Формулировка теоремы о рождении цикла, данная Хопфом, так же как и аналогичная, но более простая и ясная, полученная Марсденом и Мак-кракеном для $\mathbb{R}^{2}$ в гл. 3 (теорема 3.1), – абсолютно корректны, однако условие $\operatorname{Re} \lambda^{\prime}(0)
eq$ $
eq 0$, положенное Хопфом в основу его метода, является сильным ограничением при рассмотрении общей задачи о рождении предельных циклов из фокуса или центра и преграждает путь к получению многих важных результатов. При условии, наложенном Хопфом, невозможно рождение предельного цикла из центра, а из фокуса любой сложности может появиться только один предельный цикл. Эти особенности не связаны с существом задачи и являются следствием самого метода.

В настоящем дополнении мы сделаем ряд замечаний к теореме о рождении цикла.

Напомним, что в теореме 3.1 на оси $x$ введена функция последования $\bar{x}=P(x, \mu)$, затем функция $V(x, \mu)=P(x, \mu)$ – $x$ и, наконец, функция
\[
\widetilde{V}(x, \mu)=\frac{V(x, \mu)}{x} \text { при } x
eq 0 \text { и } \tilde{V}(0, \mu)=\left.V_{x}^{\prime}\right|_{x=0}
\]

Функция $\widetilde{V}(x, \mu)$ в окрестности $x=0$ имеет вид
\[
\widetilde{V}(x, \mu)=\exp [2 \pi \operatorname{Re} \lambda(\mu) / \operatorname{Im} \lambda(\mu)]-1+x \Phi(x),
\]

и при этом очевидно, что $\tilde{V}(0,0)=0$.
Так как в силу предположения Хопфа (1.2)
\[
\left.\widetilde{V}_{\mu}^{\prime}\right|_{x=0, \mu=0}=2 \pi \operatorname{Re} \lambda^{\prime}(0) / \operatorname{Im} \lambda(0)
eq 0,
\]

то для функции $\tilde{
abla}(x, \mu)$ при $x=\mu=0$ выполняются условия теоремы о неявных функциях, и из уравнения $\widetilde{\mathcal{V}}(x, \mu)=0$ при всех достаточно малых $x$ находится единственная функция $\mu=\mu(x)$.

Значения $x, \mu(x)$ соответствуют, очевидно, замкнутой траектории. Однако необходимо подчеркнуть, что в частных случаях таким единственным решением уравнения $\widetilde{V}(x, \mu)=0$ может оказаться $\mu=0$. Это будет, очевидно, означать, что у рассматриваемой системы дифференциальных уравнений
(C) Мир», 1980

при $\mu=0$ все траектории, пересекающие ось $x$ при достаточно малых $x$, будут замкнуты, т. е. особая точка $O(0,0)$ системы $X_{0}$ есть центр. При этом для всех $\mu
eq 0$ у системы $X_{\mu}$ в окрестности $O(0,0)$ не будет никаких замкнутых траекторий, так что в этом случае (и когда $\operatorname{Re} \lambda^{\prime}(0)
eq 0$ ) при прохождении $\mu$ через нуль фокус будет менять устойчивость без рождения предельного цикла из особой точки. Простейший пример дает линейная система
\[
\dot{x}=\mu x-\beta y, \dot{y}=\beta x+\mu y(\beta
eq 0) .
\]

Такая же ситуация имеет место для рассмотренного авторами книги уравнения Ван-дер-Поля. Там при изменении $\mu$ предельный цикл рождается не из фокуса, а из одной из кривых консервативной системы, соответствующей $\mu=0$ (из окружности $x^{2}+y^{2}=4$ ).

В методе Хопфа для рождения замкнутой траектории при смене устойчивости фокуса необходимо, чтобы при $\mu=0$ особая точка имела характер фокуса. Если система $X_{\mu}$ (в. R ${ }^{2}$ ) является аналитической, то для этого необходимо, чтобы при $\mu=0$ особая точка была сложным фокусом, т. е. чтобы хотя бы одна из «ляпуновских величин» (см. дополнение I и главу 3В настоящей книги) была отлична от нуля. При условии, наложенном Хопфом, из фокуса любой сложности может появиться только одна замкнутая траектория (предельный цикл). Однако это может быть вовсе не так при использовании других методов. Например, в главах 3 A и 3 С рассматриваются некоторые частные случаи рождения двух замкнутых траекторий из сложного фокуса.

Между тем задача о рождении замкнутых траекторий из состояния равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями может быть поставлена более широко. Мы вкратце изложим здесь эту постановку и полученные при этом результаты (в случае $R^{2}$ ).
Пусть аналитическая система
\[
\frac{d x_{1}}{d t}=X_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right), \frac{d x_{2}}{d t}=X_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right) .
\]

имеет в начале координат $O(0,0)$ особую точку с чисто мнимыми характеристическими корнями $\pm \beta i, \beta
eq 0$. Пусть, как и в гл. 3 ,
\[
\tilde{x}=P(x)=\alpha_{1} x+\alpha_{2} x^{2}+\alpha_{3} x^{3}+. .
\]
– функция последования этой системы, построенная на оси $x_{1}$.

Так как система ( $A$ ) по предположению аналитическая, то нетрудно видеть (например, из проведенного в гл. 3 построения функции $P(x)$ ), что функция последования также аналитическая функция. В силу предположения о том, что характеристические корни чисто мнимые, в функции последования $\alpha_{1}=1$. Кроме того, как доказал А. М. Ляпунов, если $\alpha_{1}=1$, то $\alpha_{2}=0$, и вообще, если $\alpha_{2 n-1}=0$, то $\alpha_{2 n}=0$, так что первый не равный нулю коэффициент $\alpha_{m}$ всегда нечетного номе$\left.\mathrm{pa}^{1}\right)$. Этот первый не равный нулю коэффициент $\alpha_{2 n+1}$ и есть $n$-я ляпуновская величина, обозначаемая обычно $L_{n}$.

Рассматривая функцию последования, нетрудно убедиться в том, что если существует отличная от нуля ляпуновская величина
\[
L_{n} \equiv \alpha_{2 n+1}\left(\alpha_{2}=\alpha_{3}=\cdots=\alpha_{2 n}=0\right) \text {, }
\]

то особая точка $O(0,0)$ имеет характер фокуса. Она называется «сложным фокусом кратности $n$ ». Если по построению функции последования величина $\bar{x}$ соответствует значению $t$, большему чем значение $t$ для величины $x$, то сложный фокус будет устойчивым, когда $L_{n}<0$. Если при любом $n$ будет $L_{n} \equiv 0$, то точка $O(0,0)$ – центр.

Пусть $\bar{G}$ – замкнутая область плоскости, содержащая единственную особую точку системы $(A)$ – точку $O(0,0)$. Рассмотрим наряду с системой ( $A$ ) «измененную систему».
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x_{1}}{d t}=X_{1}^{*}\left(x_{1}, x_{2}\right)=X_{1}\left(x_{1} x_{2}\right)+\xi\left(x_{1}, x_{2}\right), \\
\frac{d x_{2}}{d t}=X_{2}^{*}\left(x_{1}, x_{2}\right)=X_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)+\eta\left(x_{1}, x_{2}\right) .
\end{array}
\]

Мы будем говорить, что система ( $\left.A^{*}\right)$ б-близка к системе $(A)$ в области $G$ до ранга $m$, или что «добавки» $\xi\left(x_{1}, x_{2}\right)$, $\eta\left(x_{1}, x_{2}\right)$ в-близки к нулю в области $\bar{G}$ до ранга $m$, если выполняются неравенства
\[
\begin{array}{c}
\left|\xi\left(x_{1} x_{2}\right)\right|<\varepsilon,\left|\eta\left(x_{1}, x_{2}\right)\right|<\varepsilon,\left|\frac{\partial^{k} \xi\left(x_{1}, x_{2}\right)}{\partial^{i} x_{1} \partial^{k-i} x_{2}}\right|<\varepsilon,\left|\frac{\partial^{k} \eta\left(x_{1}, x_{2}\right)}{\partial^{i} x_{1} \partial^{k-i} x_{2}}\right|<\varepsilon, \\
k=1,2, \ldots, m, i=1,2, \ldots ., k .
\end{array}
\]

Мы всегда будем предполагать $\delta$ столь малым, чтобы у любой системы ( $\left.A^{*}\right)$, так же как и у системы $(A)$, в области $\bar{G}$ существовала единственная особая точка (это, очевидно,
1) В главе 3В настоящей книги этот факт устанавливается при рассмотрении системы, зависящей от параметра, и используется предположение, что решение $\mu(x)$ уравнения $
abla(x, \mu)=0$ удовлетворяет определенным условиям. Доказательство А. М. Ляпунова проводится непосредственно для данной фиксированной системы в $\mathbb{R}^{n}$, где $n$ любое, в предположении только, что, кроме пары чисто мнимых корней, все остальные корни имеют отрицательные действительные части.

всегда возможно, так как характеристические корни точки $O(0,0)$ системы $(A)$ не равны нулю).

В случае, когда у системы ( $A$ ) $n$-я ляпуновская величина $L_{n}
eq 0$, мы будем полагать $m=2 n+1$ (в остальном $\xi\left(x_{1}, x_{2}\right)$ и $\eta\left(x_{1}, x_{2}\right)$ – какие угодно $\delta$-близкие к нулю до ранга $2 n+1$ аналитические функции).

Случай, когда наряду с системой $(A)$ дана система, зависящая от параметров
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x_{1}}{d t}=X_{1}\left(x_{1}, x_{2} ; \mu_{1}, \ldots, \mu_{n}\right), \\
\frac{d x_{2}}{d t}=X_{2}\left(x_{1}, x_{2} ; \mu_{1}, \ldots, \mu_{n}\right),
\end{array}
\]

такая, что
\[
\begin{aligned}
X_{1}\left(x_{1}, x_{2} ; 0, \ldots, 0\right)= & X_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right), X_{2}\left(x_{1}, x_{2} ; 0, \ldots, 0\right)= \\
& =X_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right),
\end{aligned}
\]

можно рассматривать как частный случай некоторого множества измененных систем, в которых
\[
\begin{array}{c}
\xi\left(x_{1}, x_{2}\right)=X_{1}\left(x_{1}, x_{2} ; \mu_{1}, \ldots, \mu_{n}\right)-X_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right), \\
\eta\left(x_{1}, x_{2}\right)=X_{2}\left(x_{1}, x_{2} ; \mu_{1}, \ldots ., \mu_{n}\right)-X_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right) .
\end{array}
\]

При стремлении $\mu_{i}$ к нулю мы приближаемся в функциональном пространстве «добавок» к «точке» $\left(X_{1}, X_{2}\right.$ ) этого пространства по некоторому подмногообразию, в случае одного параметра – по некоторому пути.

Функцию последования для измененной системы будем обозначать через $\bar{x}=P(x)$ и соответственно $P^{*}(x)-x$ через $V^{*}(x)$.

Имеет место следующая теорема А. А. Андронова и Е. А. Леонтович [1].

Теорема. Если точка $O(0,0)$ – сложный фокус кратности $n$ системы $(A)$, то:
(a) существуют числа $\varepsilon_{0}>0$ и $\delta_{0}>0$, такие, что всякая измененная система ( $\left.A^{*}\right), \delta_{0}$-близкая к (A) до ранга $2 n+1$, имеет в $\varepsilon_{0}$-окрестности точки $O(0,0)$ не более $n$ замкнутых. траекторий (предельных циклов).
(б) для любых $\varepsilon<\varepsilon_{0}, \varepsilon>0, \delta<\delta_{0}$, $\delta>0$ можно указать такую измененную систему $\left(A^{*}\right)$, б-близкую к $(A)$ до ронга $2 n+1$, у которой в в-окрестности точки $O(0,0)$ существует п замкнутых траекторий (предельных циклов).

С очевидными ограничениями аналогичная теорема справедлива и для систем класса $C^{k}$.

Отметим, что величины $\varepsilon_{0}$ и $\delta_{0}$ «отделяют» замкнутые траектории, появляющиеся из особой точки $O(0,0)$, от замкнутых траекторий другого происхождения.

Доказательство этой теоремы несложно. Утверждение (а) опирается, во-первых, на тот факт (который устанавливается без труда, а геометрически очевиден), что каждой замкнутой траектории, лежащей в $\varepsilon_{0}$-окрестности $O(0,0)$, соответствует два корня функции $V^{*}(x)$ – один положительный и один отрицательный, и, во-вторых, на то, что когда $L_{n}
eq 0$, уравнение $V^{*}(x)=0$ может иметь не более $2 n+1$ корней, один из которых соответствует особой точке.

Для доказательства утверждения (б) необходимо сначала получить выражения для фокусных величин. Переходя в системе $(A)$ к полярным координатам $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ (как в гл. 3) и учитывая, что $\frac{d \theta}{d t}
eq 0$ при достаточно малых $\rho\left(\rho<\rho^{*}\right)$, мы можем вместо системы $(A)$ написать, исключая $t$, одно уравнение
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \rho}{d \theta}=R(\rho, \theta)=R_{1}(\theta) \rho+R_{2}(\theta) \rho^{2}+\ldots= \\
=\frac{\sum_{m=1}^{\infty} \rho^{m} U_{m}(\cos \theta, \sin \theta)}{1+\sum_{m=1}^{\infty} \rho^{m} V_{m}(\cos \theta, \sin \theta)},
\end{array}
\]

где $U_{m}, V_{m}$ выражаются через однородные члены степени $m$ в $X_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right)$ и $X_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)$. Если обозначить через $X_{1 m}\left(x_{1}, x_{2}\right)$ и $X_{2 m}\left(x_{1}, x_{2}\right)$ однородные многочлены степени $m$ в $X_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right)$ и $X_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)$, то, как нетрудно видеть,
\[
\begin{array}{l}
U_{m}=X_{1 m}(\cos \theta, \sin \theta) \cos \theta+X_{2 m}(\cos \theta, \sin \theta) \sin \theta, \\
V_{m}=X_{2 m}(\cos \theta, \sin \theta) \cos \theta-X_{1 m}(\cos \theta, \sin \theta) \sin \theta
\end{array}
\]

Умножая обе части (1) на знаменатель правой части, приравнивая члены с одинаковыми степенями $\rho$, а затем разрешая относительно $R_{k}(\theta)$, получаем следующие выражения для $R_{k}(\theta)$ (нетрудно видеть, что $R_{1}(\theta)=0$, если $\operatorname{Re} \lambda(0)=0$ ):

где
\[
R_{k}=\frac{U_{k}(\cos \theta, \sin \theta)}{\beta}+W_{k}(\theta), \beta=\operatorname{Im} \lambda(0)
eq 0,
\]
\[
W_{k}=R_{2} V_{k-1}+\cdots+R_{k-1} V_{2} .
\]

Решение $\rho=f\left(\rho_{0}, \theta\right)$ уравнения (1), принимающее значение $\rho_{0}$ при $\theta=2 \pi$, очевидно, является аналитической функцией $\rho_{0}$, и, разлагая его по степеням $\rho_{0}$, мы имеем
\[
\rho=\alpha_{1}(\theta) \rho_{0}+\alpha_{2}(\theta) \rho_{0}^{2}+\alpha_{3}(\theta) \rho_{0}^{3}+\ldots .
\]

а функцию последования на оси $x_{1}$ мы получим, полагая в (2) $\theta=2 \pi$. В обозначениях, принятых в настоящей книге, $\rho_{0}$ обозначается через $x$, а $\rho$ через $\bar{x}$, и, таким образом, мы имеем функцию последования
\[
\bar{x}=\alpha_{1}(2 \pi) x+\alpha_{2}(2 \pi) x^{2}+\alpha_{3}(2 \pi) x_{3}+. . .,
\]

где ряд в правой части сходится при достаточно малых $x$ (при чисто мнимых характеристиках корня $\alpha_{1}(2 \pi)=1$ ).

Для нахождения коэффициентов функции последования мы должны, очевидно, найти $\alpha_{i}(\theta)$. Подставляя (2) в уравнение (1) и приравнивая коэффициенты при $\rho_{0}$ в левой и правой части, мы получаем для определения $\alpha_{i}$ рекуррентные дифференциальные уравнения (при $\operatorname{Re} \lambda=0$ ):
\[
\begin{array}{c}
\dot{\alpha}_{2}=R_{2}, \dot{\alpha}_{3}=R_{3}(\theta)+H_{3}(\theta), \\
\dot{\alpha}_{k}=R_{k}(\theta)+H_{k}(\theta),
\end{array}
\]

где $H_{k}(\theta)$ содержит $R_{i}(\theta)$ при $i<k$. Отсюда, очевидно, следует, принимая во внимание выражение для $R_{k}(\theta)$, что
\[
\alpha_{k}(2 \pi)=\int_{0}^{2 \pi}\left[\frac{U_{k}(\cos \theta, \sin \theta)}{\beta}+G_{k}(\theta)\right] d \theta,
\]

где $G_{k}(\theta)$ зависит от $U_{i}$ и $V_{i}$ при $i<k$.
Доказательство утверждения (б) опирается на следующую лемму:

Лемма. Если все фокусные величины системы $(A)$ до $2 \mathrm{~s}+$ $+1-$ й включительно равны нулю, то для измененной системы вида
\[
\begin{array}{l}
\frac{\mathrm{d} x_{1}}{\mathrm{~d} t}=X_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right)+\lambda\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{s} x_{1}=X_{1}^{*}\left(x_{1}, x_{2}, \lambda\right) \\
\frac{\mathrm{d} x_{2}}{\mathrm{~d} t}=X_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)+\lambda\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{s} x_{2}=X_{2}^{*}\left(x_{1}, x_{2}, \lambda\right)
\end{array}
\]

фокусные величины в функции последования $\bar{x}=P^{*}(x, \lambda)$, соответствующей системе $\left(A^{*}\right)$, до $2 \mathrm{~s}$-й включительно равны нулю, а $2 s+1$-я фокусная величина имеет вид
\[
\alpha_{2 s+1}^{*}=\frac{2 \pi \lambda}{\beta} .
\]

Справедливость утверждения леммы непосредственно вытекает из сделанных предположений и выражения для $\alpha_{2 s+1}(\lambda)$,

которое в силу (3), очевидно, имеет вид
\[
\alpha_{2 s+1}^{*}=\int_{0}^{2 \pi} \frac{\lambda\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right) \cos ^{2} \theta+\lambda\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right) \sin ^{2} \theta}{\beta} d \theta=\frac{2 \pi \lambda}{\beta} .
\]

Для доказательства утверждения (б) в предположении, что $\alpha_{2 n+1}
eq 0$, рассмотрим измененную систему вида
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x_{1}}{d t}=X_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right)+\lambda_{0} x_{1}+\lambda_{1} x_{1}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)+\ldots \\
\ldots+\lambda_{n-1} x_{1}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{n-1}, \\
\frac{d x_{2}}{d t}=X_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)+\lambda_{0} x_{2}+\lambda_{1} x_{2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)+\ldots \\
\ldots+\lambda_{n-1} x_{2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{n-1} .
\end{array}
\]

При любом заданном $\varepsilon>0$ мы можем считать параметры столь малыми, чтобы система ( $\tilde{A}$ ) была $\varepsilon$-близка до ранга $2 n+1$ к системе $(A)$. Будем обозначать функцию последования для системы ( $\tilde{A}$ ) через $\bar{x}=\tilde{P}\left(x, \lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n-1}\right)$. Очевидно, $\tilde{P}(x, 0, \ldots, 0)=P(x)$, т. е. функции последования для исходной системы ( $A$ ). Пусть для определенности у системы $(A)$ будет $\alpha_{2 n+1}>0$. Тогда, очевидно, для системы $(A)$ мы имеем
\[
\check{V}(x, 0, \ldots, 0)=\check{P}(x, 0, \ldots, 0)-x=\alpha_{2 n+1} x^{n}+\ldots
\]

при всех $x>0$. Зафиксируем некоторое $x_{1}>0$, настолько малое, чтобы мы имели $\bar{V}\left(x_{1}, 0, \ldots, 0\right)>0$. Положим теперь в измененной системе $(A) \lambda_{0}=\lambda_{1}=\ldots=\lambda_{n-2}=0, \lambda_{n-1}
eq 0$. Предполагая $\beta>0$, возьмем $\lambda_{n-1}<0$, столь малое, чтобы при $x=x_{1}$ мы имели бы $\bar{D}\left(x_{1}, 0, \ldots, 0, \lambda_{n-1}\right)>0$, что, очевидно, всегда возможно.
С другой стороны, так как в силу леммы мы имеем
\[
\widetilde{V}\left(x, 0, \ldots, 0, \lambda_{n-1}\right)=\frac{2 \pi \lambda_{n-1}}{\beta} x+\ldots
\]

и так как $\lambda_{n-1}<0$, то всегда можем взять такое достаточно малое $x_{2}>0$, чтобы мы имели $\tilde{
abla}\left(x_{2}, 0, \ldots, 0, \lambda_{n-1}\right)<0$. Далее, рассматривая систему ( $\AA$ ) при условии, что $\lambda_{0}=\lambda_{1}=\ldots$ $\ldots=\lambda_{n-3}=0, \lambda_{n-2}>0$, и рассуждая аналогично, т.е. выбирая $\lambda_{n-2}>0$ достаточно малым, можем найти такое число $x_{3}$, что $x_{3}<x_{2}<x_{1}$ и
\[
\begin{array}{c}
\check{V}\left(x_{3}, 0, \ldots, 0, \lambda_{n-2}, \lambda_{n-1}\right)>0, \tilde{V}\left(x_{2}, 0, \ldots, 0, \lambda_{n-1}\right)<0, \\
\tilde{V}\left(x_{1}, 0_{1} \ldots, 0, \lambda_{n-1}\right)>0 .
\end{array}
\]

Рассуждая далее аналогично и принимая во внимание, что при $\lambda_{0}
eq 0$ в функции последования $\bar{x}=\tilde{P}\left(x, \lambda_{0}, \ldots, \lambda_{n-1}\right)$ будет $\tilde{\alpha}_{1}=\exp \left\{\frac{2 \pi \lambda_{0}}{\beta}\right\}$, мы получим последовательность значений $x_{1}>x_{2}>\ldots>x_{n}>0$, таких, что
\[
\begin{array}{c}
V\left(x_{i}, \lambda_{0}, \ldots, \lambda_{n-1}\right)>0, \text { если } i \text { нечетное, } \\
\widetilde{V}\left(x_{i}, \lambda_{0}, \ldots, \lambda_{n-1}\right)<0, \text { если } i \text { четное. }
\end{array}
\]

Отсюда очевидно, что функция $V\left(x, \lambda_{0}, \ldots, \lambda_{n-1}\right)$ при выбранных $\lambda_{i}$ обращается в нуль между каждыми двумя значениями $x_{i}$ и $x_{i+1}$ и между $O$ и $x_{n}$, т. е. имеет $n$ корней. Так как нули этой функции соответствуют замкнутым траекториям, то отсюда очевидно вытекает, что система ( $\tilde{A}$ ) при надлежащем выборе параметров $\lambda_{i}$ (при этом, очевидно, можно взять $\lambda_{i}$ столь малыми, чтобы система ( $\tilde{A}$ ) была $\delta$-близка до ранга $2 n+1$ к системе $(A)$ ) будет иметь в $\varepsilon$-окрестности состояния равновесия $O(0,0) n$ замкнутых траекторий ${ }^{1}$ ).
Если отказаться от условия Хопфа
\[
\left.\frac{d}{d \mu} \operatorname{Re} \lambda(\mu)\right|_{\mu=0}
eq 0,
\]

то окажется возможным также и рождение предельного цикла из особой точки типа центр. Вот простой пример:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=-y+\mu\left(x^{2}+y^{2}-\mu\right) x, \\
\frac{d y}{d t}=x+\mu\left(x^{2}+y^{2}-\mu\right) y .
\end{array}
\]

Очевидно, что $x^{2}+y^{2}-\mu=0$ есть интегральная кривая системы. Кривой контактов траекторий системы с кривыми семейства окружностей $x^{2}+y^{2}=h$ будет $\mu\left(x^{2}+y_{2}\right)\left(x^{2}+\right.$ $\left.+y^{2}-\mu\right)=0$, и потому $x^{2}+y^{2}=\mu$ есть предельный цикл. Он возникает из точки $x=y=0$ при возрастании $\mu$ от нуля.

Предположим теперь, что состояние равновесия $O(0,0)$ системы является центром. Пусть $k>0$-какое-нибудь целое число.
Рассмотрим измененную систему
\[
\begin{aligned}
\frac{d x_{1}}{d t}=X_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right)+\lambda_{0} x_{1}+\lambda_{1}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right) & x_{1}+\ldots \\
\ldots & +\lambda_{k}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{k} x_{1}, \\
\frac{d x_{2}}{d t}=X_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)+\lambda_{0} x_{2}+\lambda_{1}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right) & x_{2}+\ldots \\
\ldots & +\lambda_{k}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{k} x_{2} .
\end{aligned}
\]
1) В работе Такенса [2] устанавливается возможность появления однөй, двух и трех замкнутых траекторий.

Здесь имеет место вторая теорема А. А. Андронова и Е. А. Леонтович [1].

Теорема. Если особая точка $O$ системы $(A)$ является центром, то (а) существуют $\varepsilon_{0}>0$ и $\lambda_{0}>0$, такие, что при всех $\lambda_{i},\left|\lambda_{i}\right|<\lambda_{0}$, у системы ( $A_{\lambda}^{k}$ ) в $\varepsilon_{0}$-окрестности $O$ лежит не более $k$ замкнутых траекторий (предельных циклов);
(б) при любом $\varepsilon<\varepsilon_{0}$ и $\lambda^{*}<\lambda_{0}$ ( $\lambda^{*}>0$ ) можно указать такие значения $\lambda_{i}\left|\lambda_{i}\right|<\lambda^{*}$, при которых у системы $\left(A_{\lambda}^{k}\right)$ в є-окрестности начало $O$ лежат $k$ предельных циклов.

В случае системы в $\mathbb{R}^{n}(n \geqslant 3)$ для доказательства сформулированных теорем можно воспользоваться теоремой о центральном многообразии (см. также [3]).