-прежнему $x, y$ ). Такой выбор масштаба не меняет $A$ и $B$, но взяв $\varepsilon$ достаточно малым, мы можем сделать $X^{*}$ и $Y^{*}$ вместе с их производными до порядка $k+1$ сколь угодно малыми в единичном шаре. Если теперь перед доказательством теоремы мы умножим $X^{*}, Y^{*}$ на функцию $\varphi(y)$, существование которой мы предположили в. (2.2), то мы сможем считать, что $X^{*}(x, y), Y^{*}(x, y)$ равны нулю для $\|y\|>1$. Таким образом, если мы определим

то мы можем сделать $\lambda$ сколь угодно малым, выбирая достаточно малое $\varepsilon$.

Техническое условие на $Y$ используется только для того, чтобы супремум в определении $\lambda$ можно было брать по всем $y$, а не только по ограниченному множеству.

После того как выбор масштабов и вырезание с помощью функции $\varphi$ сделано, мы можем доказать глобальную теорему о центральном многообразии. А именно, мы будем доказы, вать следующее.
(2.4) Лемма. Сохраним обозначения и предположения теоремы о центральном многообразии. Если $\lambda$ достаточно мало (и если $\left\|B^{-1}\right\|$ достаточно близка к 1), то существует функция $u^{*}$, определенная и $k$ раз непрерывно дифференцируемая на всем $Y$, второго порядка малости в нуле и такая, что
(a) многообразие $\Gamma_{u^{*}}=\left\{(x, y) \mid x=u^{*}(y), y \in Y\right\}$ инвариантно относительно $\Psi$ в строгом смысле $\left.{ }^{1}\right)$;
(б) если $\|x\|<1$ и у произвольно, то $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_{n}-u^{*}\left(y_{n}\right)\right\|=$ $=0\left(\right.$ где $\left.\left(x_{n}, y_{n}\right)=\Psi^{n}(x, y)\right)$.
1) Так как отображение определено теперь во всем пространстве, то многообразие $\Gamma_{u}$ * инвариантно в обычном (в терминологии автора в «строгом») смысле для всех $y$. – Прим. перев.

Как и $\left\|B^{-1}\right\|$, мы можем рассматривать $\lambda$ как контролируемый нами параметр и налагать необходимые ограничения на его величину по мере необходимости. Стоит отметить, что $\lambda$ зависит от выбора нормы, следовательно, нужно сначала выбрать норму так, чтобы $\left\|B^{-1}\right\|$ было близко к 1 , а затем выбрать масштабы и сделать вырезание, чтобы сделать малым $\lambda$. Для удобства читателя, который захочет проверить, что все требуемые условия на $\left\|B^{-1}\right\|$ могут быть удовлетворены одновременно, мы будем отмечать эти условия звездочкой, например (2.3)*.

Идея доказательства очень проста. Выберем сначала многообразие $M$ вида $\{x=u(y)\}$ (график функции $u$ ). Пусть $\Psi M$ означает образ $M$ при отображении $\Psi$. При некоторых довольно слабых ограничениях на $u$ мы покажем, что многообразие $\Psi M$ снова имеет вид $\{x=\hat{u}(y)\}$ с новой функцией $\hat{u}$. Если обозначить эту функцию как $\mathscr{F} u$, то получится (нелинейное) отображение $u \mapsto \mathscr{F} u$ функции в функцию. Многообразие инвариантно тогда и только тогда, когда $u=\mathscr{F} u$, поэтому нужно искать неподвижную точку $\mathscr{F}$. Мы найдем ее, доказав, что $\mathscr{F}$ есть сжатие на подходящем функциональном пространстве (предполагая, что $\lambda$ достаточно мало).

Более точно, мы разобьем доказательство на следующие шаги:
(1) выведем эвристически «формулу» для $\mathscr{F}$;
(2) покажем, что формула, полученная на шаге (1), корректно определяет отображение подходящего функционального пространства $U$ в себя;
(3) докажем ${ }^{1}$ ), что $\mathscr{F}$ является сжимающим на $U$ и, следовательно, имеет единственную неподвижную точку $u^{*}$;
(4) докажем, что пункт (б) леммы (2.4) выполняется для $u^{*}$.
Мы начнем с шага (1).
(1) Чтобы построить $u(y)$, мы должны поступить следующим образом:
(a) решить уравнение
\[
y=B \tilde{y}+Y^{*}(u(\tilde{y}), \tilde{y})
\]

относительно $\tilde{y}$. Это означает, что $y$ есть $Y$-компонента $\Psi(\iota(\tilde{y}), \tilde{y})$.
(б) Пусть $u(y)$ будет $X$-компонентой $\Psi(u(\tilde{y}), \tilde{y})$. Тогда
\[
u(y)=A u(\tilde{y})+X^{*}(u(\tilde{y}), \tilde{y}) .
\]
1) На этом шаге можно использовать теорему о неявной функции, см. Ирвнн [1].

(2) Пространство функций $U$, которое мы хотим рассмотреть, будет выбрано отчасти произвольно: $U=\{u: Y \rightarrow$ $\rightarrow X \mid D^{k+1} u$ непрерывна; $\left\|D^{j} u(y)\right\|<1$ для $j=0,1, \ldots, k+1$ и всех $y ; u(0)=D u(0)=0\}$.
Теперь мы должны доказать два утверждения:
(a) Для любого $u \in U$ уравнение (2.1) имеет единственное решение $\tilde{y}$ для каждого $y \in Y$.
(б) $\mathscr{F} u$, определенное из (2.2), лежит в $U$.
Для доказательства п. (a) мы перепишем (2.1) в виде задачи о неподвижной точке:
\[
\tilde{y}=B^{-1} y-B^{-1} Y^{*}(u(\tilde{y}), \tilde{y}) .
\]

Поэтому достаточно доказать, что отображение
\[
\tilde{y} \mapsto B^{-1} y-B^{-1} Y^{*}(u(\tilde{y}), \tilde{y})
\]

является сжимающим на $Y$. Мы это сделаем, оценивая производную:
\[
\begin{aligned}
D_{\tilde{y}}\left[B^{-1} y-B^{-1} Y^{*}(u(\tilde{y}), \tilde{y})\right]\|\leqslant\| B^{-1} \| & \cdot \| D_{1} Y^{*}(u(\tilde{y}), \tilde{y}) D u(\tilde{y})+ \\
& +D_{2} Y^{*}(u(\tilde{y}), \tilde{y})\|\leqslant 2 \lambda\| B^{-1} \|
\end{aligned}
\]
(по определению $\lambda$ и $U$ ). Если мы потребуем
\[
2 \lambda\left\|B^{-1}\right\|<1,
\]

то уравнение (2.1) будет иметь единственное решение $\tilde{y}$ для каждого $y$. Заметим, что $\tilde{y}$ есть функция $y$, зависящая также и от $u$. По теореме об обратной функции, $\tilde{y}$ есть $C^{k+1}-$ функция $y$.

Теперь докажем (б). Как мы уже показали, $\mathscr{F} u \in C^{k+1}$. Таким образом, чтобы $\mathscr{F} u \in U$, мы должны проверить условия
\[
\left\|D^{\prime} \mathscr{F} u(y)\right\| \leqslant 1 \quad \text { для всех } y, \quad j=0,1,2, \ldots, k+1
\]

и
\[
\mathscr{F} u(0)=0, \quad D \mathscr{F} u(0)=0 .
\]

Сначала рассмотрим случай $j=0$ :
\[
\|\mathscr{F} u(y)\| \leqslant\|A\| \cdot\|u(\tilde{y})\|+\left\|X^{*}(u(\tilde{y}), \tilde{y})\right\| \leqslant\|A\|+\lambda,
\]

поэтому если мы потребуем
\[
\|A\|+\lambda \leqslant 1,
\]

то $\|\mathscr{F} u(y)\| \leqslant 1$ для всех $y$.
Чтобы оценить $D \mathscr{F} u$, мы должны сначала оценить $D \tilde{y}(y)$. Дифференцируя (2.1), получим
\[
I=\left(B+D Y^{u}(\tilde{y})\right) D \tilde{y},
\]

где $Y^{u}: Y \rightarrow Y$ определяется из уравнения
\[
Y^{u}(y)=Y^{*}(u(y), y) .
\]

Вычисления, которые мы проделали, дают оценку $\left\|D Y^{\mu}(\tilde{y})\right\| \leqslant 2 \lambda$ для всех $\tilde{y}$.

Далее, $B+D Y^{4}=B\left[I+B^{-1} D Y^{u}\right]$, и так как $2 \lambda\left\|B^{-1}\right\|<1$ (из $\left.(2.3)^{*}\right)$, то оператор $B+D Y^{u}$ обратим и
\[
\left\|\left(B+D Y^{u}\right)^{-1}\right\| \leqslant\left\|B^{-1}\right\|\left(1-2 \lambda\left\|B^{-1}\right\|\right)^{-1} .
\]

Величина, стоящая справа в этом неравенстве, будет играть важную роль в наших оценках, поэтому мы введем для нее обозначение
\[
\gamma \equiv\left\|B^{-1}\right\|\left(1-\lambda\left\|B^{-1}\right\|\right)^{-1} .
\]

Заметим, что выбирая сначала $\left\|B^{-1}\right\|$ близкой к единице, а затем делая $\lambda$ достаточно малой, мы можем сделать $\gamma$ сколь угодно близкой к единице.
Мы уже показали, что
\[
\|D y(\tilde{y})\| \leqslant \gamma
\]

для всех $y$. Дифференцирование выражения (2.2) для $\mathscr{F} u(y)$ дает
\[
\left.\begin{array}{rl}
D \mathscr{F} u(y) & =\left[A D u(\tilde{y})+D X^{u}(\tilde{y})\right] D \tilde{y}(y) \\
\left(X^{u}(\tilde{y})\right. & \left.=X^{*}(u(\tilde{y}), \tilde{y})\right)
\end{array}\right\} .
\]

Таким образом,
\[
\|D \mathscr{F} u(y)\| \leqslant(\|A\|+2 \lambda) \cdot \gamma .
\]

Поэтому, если мы потребуем
\[
(\|A\|+2 \lambda) \cdot \gamma \leqslant 1,
\]

то получим $\|D \mathscr{F} u(y)\| \leqslant 1$ для всех $y$.
Сделаем еще один шаг в наших оценках. Дифференцируя (2.7), получаем
\[
0=\left(B+D Y^{u}(\tilde{y})\right) D^{2} \tilde{y}+D^{2} Y^{u}(D \tilde{y})^{2} .
\]

Непосредственное вычисление дает $\left\|D^{2} Y^{u}(\tilde{y})\right\| \leqslant 5 \lambda$ для всех $\tilde{y}$, поэтому
\[
\left\|D^{2} y(\tilde{y})\right\|=\left\|\left(B+D Y^{u}(\tilde{y})\right)^{-1} D^{2} Y^{u}(D \tilde{y})^{2}\right\| \leqslant \gamma \cdot 5 \lambda \cdot \gamma^{2}=5 \lambda \gamma^{3} .
\]

Теперь, продифференцировав формулу (2.10) для $D \mathscr{F} u$, получаем
\[
D^{2} \mathscr{F} u(y)=\left[A D^{2} u(\tilde{y})+D^{2} X^{u}(\tilde{y})\right](D \tilde{y})^{2}+\left[A D u(\tilde{y})+D X^{u}(\tilde{y})\right] D^{2} \tilde{y} .
\]

Гоэтому $\left\|D^{2} \mathscr{F} u(y)\right\| \leqslant(\|A\|+5 \lambda) \gamma^{2}+(\|A\|+2 \lambda) \cdot 5 \lambda \gamma^{3}$. Если мы потребуем, чтобы
\[
(\|A\|+5 \lambda) \gamma^{2}+(\|A\|+2 \lambda) \cdot 5 \lambda \gamma^{3} \leqslant 1,
\]

то получим $\left\|D^{2} \mathscr{F} u(y)\right\| \leqslant 1$ для всех $y$. В этом месте было бы желательно наложить последовательность все более жестких условий на $\gamma$ и $\lambda$, с помощью которой мы можем обеспечить $\left\|D^{j} \mathscr{F}(y)\right\| \leqslant 1$ для всех $y, j=3,4, \ldots, k+1$. Проверку того, что это действительно возможно, мы оставляем читателю.

Для проверки (2.5), т. е. условий $\mathscr{F} u=0, D \mathscr{F} u=0$ (предполагая $u=0, D u=0$ ), мы заметим, что
\[
\begin{array}{l}
\tilde{y}(0)=0, \text { так как } 0 \text { есть решение уравнения } 0=B \tilde{y}+ \\
+Y(u(\tilde{y}), \tilde{y}), \\
\mathscr{F} u(0)=A u(0)+X(u(0), 0)=0 \text { и } \\
D \mathscr{F} u(0)=\left[A D u(0)+D_{1} X(0,0) D u(0)+D_{2} X(0,0)\right] \cdot D \tilde{y}(0)= \\
\quad=[A \cdot 0+0+0] \cdot D \tilde{y}(0)=0 .
\end{array}
\]

На этом шаг (2) заканчивается, и мы переходим к шагу (3).
(3) В принципе мы доказываем, что $\mathscr{F}$ – сжимающий оператор, и применяем принцип сжимающих отображений. В действительности дело обстоит немного сложнее.
(a) Мы покажем, что $\mathscr{F}$ – сжимающий в супремум-норме. Поскольку $U$ не является полным в этой норме, то принцип сжимающих отображений не позволяет сделать вывод о существовании неподвижной точки в $U$, но означает ее существование в пополнении $U$ относительно этой нормы.
(б) Мы покажем, что пополнение $U$ относительно супремум-нормы содержится во множестве функций $u$, отображающих $Y$ в $X$ с удовлетворяющими условию Липшица $k$-ми производными и имеющих второй порядок малости в нуле. Таким образом, функция $u^{*}$, являющаяся неподвижной точкой отображения $\mathscr{F}$, дифференцируема столько раз, сколько утверждается в теореме.
Реализацию этой схемы мы начнем с п. (а).
(a) Рассмотрим $u_{1}, u_{2} \in U$, и пусть $\left\|u_{1}-u_{2}\right\|_{0}=\sup _{y} u_{1}(y)-$ – $u_{2}(y) \|$. Пусть $\tilde{y}_{1}(y), \tilde{y}_{2}(y)$ обозначают решения уравнений
\[
y=B \tilde{y}_{i}+Y\left(u_{i}\left(\tilde{y}_{i}\right), \tilde{y}_{i}\right), \quad i=1,2 .
\]

Оценим последовательно $\left\|\tilde{y}_{1}-\tilde{y}_{2}\right\|_{0}$ и $\left\|\mathscr{F} u_{1}-\mathscr{F} u_{2}\right\|_{0}$.

Вычитая почленно уравнения для $\tilde{y}_{1}, \tilde{y}_{2}$, получим
\[
B\left(\tilde{y}_{1}-\tilde{y}_{2}\right)=Y\left(u_{2}\left(\tilde{y}_{2}\right), \tilde{y}_{2}\right)-Y\left(u_{1}\left(\tilde{y}_{1}\right), \tilde{y}_{1}\right),
\]

поэтому
\[
\left\|\tilde{y}_{1}-\tilde{y}_{2}\right\| \leqslant\left\|B^{-1}\right\| \cdot \lambda \cdot\left[\left\|u_{2}\left(\tilde{y}_{2}\right)-u_{1}\left(\tilde{y}_{1}\right)\right\|+\left\|\bar{y}_{2}-\tilde{y}_{1}\right\|\right] .
\]

Так как $\left\|D u_{1}\right\|_{0} \leqslant 1$, мы можем записать
\[
\begin{array}{c}
\left\|u_{2}\left(\tilde{y}_{2}\right)-u_{1}\left(\tilde{y}_{1}\right)\right\| \leqslant\left\|u_{2}\left(\tilde{y}_{2}\right)-u_{1}\left(\tilde{y}_{2}\right)\right\|+\left\|u_{1}\left(\tilde{y}_{2}\right)-u_{1}\left(\tilde{y}_{1}\right)\right\| \leqslant \\
\leqslant\left\|u_{2}-u_{1}\right\|_{0}+\left\|\tilde{y}_{2}-\tilde{y}_{1}\right\| .
\end{array}
\]

Подставляя (2.15) в (2.14) и группируя, получим т. е.
\[
\left.\begin{array}{c}
\left(1-2 \lambda \cdot\left\|B^{-1}\right\|\right)\left\|\tilde{y}_{1}-\tilde{y}_{2}\right\| \leqslant \lambda \cdot\left\|B^{-1}\right\| \cdot\left\|u_{2}-u_{1}\right\|_{0}, \\
\left\|\tilde{y}_{1}-\tilde{y}_{2}\right\|_{0} \leqslant \lambda \cdot \gamma \cdot\left\|u_{2}-u_{1}\right\| .
\end{array}\right\}
\]

Подставляя оценки (2.15), (2.16) в выражение
\[
\begin{aligned}
\mathscr{F} u_{1}(y)-\mathscr{F} u_{2}(y)=A\left[u_{1}\left(\tilde{y}_{1}\right)-\right. & \left.u_{2}\left(\tilde{y}_{2}\right)\right]+ \\
& +\left[X\left(u_{1}\left(\tilde{y}_{1}\right), \tilde{y}_{1}\right)-X\left(u_{2}\left(\tilde{y}_{2}\right), \tilde{y}_{2}\right)\right],
\end{aligned}
\]

мы получаем
\[
\begin{array}{l}
\left\|\mathscr{F} u_{1}-\mathscr{F} u_{2}\right\|_{0} \leqslant\|A\|\left[\left\|u_{2}-u_{1}\right\|_{0}+\left\|\tilde{y}_{2}-\tilde{y}_{1}\right\|_{0}\right]+ \\
+\lambda\left[\left\|u_{2}-u_{1}\right\|_{0}+2 \cdot\left\|\tilde{y}_{2}-\tilde{y}_{1}\right\|_{0}\right] \leqslant \\
\leqslant\left\|u_{2}-u_{1}\right\|_{0}\{\|A\|(1+\gamma \lambda)+\lambda(1+2 \gamma \lambda)\} .
\end{array}
\]

Если теперь потребовать, чтобы выполнялось
\[
\alpha=\|A\|(1+\gamma \lambda)+\lambda(1+2 \gamma \lambda)<1,
\]

то $\mathscr{F}$ будет сжимающим в супремум-норме.
(б) Все утверждения, которые мы хотим здесь получить, прямо вытекают из следующего общего результата.
(2.5) Лемма. Пусть $\left\{u_{n}\right\}$ – последовательность функций на банаховом пространстве $Y$ со значениями в банаховом пространстве $X$. Предположим, что для всех п и $y \in Y$
\[
\left\|D^{l} u_{n}(y)\right\| \leqslant 1, \quad j=0,1,2, \ldots, k,
\]

и каждая $D^{k} u_{n}$ удовлетворяет условию Липшица с константой единица. Предположим также, что для каждого у последовательность $\left\{u_{n}(y)\right\}$ сходится слабо (т. е. в слабой топологии на $X$ ) к единичному вектору, и ( $у$ ). Тогда
(1) $k$-е производные и удовлетворяют условию Липшица с константой Липщица, равной единице;

(2) D $^{\prime} u_{n}(y)$ слабо сходится $\left.\kappa D^{i} u(y)^{1}\right)$ для всех у и $j=1, \ldots, k$.

Если $X, Y$ конечномерны, то в формулировке утверждения опускается все относящееся к методам, специфичным для банахова пространства, и лемма становится прямым следствием теоремы Арцела-Асколи. Доказательство леммы мы проведем чуть позже, а теперь перейдем к шагу (4).
(4) Мы докажем следующее: пусть $x \in X$ с $\|x\| \leqslant 1$, a $y \in Y$ произвольно. Обозначим $\left(x_{1}, y_{1}\right)=\Psi(x, y)$. Тогда $\left\|x_{1}\right\| \leqslant 1$ и
\[
\left\|x_{1}-u^{*}\left(y_{1}\right)\right\| \leqslant \alpha\left\|x-u^{*}(y)\right\|_{0}
\]

где $\alpha$ определена в (2.17). По индукции
\[
\left\|x_{n}-u^{*}\left(y_{n}\right)\right\| \leqslant \alpha^{n}\left\|x-u^{*}(y)\right\| \rightarrow 0 \quad \text { при } \quad n \rightarrow \infty,
\]

что и требуется доказать.
Чтобы доказать неравенство $\left\|x_{1}\right\| \leqslant 1$, мы сначала запишем $x_{1}=A x+X(x, y)$, так что
\[
\left\|x_{1}\right\| \leqslant\|A\| \cdot\|x\|+\lambda \leqslant\|A\|+\lambda \leqslant 1 \quad \text { по (2.6). }
\]

Чтобы доказать (2.18) мы, в сущности, должны повторить оценки, сделанные при доказательстве того, что $\mathscr{F}$ является сжимающим. Пусть $\tilde{y}_{1}$ – решение уравнения
\[
y_{1}=B \tilde{y}_{1}+Y\left(u^{*}\left(\tilde{y}_{1}\right), \tilde{y}_{1}\right) .
\]

Из определения $y_{1}$ мы имеем $y_{1}=B y+Y(x, y)$. Вычитая эти уравнения и поступая далее точно так же, как при выводе (2.16), мы получим
\[
\left\|\tilde{y}_{1}-y\right\| \leqslant \lambda \gamma\left\|u^{*}(y)-x\right\| .
\]

Далее, мы имеем
\[
\begin{array}{c}
u^{*}\left(y_{1}\right)=\mathscr{F} u^{*}\left(y_{1}\right)=A u^{*}\left(y_{1}\right)+X\left(u^{*}\left(\tilde{y}_{1}\right), \tilde{y}_{1}\right) \\
x_{1}=A x+X(x, y) .
\end{array}
\]

Вычитая их и проводя оценки, аналогичные сделанным выше, мы получим
\[
\left\|x_{1}-u^{*}\left(y_{1}\right)\right\| \leqslant \alpha\left\|x-u^{*}(y)\right\| .
\]

На этом шаг (4) заканчивается. Чтобы полностью завершить доказательство, докажем лемму (2.5). Мы проведем рассуж-
1) Это утверждение может потребовать некоторого разъяснения. Для каждых $n$ и $y D^{\prime} u_{n}(y)$ является ограниченным симметрическим $j$-линейным отображением пространства $Y^{i}$ в $X$. Утверждение состоит в том, что для каждых $y, y_{1}, \ldots, y_{j}$ последовательность $\left(D^{\prime} u_{n}(y)\left(y_{1}, \ldots, y_{j}\right)\right)$ элементов пространства $X^{\prime}$ сходится в слабой топологии на $X$ к $D^{\prime} u(y)\left(y_{1}, \ldots\right.$ $\left.\cdots, y_{i}\right)$.

дения только для $k=1$; обобщения на произвольное $k$ получаются по индукции.

Выберем $y_{1}, y_{2} \in Y$ и $\varphi \in X^{*}$ и рассмотрим последовательность действительнозначных функций действительной переменной
\[
t \rightarrow \varphi\left(u_{n}\left(y_{1}+t y_{2}\right)\right) \equiv \psi_{n}(t) .
\]

Из предположений о последовательности $\left\{u_{n}\right\}$, которые были сделаны, следует, что
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} \psi_{n}(t)=\varphi\left(u\left(y_{1}+t y_{2}\right)\right) \equiv \psi(t)
\]

для всех $t$, что $\psi_{n}(t)$ дифференцируемы и $\left|\psi_{n}^{\prime}(t)\right| \leqslant\|\varphi\| \cdot\left\|y_{1}\right\|$ при всех $n, t$ и
\[
\left|\psi_{n}^{\prime}\left(t_{1}\right)-\psi_{n}^{\prime}\left(t_{2}\right)\right| \leqslant\|\varphi\| \cdot\left\|y_{2}\right\|^{2}\left|t_{1}-t_{2}\right|
\]

для всех $n, t_{1}, t_{2}$. Из последнего неравенства и теоремы Apцела – Асколи следует существование подпоследовательности $\psi_{n_{j}}^{\prime}(t)$, которая равномерно сходится на каждом ограниченном интервале. Мы временно обозначим предел этой последовательности через $X(t)$. Тогда
\[
\psi_{n_{j}}(t)=\psi_{n_{j}}(0)+\int_{0}^{t} \psi_{n_{j}}^{\prime}(\tau) d \tau ;
\]

следовательно, переходя к пределу при $j \rightarrow \infty$, мы получим
\[
\psi(t)=\psi(0)+\int_{0}^{t} X(\tau) d \tau,
\]

откуда следует, что $\psi(t)$ непрерывно дифференцируема и
\[
\dot{\psi}^{\prime}(t)=X(t) .
\]

Покажем теперь, что
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} \psi_{n}^{\prime}(t)=\psi^{\prime}(t)
\]
(т. е. что не обязательно переходить к подпоследовательности). Для этого заметим, что наши рассуждения позволяют для любой подпоследовательности $\left\{\psi_{n}^{\prime}(t)\right\}$ доказать существование ее подпоследовательности, сходящейся к $\psi^{\prime}(t)$. Отсюда следует, что исходная последовательность должна сходиться к тому же пределу. Так как $\left.\psi_{n}^{\prime}(0)=\varphi\left(D u_{n}\left(y_{1}\right)\left(y_{2}\right)\right)^{1}\right)$, то
1) Симголом $D u\left(y_{1}\right)\left(y_{2}\right)$ авторы обозначают результат применения линейного оператора $D u\left(y_{1}\right)$ к вектору $y_{2 .}-$ Прим. перев.

последовательность $D u_{n}\left(y_{1}\right)\left(y_{2}\right)$ сходится в слабой топологии на $X^{* *}$ к пределу, который мы обсзначим $D u\left(y_{1}\right)\left(y_{2}\right)$; это пока только обозначение, но оно содержит намек на дальнейшее. Переходя к пределу, из соответствующего свойства $D u_{n}\left(y_{1}\right)\left(y_{2}\right)$ мы заключаем, что для каждого $y_{1}$
\[
y_{2} \mapsto D u_{n}\left(y_{1}\right)\left(y_{2}\right)
\]

есть ограниченное линейное отображение с нормой $\leqslant 1$ из пространства $Y$ в $X^{* *}$. Мы обозначим этот линейный оператор через $D u\left(y_{1}\right)$. Так как
\[
\left\|D u_{n}\left(y_{1}\right)\left(y_{2}\right)-D u_{n}\left(y_{1}^{\prime}\right)\left(y_{2}\right)\right\| \leqslant\left\|y_{1}-y_{1}^{\prime}\right\| \cdot\left\|y_{2}\right\|,
\]

то мы получаем, что
\[
\left\|D u\left(y_{1}\right)-D u\left(y_{1}^{\prime}\right)\right\| \leqslant\left\|y_{1}-y_{1}^{\prime}\right\|,
\]
т. е. отображение $y \mapsto D u(y)$ действует из $Y$ в $L\left(Y, X^{* *}\right)$. и удовлетворяет условию Липшица.
Следующий шаг состоит в доказательстве равенства
\[
u\left(y_{1}+y_{2}\right)-u\left(y_{1}\right)=\int_{0}^{1} D u\left(y_{1}+\tau y_{2}\right)\left(y_{2}\right) d \tau .
\]

Это уравнение, вместе с непрерывностью по норме отображения $y \mapsto D u(y)$, дает нам дифференцируемость $u$ по Фреше. Интеграл в (2.19) может пониматься, как векторнозначный интеграл Римана.
Используя уже доказанное, мы можем записать
\[
\varphi\left(u\left(y_{1}+y_{2}\right)\right)-\varphi\left(u\left(y_{1}\right)\right)=\int_{0}^{1} \varphi\left(D u\left(y_{1}+\tau y_{2}\right)\left(y_{2}\right)\right) d \tau
\]

для всех $\varphi \in X^{* *}$, а учитывая, что взятие риманова интеграла перестановочно с применением непрерывного линейного отображения, получаем
\[
\varphi\left(\left[u\left(y_{1}+y_{2}\right)-u\left(y_{1}\right)-\int_{0}^{1} D u\left(y_{1}+\tau y_{2}\right)\left(y_{2}\right) d \tau\right]\right)=0
\]

для всех $\varphi \in X$. Сталь быть, (2.19) доказано.
Теперь ситуация такова: мы уже показали, что если понимать $u$ как отображение в $X^{* *}$, которое содержит $X$, то оно дифференцируемо по Фреше и его производная есть $D u$. С другой стороны, мы знаем, что $и$ действительно имеет значения в $X$, и хотим доказать, что оно дифференцируемо как отображение в $X$. Это эквивдлентно доказательству того, что

$D u\left(y_{1}\right)\left(y_{2}\right)$ принадлежит $X$ для всех $y_{1}, y_{2}$. Однако
\[
D u\left(y_{1}\right)\left(y_{2}\right)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{u\left(y_{1}+t y_{2}\right)-u\left(y_{1}\right)}{t}
\]
(предел понимается в смысле нормы); разностное отношение справа лежит в $X$, а $X$ замкнуто по норме в $X *$. Таким образом, $D u\left(y_{1}\right)\left(y_{2}\right)$ лежит в $X$, и доказательство окончено.
(2.6) Замечания, касающиеся теоремы о центральном многообразии
1. Может показаться, что имеется потеря производных при переходе от $\Psi$ к $u^{*}$, так как мы предполагаем, что $\Psi$ класса $C^{k+1}$, а получаем, что $u^{*}$ класса $C^{k}$. Фактически, однако, $u^{*}$ имеет липшиц-непрерывную $k$-ю производную, а наше доказательство также проходит, если мы предположим только, что $\Psi$ имеет липшиц-непрерывную $k$-ю производную; поэтому в этом классе отображений не происходит потери производных. Кроме того, если сделать более слабое предположение, что $k$-я производная $\Psi$ равномерно непрерывна в некоторой окрестности нуля, то можно показать, что то же самое верно для $u^{*}$ (если $X, Y$ конечномерны, то непрерывность в окрестности нуля означает равномерную непрерывность в этой окрестности; однако это не верно, если $X$ или $Y$ бесконечномерно).
2. Қак указал Ч. Пью, если $\Psi$ бесконечно дифференцируемо, то центральное многообразие в общем случае не может быть выбрано бесконечно дифференцируемым. Также не верно и то, что если $\Psi$ аналитично, то существует аналитическое центральное многообразие. Мы приведем контрпример для случая особой точки системы дифференциальных уравнений, а не для неподвижной точки отображения; см. теорему 2.7 ниже. Этот контрпример, принадлежащий Ланфорду, показывает также, что центральное многообразие не единственно; см. упр. 2.8.
Рассмотрим систему уравнений
\[
\frac{d y_{1}}{d t}=-y_{2}, \quad \frac{d y_{2}}{d t}=0, \frac{d x}{d t}=-x+h\left(y_{1}\right),
\]

где $h$ аналитична вблизи нуля и имеет второй порядок малости в нуле. Мы утверждаем, что если $h$ не аналитична во всей комплексной плоскости, то не существует функции $u\left(y_{1}, y_{2}\right)$, аналитической в окрестности $(0,0)$, второго порядка малости в точке $(0,0)$ и такой, что многообразие $\{x=$ $\left.=u\left(y_{1}, y_{2}\right)\right\}$ локально инвариантно относительно потока, индуцированного системой дифференциальных уравнений вблизи $(0,0,0)$. Чтобы показать это, мы предположим, что такое инвариантное многообразие существует и функция $u$ представляется в виде
\[
u\left(y_{1}, y_{2}\right)=\sum_{\substack{j_{1} j_{2} ; j_{1}+j_{2} \geqslant 1 \\ j_{1}+j_{2} \geqslant 1}} c_{j_{1}, j_{1}} y_{1}^{j_{1}} y_{2}^{j_{2}} .
\]

Непосредственное вычисление показывает, что коэффициенты $c_{f_{1}, l_{2}}$ единственным образом определяются требованием инвариантности и тогда
\[
c_{j_{1}, l_{2}}=\frac{\left(j_{1}+j_{2}\right) !}{\left(j_{1}\right) !} h_{j_{1}+j_{2}},
\]

где $h\left(y_{1}\right)=\sum_{l \geqslant 2} h_{j} y_{1}^{l}$. Если ряд для $h$ имеет конечный радиус сходимости, ряд для $u\left(0, y_{2}\right)$ расходится для всех ненулевых $y_{2}$. Тем не менее система дифференциальных уравнений имеет бесконечно много дифференцируемых центральных многообразий. Чтобы построить одно из них, рассмотрим ограниченную бесконечно дифференцируемую функцию $\tilde{h}\left(y_{1}\right)$, совпадающую с $h$ в окрестности нуля. Тогда многообразие, определенное формулой
\[
u\left(y_{1}, y_{2}\right)=\int_{-\infty}^{0} e^{\sigma} \tilde{h}\left(y_{1}-\sigma y_{2}\right) d \sigma,
\]

будет, как легко проверить, глобально инвариантным для системы
\[
\frac{d y_{1}}{d t}=-y_{2}, \quad \frac{d y_{2}}{d t}=0, \quad \frac{d x}{d t}=-x+\tilde{h}\left(y_{1}\right)
\]

и, следовательно, локально инвариантным в окрестности нуля для исходной системы. (Чтобы выражение для $и$ выглядело не столь таинственным, набросаем вкратце его вывод. Уравнения для $y_{1}$ и $y_{2}$ не содержат $x$ и тривиально решаются в явном виде. Функция $u$, определяющая инвариантное многообразие модифицированной системы (2.22), должна удовлетворять уравнению
\[
\frac{d}{d t} u\left(y_{1}-t y_{2}, y_{2}\right)=-u\left(y_{1}-t y_{2}, y_{2}\right)+\tilde{h}\left(y_{1}-t y_{2}\right)
\]

для всех $t, y_{1}, y_{2}$. Формула (2.21) для $u$ получается решением этого дифференциального уравнения с соответствующим граничным условием при $t=-\infty$.)
3. Часто вместо неподвижной точки отображения $\Psi$ бывает нужно изучить инвариантное многообразие $V$ при некоторых предположениях спектрального характера о нормальном расслоении $V$. Нам это потребуется в гл. 9. Этот общий случай рассматривается с помощью такой же процедуры; подробности можно найти в работе Хирша, Пью и Шуба [1].