1. Пусть $\Lambda_{G}^{0}$ – полная ортогональная группа $E^{0}=\mathbb{R}^{n}$ и $\lambda_{0}=1$ является единственным собственным значением $D f_{0}(0)$ на окружности $|z|=1$. Пусть $h=\left.f\right|_{V}, V$-центральное многообразие $f$ из утверждения 7.1 . В соответствии с тео-
1) Нормальная гиперболичность определяется следующим образом. Пусть $S$-дифференцируемое подмногообразие нормированного векторного пространства $E$, инвариантное относительно диффеоморфизма $f$ : $E \rightarrow E$. Пусть $B \rightarrow S$ – подрасслоение $\left.T E\right|_{s}$, инвариантное относительно Df. Определим $\rho(D f \mid B)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sup \left[\sup _{x \in S}\left\|\left.D f^{n}(x)\right|_{B}\right\|^{1 / n}\right] ; f$ называется нормально гиперболическим $\stackrel{\kappa}{\kappa} S$, если существует разложение $T E \mid s$, $\left.T E\right|_{s}=N_{+} \oplus T S \oplus N_{-}$, такое, что $\rho\left(\left.D f\right|_{N_{-}}\right)<\min \left\{1, \quad \rho\left(\left.D f\right|_{T S}\right)\right\}$, а $\rho\left(D f^{-1} I_{N_{+}}\right)<\min \left\{1, \rho\left(\left.D f^{-1}\right|_{T S}\right)\right\}$. Это означает, что итерации $D f$ сжимают каждый вектор из $N_{-}$больше, чем $D f$ сжимает любой вектор из $T S$, и итерации $D f$ растягивают каждый вектор из $N_{+}$больше, чем он растягивает любой вектор из TS.

ремой 7.1 мы можем считать $h$ определенным в окрестности точки $(0,0)$ в $\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}$, где
(1) каждое $h_{\mu}$ коммутирует с $\Lambda_{a}^{0}$;
(2) $h_{\mu}(0)=0$ для всех $\mu$;
(3) $D h_{\mu}(0)=\lambda_{\mu} I, \lambda_{0}=1, \lambda_{\mu} \in \mathbb{R}$ для всех $\mu$.
Так как $\Lambda_{G}^{0}$ содержит все отражения, то, как легко видеть, $h_{\mu}(x)$ пропорционально $x$. Кроме того, $h_{\mu}$ переводит множество сфер с центром в нуле в себя. Поэтому $h_{\mu}(x)=$ $=\lambda_{\mu} x+p_{\mu}(|x|) x$, где для каждого $\mu u \mapsto p_{\mu}(u)$ – действительная функция класса $C^{l-1}, p_{\mu}(0)=0$. Запишем $p_{\mu}(|x|)=$ $=a_{\mu}|x|^{2}+o\left(|x|^{2}\right)$. Неблуждающее множество $\left.{ }^{1}\right) h_{\mu}$ вблизи нуля состоит в точности из тех сфер, которые отображаются в себя; каждая такая сфера целиком состоит из неподвижных точек. Если $f$ по меньшей мере класса $C^{3}$ по $\mu$ и $a_{0}<0$ (т. е. $(0,0)$ – слабый аттрактор), мы можем с помощью аналогичного анализа увидеть, что для малых $\mu>0$ существует однопараметрическое семейство таких сфер, по одной для каждого $\mu>0$, которые стремятся к нулю при $\mu \rightarrow 0$.
$2^{2}$ ). Рассмотрим $O(2)$ как группу, порожденную комплексными числами $\alpha$ с $|\alpha|=1$ и отражением $r$. Предположим, что мы находимся в ситуации случая 2 разд. 2 , где $F=\mathbb{C}^{2}$ и $\Lambda_{G}^{0}$ – неприводимое представление $O(2)$ на $\mathbb{C}^{2}$, задаваемое как
\[
\begin{array}{l}
\Lambda_{\alpha}^{0}\left(z_{1}, z_{2}\right)=\left(\alpha z_{1}, \alpha^{-1} z_{2}\right), \\
\Lambda_{r}^{0}\left(z_{1}, z_{2}\right)=\left(z_{2}, z_{1}\right) .
\end{array}
\]

Будем считать $f / v$ действующим в окрестности точки $(0,0) \in \mathbb{C}^{2} \times \mathbb{R}$ и обозначим это отображение через $h$. В соответствии с леммой 7.2 после замены координат мы получим новое отображение $h^{\prime}$ :
\[
h_{\mu}^{\prime}(z)=\lambda_{\mu} z+P_{\mu}(z)+Q_{\mu}(z),
\]

где $P_{\mu}(z)$ однороден степени 2 по $z$ и степени 1 по $\bar{z}$, а $Q_{\mu}(z)$ порядка $o\left(|z|^{3}\right)$ равномерно по $\mu$. Мы будем предполагать, что $\left|\lambda_{0}\right|=1,\left|\lambda_{\mu}\right|>1$ при $\mu>0, \quad\left|\lambda_{\mu}\right|<1$ при $\mu<0$ и $\lambda_{0}^{3}
eq 1, \lambda_{0}^{4}
eq 1$.
1) Точка $x$ топологического пространства $X$ называется неблуждающей точкой отображения $f$, если для любой окрестности $U
i x$ существует $n \in Z \backslash\{0\}$, такое, что $f^{n}(U) \cap U
eq \varnothing$. Объединение неблуждающих точек $f$ называется неблуждающим множеством, или, точнее, множеством неблуждающих точек. – Прим. перев.
2) Этот пример разъяснил нам Дэвид Фрид. Он является переработкой разд. 4.9 работы Рюэля.

Легко видеть, что каждое $P_{\mu}(z) \Lambda_{G}^{0}$ – инвариантно. Пусть $P(z)-\Lambda_{G^{-}}^{0}$ инвариантный однородный многочлен степени 2 по $z$ и степени 1 по $\bar{z}$. Запишем $P(z)=\left(P_{1}(z), P_{2}(z)\right)$, где
\[
P_{1}(z)=A z_{1}^{2} \bar{z}_{1}+B z_{1} z_{2} \bar{z}_{1}+C z_{2}^{2} \bar{z}_{1}+D z_{1}^{2} \bar{z}_{2}+E z_{1} z_{2} \bar{z}_{2}+F z_{2}^{2} \bar{z}_{2}
\]

и
\[
P_{2}(z)=Q z_{1}^{2} \bar{z}_{1}+R z_{1} z_{2} \bar{z}_{1}+S z_{2}^{2} \bar{z}_{1}+T z_{1}^{2} \bar{z}_{2}+U z_{1} z_{2} \bar{z}_{2}+V z_{2}^{2} \bar{z}_{2} .
\]

Так как $P\left(\alpha z_{1}, \alpha^{-1} z_{2}\right)=\left(\alpha P_{1}(z), \alpha^{-1} P_{2}(z)\right)$ для всех $\alpha$ с $|\alpha|=1$, мы видим, что $B=C=D=F=Q=S=T=$ $=U=0$. Так как $P\left(z_{2}, z_{1}\right)=\left(P_{2}(z), P_{1}(z)\right)$, то $A=V$ и $E=$ $=R$. Таким образом,
\[
P(z)=\left(A z_{1}^{2} \bar{z}_{1}+E z_{1} z_{2} \bar{z}_{2}, A z_{2}^{2} \bar{z}_{2}+E z_{1} z_{2} \bar{z}_{1}\right) .
\]

Более подробное вычисление показывает, что можно записать $P(z)$ в виде
\[
P(z)=a\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)\left(z_{1}, z_{2}\right)+b\left(\left|z_{1}\right|^{2}-\left|z_{2}\right|^{2}\right)\left(z_{1},-z_{2}\right) ;
\]
\[
a, b \in \mathbb{C} \text {. }
\]

Поэтому
\[
\begin{array}{r}
h_{\mu}^{\prime}(z)=\lambda_{\mu} z+a_{\mu}\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right) z+b_{u}\left(\left|z_{1}\right|^{2}-\left|z_{2}\right|^{2}\right)\left(z_{1},-z_{2}\right)+ \\
+Q_{\mu}(z) .
\end{array}
\]

В соответствии с теоремой 2 мы теперь должны изучить дифференциальное уравнение
\[
\begin{aligned}
\frac{d z}{d t}=z \pm \lambda_{0}^{-1}\left\{a _ { 0 } \left(\left|z_{1}\right|^{2}+\mid\right.\right. & \left.\left.z_{2}\right|^{2}\right)\left(z_{1}, z_{2}\right)+ \\
& \left.+b_{0}\left(\left|z_{1}\right|^{2}-\left|z_{2}\right|^{2}\right)\left(z_{1},-z_{2}\right)\right\} .
\end{aligned}
\]

Мы найдем инвариантные многообразия $S$ этого дифференциального уравнения, которые также инвариантны относительно действия $\Lambda_{G}^{0}$ и отображений $z \mapsto \alpha z,|\alpha|=1$. Предположим теперь, что $q: \mathbb{C}^{2} \rightarrow \mathbb{C}$ – полином по $z, \bar{z}$, инвариантный относительно $\Lambda_{G}^{0}$ и отображений $z \mapsto \alpha z,|\alpha|=1$ (т. е. $q(z)=q\left(\Lambda_{G}^{0} z\right)$ для всех $g \in G, q(z)=q(\alpha z)$ для всех $\alpha$ с $|\alpha|=1)$. Допустим далее, что $S$ является в точности объединением орбит какой-нибудь любой его точки, порожденных действием $\Lambda_{a}^{0}$ и группы отображений $z \mapsto \alpha z,|\alpha|=1$. Отсюда следует, что $\frac{d}{d t} q(z)=0$ для $z \in S$. Поэтому мы будем искать многообразия $S$ посредством изучения таких полиномов $q(z)$.

При $|\alpha|=1 \quad q\left(z_{1}, z_{2}\right)=q\left(\alpha z_{1}, \alpha^{-1} z_{2}\right)=q\left(\alpha^{2} z_{1}, z_{2}\right)$. Следовательно, при фиксированном $z_{2} q\left(z_{1}, z_{2}\right)$ зависит только от $\left|z_{1}\right|^{2}$. Аналогично, при фиксированном $z_{1} q\left(z_{1}, z_{2}\right)$ зависит только от $\left|z_{2}\right|^{2}$. Так как $q\left(z_{1}, z_{2}\right)=q\left(z_{2}, z_{1}\right)$, то $q$ симметричен по $z_{1}$ и $z_{2}$. Пусть теперь $s\left(z_{1}, z_{2}\right)=\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}, d\left(z_{1}, z_{2}\right)=$ $=2\left|z_{1} z_{2}\right|$. Тогда $s$ и $d^{2}$ образуют базис интересующих нас полиномов над полем $\mathbb{C}$.

Пусть $\alpha=\operatorname{Re}\left(\lambda_{0}^{-1} a_{0}\right)$ и $\beta=\operatorname{Re}\left(\lambda_{0}^{-1} b_{0}\right)$. Пусть $z^{1}, z^{2} \in \mathbb{C}^{2}$, где $z^{1}=\left(z_{1}^{1}, z_{2}^{1}\right), \quad z^{2}=\left(z_{1}^{2}, z_{2}^{2}\right), \quad z_{j}^{i} \in \mathbb{C}$. Положим $\left[z^{1}, z^{2}\right]=$ $=z_{1}^{1} z_{1}^{2}+z_{2}^{1} z_{2}^{2}$. Тогда $s(z)=[z, \bar{z}]$ и
\[
\begin{array}{l}
\frac{d s}{d t}=\left[z, \frac{d \bar{z}}{d t}\right]+\left[\frac{d z}{d t}, \bar{z}\right]= \\
=\left[z, \bar{z} \pm \lambda_{0}\left\{\bar{a}_{0}\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)\left(\bar{z}_{1}, \bar{z}_{2}\right)+\bar{b}_{0}\left(\left|z_{1}\right|^{2}-\left|z_{2}\right|^{2}\right)\left(\bar{z}_{1},-\bar{z}_{2}\right)\right\}\right]+ \\
\quad+\left[z \pm \lambda_{0}^{-1}\left\{a_{0}\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)\left(z_{1}, z_{2}\right)+\right.\right. \\
\left.\left.\quad+b_{0}\left(\left|z_{1}\right|^{2}-\left|z_{2}\right|^{2}\right)\left(z_{1},-z_{2}\right)\right\}, \bar{z}\right]=2 s \pm\left(2 \alpha s^{2}+2 \beta\left(s^{2}-d^{2}\right)\right) .
\end{array}
\]

Далее, так как $d^{2}=4\left|z_{1}\right|^{2}\left|z_{2}\right|^{2}=4 z_{1} \bar{z}_{1} z_{2} \bar{z}_{2}$, то можно получить, что $\frac{d}{d t} d=2(d \pm s d)$. Поэтому
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \frac{d s}{d t}=s \pm\left(\alpha s^{2}+\beta\left(s^{2}-d^{2}\right)\right) \\
\frac{1}{2} \frac{d}{d t} d=d \pm \alpha s d .
\end{array}
\]

Мы сделаем предположение о типичности, состоящее в том, что $\alpha, \beta$ и $\alpha+\beta$ не равны нулю. Вспоминая, что $d$ и $s$ – неотрицательные функции, мы видим, что для инвариантных многообразий имеются. три возможности:
(1) $d=0, s=0$
(2) $d=0, s=\mp(\alpha+\beta)^{-1}$;
(3) $d=s=\mp \alpha^{-1}$.
Теперь получаем следующую коммутативную диаграмму:
Так как векторное поле (4.2) липшиц-непрерывно, то его нулям соответствуют особые точки потока. Поэтому их прообраз в $\mathbb{C}_{2}^{2}$ инвариантен относительно потока (4.1). Следовательно, мы нашли следующие инвариантные многообразия (4.1):
(1) $S^{(1)}=\{0\}$;
(2.)
\[
\begin{aligned}
S^{(2)} & =\left\{z \in \mathbb{C}^{2}: d=0, s=\mp(a+\beta)^{-1}\right\}= \\
& =\left\{z \in \mathbb{C}^{2}: z_{1}=0,\left|z_{2}\right|^{2}=\mp(\alpha+\beta)^{-1}\right\} \cup \\
& \cup\left\{z \in \mathbb{C}^{2}: z_{2}=0,\left|z_{1}\right|^{2}=\mp(\alpha+\beta)^{-1}\right\}=
\end{aligned}
\]
$=$ две окружности или $\varnothing$.
(3)
\[
\begin{aligned}
S^{(3)} & =\left\{z \in \mathbb{C}^{2}: s=d= \pm 1 / \alpha\right\}=\left\{z:\left|z_{1}\right|^{2}=\left|z_{2}\right|^{2}=\right. \\
& =\mp 1 / 2 \alpha\}=\text { тор или } \varnothing .
\end{aligned}
\]

Векторное поле (4.1) нормально гиперболично к каждому из этих многообразий:
(1) производная (4.1) в 0 равна 1 ;
(2) производная (4.2) на $S^{(2)}$ относительно переменных $s, d$ равна
\[
\left(\begin{array}{rc}
-2 & 0 \\
0 & 2 \beta / \alpha+\beta
\end{array}\right) ;
\]
(3) производная (4.2) на $S^{(3)}$ относительно переменных $s$, $d$-это матрица
\[
\left(\begin{array}{cc}
-2(1+2 \beta / \alpha) & 4 \beta / \alpha \\
-2 & 0
\end{array}\right),
\]

которая имеет собственные значения -2 и $-4 \beta / \alpha$.
В этом случае, изучая поток (4.2) в $(s, d)$-плоскости, можно увидеть, что векторное поле (4.1) не содержит других компактных инвариантных многообразий. Вследствие определения $s$ и $d$ необходимо только рассмотреть область $0 \leqslant$ $\leqslant d \leqslant s$. Теперь для определенности предноложим, что $f_{\mu}: E \rightarrow E$, а Spec $D f_{\mu}(0)$, за исключением собственных значений $\lambda_{\mu}, \bar{\lambda}_{\mu}$, целиком содержится в круге $|z|<1$. Допустим, что $\left|\lambda_{\mu}\right|<1$ при $\mu<0$, а при $\mu>0\left|\lambda_{\mu}\right|>1$. Будем считать, кроме того, что $\alpha<0$ и $\alpha+\beta<0$ (условия «слабого аттрактора»). Тогда для каждого $\mu>0$ мы имеем следующие инвариантные многообразия:
$S_{\mu}^{(1)}=\{0\}$, неустойчивое при $\mu>0$.
$S_{\mu}^{(2)}$ – две замкнутые кривые, инвариантные относительно действия $f$ и связной компоненты единицы группы $\Lambda_{G}^{0}$ и переставляемые отражениями. Они устойчивы, если $\beta<0$, и неустойчивы, если $\beta>0$.
$S_{\mu}^{(3)}$ – гор, устойчивый при $\beta>0$, неустойчивый при $\beta<0$.

$S_{\mu}^{(3)}$ можно подвергнуть дальнейшему анализу. Подпространство $\Pi_{\alpha}=\left\{\left(z_{1}, z_{2}\right) \in \mathbb{C}_{4}^{2}: z_{2}=\alpha z_{1}\right\}$ состоит из точек неподвижных при действии $\Lambda_{r}^{0} \circ \Lambda^{0} \subset \Lambda_{G}^{0}$ (этот оператор действует по формулам $z_{1} \mapsto \alpha z_{2}, z_{2} \mapsto \alpha^{-1} z_{1}$ ). Так как отображение $\theta_{\mu}$ из теоремы 7.2 коммутирует с $\Lambda_{a}^{0}$, мы получаем, что $\theta_{\mu}\left(S^{(3)} \cap \Pi_{\alpha}\right) \subset \Pi_{\alpha}$. Поскольку $h=f \mid v$ также коммутирует с $\Lambda_{G}^{0}$, то $h\left(S_{\mu}^{(3)} \cap \Pi_{\alpha}\right)=S_{\mu}^{(3)} \cap \Pi_{\alpha}$. Таким образом, $S_{\mu}^{(3)}$ состоит из объединения непересекающихся замкнутых кривых вида $S_{\mu}^{(3)} \cap \Pi_{a}$, каждая из них инвариантна относительно $h$, и они переставляются элементами $\Lambda_{G}^{0}$. Видимо, в этом примере «одновременно происходят две бифуркации рождения цикла», в результате чего для каждого $\mu>0$ появляются инвариантные множества вида (точка $U$ замкнутая кривая) $X$ (точка $U$ замкнутая кривая).