При довольно общих условиях непрерывность потока по временной переменной может быть выведена из измеримости. Например, имеется следующий результат (см. также Болл [2]).
(8А.14) Теорема. Пусть $M$-сепарабельное метрическое пространство и $F_{t}$ — поток (или локальный полупоток) непрерывных отображений на $M$. Предположим, что для каждого $x \in M$ отображение $t \mapsto F_{t}(x)$ измеримо по Борелю, т. е. прообраз любого открытого множества есть борелевское подмножество R. Тогда $F_{t}$ совместно непрерывен (соответственно совместно непрерывен для $t>0$ ).

Доказательство. Так как $M$ сепарабельно, то борелевская функция $t \longmapsto F_{t}(x)$ непрерывна при ограничении ее на дополнение некоторого множества первой категории $C \subset \mathbb{R}$ (см. Бурбаки [1]). Задавая $t_{0}$ и последовательность $t_{n} \rightarrow t_{0}$, заметим, что $\bigcup_{n=1}^{\infty}\left[C-\left(t_{0}-t_{n}\right)\right]=D-$ это множество первой кате. гории; следовательно, существует $s \in \mathbb{R}, s
otin D$, что $t_{n}-t_{0}+$ $+s
otin C$ для всех $n$. Поэтому $F_{t_{n}-t_{0}+s}(x) \rightarrow F_{s}(x)$, когда $n \rightarrow$ $\rightarrow \infty$. Применяя теперь непрерывное отображение $F_{s-t}$, получим, что $F_{t_{n}}(x) \rightarrow F_{t_{0}}(x)$. Следовательно, $F_{t}(x)$ раздельно непрерывна, и заключение теоремы вытекает из теоремы 1 .

Теоремы этого типа хорошо известны для линейных полугрупп (примеры приведены у Иосиды [1]).