1. Пусть ${\mathrm{\Lambda }}_G^0$ — полная ортогональная группа $E^0={\mathbb{R}}^n$ и ${\lambda }_0=1$ является единственным собственным значением $D{f}_0(0)$ на окружности $|z|=1$. Пусть $h={f|}_V,V$-центральное многообразие $f$ из утверждения 7.1 . В соответствии с тео-
1) Нормальная гиперболичность определяется следующим образом. Пусть $S$-дифференцируемое подмногообразие нормированного векторного пространства $E$, инвариантное относительно диффеоморфизма $f$ : $E\to E$. Пусть $B\to S$ — подрасслоение ${TE|}_s$, инвариантное относительно Df. Определим $\rho (Df\mid B)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}sup\left[\underset{x\in S}{sup}{\Vert {D{f}^n(x)|}_B\Vert }^{1/n}\right];f$ называется нормально гиперболическим $\stackrel{\kappa }{\kappa }S$, если существует разложение $TE\mid s$, ${TE|}_s=N_{+}\oplus TS\oplus N_{-}$, такое, что $\rho \left({Df|}_{N_{-}}\right)<min\{1,\rho \left({Df|}_{TS}\right)\}$, а $\rho \left(D{f}^{-1}{I}_{N_{+}}\right)<min\{1,\rho \left({D{f}^{-1}|}_{TS}\right)\}$. Это означает, что итерации $Df$ сжимают каждый вектор из $N_{-}$больше, чем $Df$ сжимает любой вектор из $TS$, и итерации $Df$ растягивают каждый вектор из $N_{+}$больше, чем он растягивает любой вектор из TS.

ремой 7.1 мы можем считать $h$ определенным в окрестности точки $(0,0)$ в ${\mathbb{R}}^n\times \mathbb{R}$, где
(1) каждое $h_{\mu }$ коммутирует с ${\mathrm{\Lambda }}_a^0$;
(2) $h_{\mu }(0)=0$ для всех $\mu$;
(3) $D{h}_{\mu }(0)={\lambda }_{\mu }I,{\lambda }_0=1,{\lambda }_{\mu }\in \mathbb{R}$ для всех $\mu$.
Так как ${\mathrm{\Lambda }}_G^0$ содержит все отражения, то, как легко видеть, $h_{\mu }(x)$ пропорционально $x$. Кроме того, $h_{\mu }$ переводит множество сфер с центром в нуле в себя. Поэтому $h_{\mu }(x)=$ $={\lambda }_{\mu }x+p_{\mu }(|x|)x$, где для каждого $\mu u\mapsto p_{\mu }(u)$ — действительная функция класса $C^{l-1},p_{\mu }(0)=0$. Запишем $p_{\mu }(|x|)=$ $=a_{\mu }|x{|}^2+o\left(|x{|}^2\right)$. Неблуждающее множество ${}^1)h_{\mu }$ вблизи нуля состоит в точности из тех сфер, которые отображаются в себя; каждая такая сфера целиком состоит из неподвижных точек. Если $f$ по меньшей мере класса $C^3$ по $\mu$ и $a_0<0$ (т. е. $(0,0)$ — слабый аттрактор), мы можем с помощью аналогичного анализа увидеть, что для малых $\mu >0$ существует однопараметрическое семейство таких сфер, по одной для каждого $\mu >0$, которые стремятся к нулю при $\mu \to 0$.
$2^2$ ). Рассмотрим $O(2)$ как группу, порожденную комплексными числами $\alpha$ с $|\alpha |=1$ и отражением $r$. Предположим, что мы находимся в ситуации случая 2 разд. 2 , где $F={\mathbb{C}}^2$ и ${\mathrm{\Lambda }}_G^0$ — неприводимое представление $O(2)$ на ${\mathbb{C}}^2$, задаваемое как
$$\begin{array}{l}{\mathrm{\Lambda }}_{\alpha }^0(z_1,z_2)=(\alpha z_1,{\alpha }^{-1}{z}_2),\\ {\mathrm{\Lambda }}_r^0(z_1,z_2)=(z_2,z_1).\end{array}$$

Будем считать $f/v$ действующим в окрестности точки $(0,0)\in {\mathbb{C}}^2\times \mathbb{R}$ и обозначим это отображение через $h$. В соответствии с леммой 7.2 после замены координат мы получим новое отображение $h^{\prime }$ :
$$h_{\mu }^{\prime }(z)={\lambda }_{\mu }z+P_{\mu }(z)+Q_{\mu }(z),$$

где $P_{\mu }(z)$ однороден степени 2 по $z$ и степени 1 по $\overline{z}$, а $Q_{\mu }(z)$ порядка $o\left(|z{|}^3\right)$ равномерно по $\mu$. Мы будем предполагать, что $\left|{\lambda }_0\right|=1,\left|{\lambda }_{\mu }\right|>1$ при $\mu >0,\left|{\lambda }_{\mu }\right|<1$ при $\mu <0$ и ${\lambda }_0^{3}eq1,{\lambda }_0^{4}eq1$.
1) Точка $x$ топологического пространства $X$ называется неблуждающей точкой отображения $f$, если для любой окрестности $Uix$ существует $n\in Z\mathrm{\setminus }\{0\}$, такое, что $f^n(U)\cap Ueq\varnothing$. Объединение неблуждающих точек $f$ называется неблуждающим множеством, или, точнее, множеством неблуждающих точек. — Прим. перев.
2) Этот пример разъяснил нам Дэвид Фрид. Он является переработкой разд. 4.9 работы Рюэля.

Легко видеть, что каждое $P_{\mu }(z){\mathrm{\Lambda }}_G^0$ — инвариантно. Пусть $P(z)-{\mathrm{\Lambda }}_{G^{-}}^0$ инвариантный однородный многочлен степени 2 по $z$ и степени 1 по $\overline{z}$. Запишем $P(z)=(P_1(z),P_2(z))$, где
$$P_1(z)=A{z}_1^2{\overline{z}}_1+B{z}_1{z}_2{\overline{z}}_1+C{z}_2^2{\overline{z}}_1+D{z}_1^2{\overline{z}}_2+E{z}_1{z}_2{\overline{z}}_2+F{z}_2^2{\overline{z}}_2$$

и
$$P_2(z)=Q{z}_1^2{\overline{z}}_1+R{z}_1{z}_2{\overline{z}}_1+S{z}_2^2{\overline{z}}_1+T{z}_1^2{\overline{z}}_2+U{z}_1{z}_2{\overline{z}}_2+V{z}_2^2{\overline{z}}_2.$$

Так как $P(\alpha z_1,{\alpha }^{-1}{z}_2)=(\alpha P_1(z),{\alpha }^{-1}{P}_2(z))$ для всех $\alpha$ с $|\alpha |=1$, мы видим, что $B=C=D=F=Q=S=T=$ $=U=0$. Так как $P(z_2,z_1)=(P_2(z),P_1(z))$, то $A=V$ и $E=$ $=R$. Таким образом,
$$P(z)=(A{z}_1^2{\overline{z}}_1+E{z}_1{z}_2{\overline{z}}_2,A{z}_2^2{\overline{z}}_2+E{z}_1{z}_2{\overline{z}}_1).$$

Более подробное вычисление показывает, что можно записать $P(z)$ в виде
$$P(z)=a({\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2)(z_1,z_2)+b({\left|z_1\right|}^2-{\left|z_2\right|}^2)(z_1,-z_2);$$
$$a,b\in \mathbb{C}\text{. }$$

Поэтому
$$\begin{array}{r}{h}_{\mu }^{\prime }(z)={\lambda }_{\mu }z+a_{\mu }({\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2)z+b_u({\left|z_1\right|}^2-{\left|z_2\right|}^2)(z_1,-z_2)+\\ +Q_{\mu }(z).\end{array}$$

В соответствии с теоремой 2 мы теперь должны изучить дифференциальное уравнение
$$\begin{array}{rl}\frac{dz}{dt}=z\pm {\lambda }_0^{-1}\{a_0({\left|z_1\right|}^2+\mid & {z_2|}^2)(z_1,z_2)+\\ & +b_0({\left|z_1\right|}^2-{\left|z_2\right|}^2)(z_1,-z_2)\}.\end{array}$$

Мы найдем инвариантные многообразия $S$ этого дифференциального уравнения, которые также инвариантны относительно действия ${\mathrm{\Lambda }}_G^0$ и отображений $z\mapsto \alpha z,|\alpha |=1$. Предположим теперь, что $q:{\mathbb{C}}^2\to \mathbb{C}$ — полином по $z,\overline{z}$, инвариантный относительно ${\mathrm{\Lambda }}_G^0$ и отображений $z\mapsto \alpha z,|\alpha |=1$ (т. е. $q(z)=q\left({\mathrm{\Lambda }}_G^{0}z\right)$ для всех $g\in G,q(z)=q(\alpha z)$ для всех $\alpha$ с $|\alpha |=1)$. Допустим далее, что $S$ является в точности объединением орбит какой-нибудь любой его точки, порожденных действием ${\mathrm{\Lambda }}_a^0$ и группы отображений $z\mapsto \alpha z,|\alpha |=1$. Отсюда следует, что $\frac{d}{dt}q(z)=0$ для $z\in S$. Поэтому мы будем искать многообразия $S$ посредством изучения таких полиномов $q(z)$.

При $|\alpha |=1q(z_1,z_2)=q(\alpha z_1,{\alpha }^{-1}{z}_2)=q({\alpha }^2{z}_1,z_2)$. Следовательно, при фиксированном $z_{2}q(z_1,z_2)$ зависит только от ${\left|z_1\right|}^2$. Аналогично, при фиксированном $z_{1}q(z_1,z_2)$ зависит только от ${\left|z_2\right|}^2$. Так как $q(z_1,z_2)=q(z_2,z_1)$, то $q$ симметричен по $z_1$ и $z_2$. Пусть теперь $s(z_1,z_2)={\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2,d(z_1,z_2)=$ $=2\left|z_1{z}_2\right|$. Тогда $s$ и $d^2$ образуют базис интересующих нас полиномов над полем $\mathbb{C}$.

Пусть $\alpha =\mathrm{Re}\left({\lambda }_0^{-1}{a}_0\right)$ и $\beta =\mathrm{Re}\left({\lambda }_0^{-1}{b}_0\right)$. Пусть $z^1,z^2\in {\mathbb{C}}^2$, где $z^1=(z_1^1,z_2^1),z^2=(z_1^2,z_2^2),z_j^i\in \mathbb{C}$. Положим $[z^1,z^2]=$ $=z_1^1{z}_1^2+z_2^1{z}_2^2$. Тогда $s(z)=[z,\overline{z}]$ и
$$\begin{array}{l}\frac{ds}{dt}=[z,\frac{d\overline{z}}{dt}]+[\frac{dz}{dt},\overline{z}]=\\ =[z,\overline{z}\pm {\lambda }_0\{{\overline{a}}_0({\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2)({\overline{z}}_1,{\overline{z}}_2)+{\overline{b}}_0({\left|z_1\right|}^2-{\left|z_2\right|}^2)({\overline{z}}_1,-{\overline{z}}_2)\}]+\\ +[z\pm {\lambda }_0^{-1}\{a_0({\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2)(z_1,z_2)+\\ +b_0({\left|z_1\right|}^2-{\left|z_2\right|}^2)(z_1,-z_2)\},\overline{z}]=2s\pm (2\alpha s^2+2\beta (s^2-d^2)).\end{array}$$

Далее, так как $d^2=4{\left|z_1\right|}^2{\left|z_2\right|}^2=4z_1{\overline{z}}_1{z}_2{\overline{z}}_2$, то можно получить, что $\frac{d}{dt}d=2(d\pm sd)$. Поэтому
$$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\frac{ds}{dt}=s\pm (\alpha s^2+\beta (s^2-d^2))\\ \frac{1}{2}\frac{d}{dt}d=d\pm \alpha sd.\end{array}$$

Мы сделаем предположение о типичности, состоящее в том, что $\alpha ,\beta$ и $\alpha +\beta$ не равны нулю. Вспоминая, что $d$ и $s$ — неотрицательные функции, мы видим, что для инвариантных многообразий имеются. три возможности:
(1) $d=0,s=0$
(2) $d=0,s=\mp (\alpha +\beta {)}^{-1}$;
(3) $d=s=\mp {\alpha }^{-1}$.
Теперь получаем следующую коммутативную диаграмму:
Так как векторное поле (4.2) липшиц-непрерывно, то его нулям соответствуют особые точки потока. Поэтому их прообраз в ${\mathbb{C}}_2^2$ инвариантен относительно потока (4.1). Следовательно, мы нашли следующие инвариантные многообразия (4.1):
(1) $S^{(1)}=\{0\}$;
(2.)
$$\begin{array}{rl}{S}^{(2)}& =\{z\in {\mathbb{C}}^2:d=0,s=\mp (a+\beta {)}^{-1}\}=\\ & =\{z\in {\mathbb{C}}^2:z_1=0,{\left|z_2\right|}^2=\mp (\alpha +\beta {)}^{-1}\}\cup \\ & \cup \{z\in {\mathbb{C}}^2:z_2=0,{\left|z_1\right|}^2=\mp (\alpha +\beta {)}^{-1}\}=\end{array}$$
$=$ две окружности или $\varnothing$.
(3)
$$\begin{array}{rl}{S}^{(3)}& =\{z\in {\mathbb{C}}^2:s=d=\pm 1/\alpha \}=\{z:{\left|z_1\right|}^2={\left|z_2\right|}^2=\\ & =\mp 1/2\alpha \}=\text{ тор или }\varnothing .\end{array}$$

Векторное поле (4.1) нормально гиперболично к каждому из этих многообразий:
(1) производная (4.1) в 0 равна 1 ;
(2) производная (4.2) на $S^{(2)}$ относительно переменных $s,d$ равна
$$\left(\begin{array}{rc}-2& 0\\ 0& 2\beta /\alpha +\beta \end{array}\right);$$
(3) производная (4.2) на $S^{(3)}$ относительно переменных $s$, $d$-это матрица
$$\left(\begin{array}{cc}-2(1+2\beta /\alpha )& 4\beta /\alpha \\ -2& 0\end{array}\right),$$

которая имеет собственные значения -2 и $-4\beta /\alpha$.
В этом случае, изучая поток (4.2) в $(s,d)$-плоскости, можно увидеть, что векторное поле (4.1) не содержит других компактных инвариантных многообразий. Вследствие определения $s$ и $d$ необходимо только рассмотреть область $0⩽$ $⩽d⩽s$. Теперь для определенности предноложим, что $f_{\mu }:E\to E$, а Spec $D{f}_{\mu }(0)$, за исключением собственных значений ${\lambda }_{\mu },{\overline{\lambda }}_{\mu }$, целиком содержится в круге $|z|<1$. Допустим, что $\left|{\lambda }_{\mu }\right|<1$ при $\mu <0$, а при $\mu >0\left|{\lambda }_{\mu }\right|>1$. Будем считать, кроме того, что $\alpha <0$ и $\alpha +\beta <0$ (условия «слабого аттрактора»). Тогда для каждого $\mu >0$ мы имеем следующие инвариантные многообразия:
$S_{\mu }^{(1)}=\{0\}$, неустойчивое при $\mu >0$.
$S_{\mu }^{(2)}$ — две замкнутые кривые, инвариантные относительно действия $f$ и связной компоненты единицы группы ${\mathrm{\Lambda }}_G^0$ и переставляемые отражениями. Они устойчивы, если $\beta <0$, и неустойчивы, если $\beta >0$.
$S_{\mu }^{(3)}$ — гор, устойчивый при $\beta >0$, неустойчивый при $\beta <0$.

$S_{\mu }^{(3)}$ можно подвергнуть дальнейшему анализу. Подпространство ${\mathrm{\Pi }}_{\alpha }=\{(z_1,z_2)\in {\mathbb{C}}_4^2:z_2=\alpha z_1\}$ состоит из точек неподвижных при действии ${\mathrm{\Lambda }}_r^0\circ {\mathrm{\Lambda }}^0\subset {\mathrm{\Lambda }}_G^0$ (этот оператор действует по формулам $z_1\mapsto \alpha z_2,z_2\mapsto {\alpha }^{-1}{z}_1$ ). Так как отображение ${\theta }_{\mu }$ из теоремы 7.2 коммутирует с ${\mathrm{\Lambda }}_a^0$, мы получаем, что ${\theta }_{\mu }(S^{(3)}\cap {\mathrm{\Pi }}_{\alpha })\subset {\mathrm{\Pi }}_{\alpha }$. Поскольку $h=f\mid v$ также коммутирует с ${\mathrm{\Lambda }}_G^0$, то $h(S_{\mu }^{(3)}\cap {\mathrm{\Pi }}_{\alpha })=S_{\mu }^{(3)}\cap {\mathrm{\Pi }}_{\alpha }$. Таким образом, $S_{\mu }^{(3)}$ состоит из объединения непересекающихся замкнутых кривых вида $S_{\mu }^{(3)}\cap {\mathrm{\Pi }}_a$, каждая из них инвариантна относительно $h$, и они переставляются элементами ${\mathrm{\Lambda }}_G^0$. Видимо, в этом примере «одновременно происходят две бифуркации рождения цикла», в результате чего для каждого $\mu >0$ появляются инвариантные множества вида (точка $U$ замкнутая кривая) $X$ (точка $U$ замкнутая кривая).