Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Начнем с подробного изложения сведения к двумерному случаю. Пусть $X: N \rightarrow T(N)$ – гладкое векторное поле класса $C^{k}$ на банаховом многообразии $N$, гладко зависящее от параметра $\mu$, и $X_{\mu}(a(\mu))=0$ для всех $\mu$, где $a(\mu)$ – гладкое однопараметрическое семейство нулей $X_{\mu}$. Предположим, что для $\mu<\mu_{0}$ спектр $\sigma\left(d X_{\mu}(a(\mu))\right) \subset\{z \mid \operatorname{Re} z<0\}$, так что $a^{\prime}(\mu)-$ устойчивое состояние равновесия потока $X_{\mu}$. Чтобы узнать, применима ли бифуркационная теорема Хопфа, вычислим $d X_{\mu}(a(\mu))$. Если два простых комплексно-сопряженных ненулевых собственных значения $\lambda(\mu)$ и $\overline{\lambda(\mu)}$ с ненулевой скоростью при $\mu=\mu_{0}$ пересекают мнимую ось, а оставшаяся часть спектра $\sigma\left(d X_{\mu}(a(\mu))\right)$ лежит в левой полуплоскости и отделена от мнимой оси, тогда происходит рождение периодических орбит. Однако поскольку неустойчивые периодические орбиты наблюдаемы в природе лишь при наличии специальных условий (см. гл. 7), нам важно научиться определять, устойчивы или нет рождающиеся периодические орбиты. Чтобы применить теорему 3.1, мы должны свести задачу к двумерному случаю. Предположим, что мы работаем в локальной карте, т. е. $N=E$ (банахову пространству). Для упрощения обозначений предположим также, что $\mu_{0}=0$ и $a(\mu)=0$ для всех $\mu$. Пусть $X_{\mu}=\left(X_{\mu}^{1}, X_{\mu}^{2}, X_{\mu}^{3}\right)$, где $X_{u}^{1}$ и $X_{\mu}^{2}$ – координаты поля в собственном подпространстве оператора $d X_{0}(0)$, соответствующем собственным значениям $\lambda(0)$ и $\overline{\lambda(0)}$, а $X_{\mu}^{3}-$ координаты поля в подпространстве $F$, дополнительном к этому собственному подпространству. Предположим, что координаты в собственном подпространстве выбраны так, что Этого всегда можно добиться, разлагая $E$ на подпространства, соответствующие расщеплению спектра оператора $d X_{0}(0)$ на множества $\{z \mid \operatorname{Re} z<0\} \cup\{\lambda(0), \overline{\lambda(0)}\}$, как в $2 A .2$. По теореме о центральном многообразии существует центральное многообразие для потока $X=\left(X_{\mu}, 0\right)$, касающееся собственного подпространства, соответствующего $\lambda(0), \overline{\lambda(0)}$ и оси $\mu$ в точке $(0,0,0,0)$. Центральное многообразие локально может быть представлено как график функции, то есть как $\left\{\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right)\right.$ для $\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)$ из некоторой окрестности $(0,0,0)\}$. Кроме того, $f(0,0,0)=d f(0,0,0)=0$ и отображение проекции $P\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right)=\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)$ определяет локальную карту для центрального многообразия. В окрестности начала координат векторное поле $X$ касательно к центральному многообразию, так как последнее локально инвариантно относительно потока, определяемого векторным полем $X$. Рассмотрим теперь проекцию векторного поля $X$ с центрального многообразия на плоскость $\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)$ : $\hat{X}\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)=T P \circ X\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right)=\left(X_{\mu}^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right.\right.\right.$, $\mu)$ ), $\left.\quad X_{\mu}^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right), 0\right)$ в силу линейности $P$. Если положить $\widehat{X}_{\mu}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(X_{\mu}^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right), X_{\mu}^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}\right.\right.\right.$, $\mu)$ )), то $\hat{X}_{\mu}$ будет гладким однопараметрическим семейством векторных полей на $R^{2}$, таким, что $X_{\mu}(0,0)=0$ для всех $\mu$. Мы покажем, что $\hat{X}_{\mu}$ удовлетворяет условиям теоремы Хопфа (конечно, за исключением условий устойчивости). Если $\varphi_{t}$ и $\hat{\varphi}_{t}$ – потоки, определяемые векторными полями $X$ и $\bar{X}$ соответственно, то $P \circ \hat{\varphi}_{t}=\hat{\varphi}_{t} \circ P$ для точек на центральном многообразии. Поэтому, если получающиеся периодические орбиты потока $\hat{\varphi}_{t}$ не являются притягивающими, то и орбиты потока $\varphi_{t}$ не будут такими. Мы также покажем, что если начало координат – слабый аттрактор для $\hat{\varphi}_{t}$ при $\mu=0$, то замкнутые орбиты потока $\varphi_{t}$ устойчивы, Центральное многообразие обладает тем свойством, что содержит всю локальную рекуррентность потока $\varphi_{t}$, поэтому точки $(0,0,0, \mu)$ лежат на нем для всех малых $\mu$, т. е. $f(0,0, \mu)=0$ для малых $\mu$. Таким образом, $\widehat{X}_{\mu}(0,0)=\left(X_{\mu}^{\mathrm{I}}(0,0\right.$, $\left.f(0,0, \mu)), X_{\mu}^{2}(0,0, f(0,0, \mu))\right)=\left(X^{1}(0,0,0), X^{2}(0,0,0)\right)=0$. Поскольку $P \circ X=X \circ P$, то $P \circ d X=d X \circ P$ для векторов, касательных к центральному многообразию. Обычно векторное поле, касательное к центральному многообразию, имеет вид где $\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right)$ – точка приложения вектора. Поскольку нам нужно вычислить $\sigma(d \chi \mu(0,0))$, то мы будем интересоваться случаем $w=0$. Теперь То есть $d X_{\mu}^{i}(0,0,0)\left(u, v, d_{1} f(0,0, \mu) u+d_{2} f(0,0, \mu) v\right)=$ $=d \widehat{X}_{\mu}^{i}(0,0)(u, v)$ для $i=1$, 2. Пусть $\lambda \in \sigma\left(d \widehat{X}_{\mu}(0,0)\right)$. Так как $d \widehat{X}_{\mu}(0,0)$ – это $(2 \times 2)$-матрица, то $\lambda$ является собственным значением, и поэтому существует комплексный вектор $(u, v)$, такой, что $d \hat{X}_{\mu}(0,0)(u, v)=(\lambda u, \lambda v)$. Покажем, что $\lambda$ – собственное значение $d X_{\mu}(0,0,0)$, а $\left(u, v, d_{1} f(0,0, \mu) u+\right.$ $\left.+d_{2} f(0,0, \mu) v\right)$ – собственный вектор. Поскольку $X$ касателен кцентральному многообразию, то $X^{3}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right)=$ $=d_{1} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) X^{1}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right)+d_{2} f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right) \times$ $\times X^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right)$. Поэтому и В точке $(0,0,0, \mu) X^{1}=X^{2}=0$, поэтому в силу предположения о том, что $(u, v)$ является собственным вектором $d \widehat{X}_{\mu}(0,0)$ с собственным значением $\lambda$. Собственные значения $d \hat{X}_{\mu}(0,0)$ непрерывны по $\mu$, поскольку они являются корнями квадратного трехчлена. Обозначим эти корни через $\alpha_{1}(\mu)$ и $\alpha_{2}(\mu)$, так что $\alpha_{1}(0)=\lambda(0)$ и $\alpha_{2}(0)=\overline{\lambda(0)}$. Поскольку $\alpha_{1}(\mu), \quad \alpha_{2}(\mu) \in \sigma\left(d X_{\mu}(0,0,0)\right)$, то если бы $\alpha_{1}(\mu) Покажем теперь, что если $V^{\prime \prime \prime}(0)<0$ для $\bar{X}$, то замкнутая орбита потока $\varphi_{t}$ устойчива. Отображение $Q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \mu\right)=$ $=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}-f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right)$ является диффеоморфизмом окрестности $\mathcal{U}$ точки $(0,0,0,0)$ в окрестность $V$ этой же точки, где $\mathcal{U}$ выбрана настолько малой, чтобы $X$ касалось центрального многообразия $M$ в точках $\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right) \in$ $\in \mathcal{U}$. Ясно, что $\left.Q\right|_{M}=P,\left.\tilde{X}\right|_{\left\{x_{3}=0\right\}}=\hat{X}$ и $\left.\tilde{\varphi}_{t}\right|_{\left\{x_{3}=0\right\}}=\hat{\varphi}_{t}$. Поэтому задача естественно свелась к случаю векторного поля $Y_{\mu}$ на $R^{2} \oplus F$, где $R^{2}$ инвариантно относительно $Y_{\mu}$ и $Y_{\mu}$ удовлетворяет условиям теоремы Хопфа на $R^{2}$ – собственном подпространстве, соответствующем $\lambda(\mu)$ и $\overline{\lambda(\mu)}$ в точке $(0,0,0, \mu)$. Предположим, что $V^{\prime \prime \prime}(0)<0$ для $Y=Y_{\left\{x_{3}=0\right\}}$, и пусть точка $\left(x_{1}, 0,0, \mu\left(x_{1}\right)\right)$ лежит на замкнутой орбите потока $\varphi_{t}$, соответствующего векторному полю $Y$. Поскольку $R^{2}$ инвариантно, то По предположению $\left(d_{3} \varphi_{T(0)}^{3}(0,0,0,0)\right)=\left(e^{T(0)} d_{3} X^{3}(0,0,0)\right)=$ $=e^{\sigma\left(T(0) d_{3} X^{3}(0,0,0)\right)}$ лежит внутри единичной окружности. По непрерывности это же справедливо и для $\sigma\left(d_{3} \varphi_{T\left(x_{1}\right)}^{3}\left(x_{1}, 0,0\right.\right.$, $\left.\mu\left(x_{1}\right)\right)$ ). Так как $V^{\prime \prime \prime}(0)<0$, то собственные значения отображения Пуанкаре в $R^{2}$ по модулю меньше единицы, поэтому все собственные значения отображения Пуанкаре лежат внутри единичной окружности, и, следовательно, траектория является устойчивой (см. гл. 2B). Вывод. Мы показали, что задача об устойчивости замкнутых орбит потока $X_{\mu}$ сводится к задаче об устойчивости замкнутых траекторий потока $\hat{X}_{\mu}$, где $\hat{X}_{\mu}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(X_{\mu}^{1}\left(x_{1}, x_{2}\right.\right.$, $\left.f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right), X_{\mu}^{2}\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right)$ ). При этом координаты выбирались так, чтобы $x_{1}, x_{2}$ были координатами в собственном подпространстве $d X_{0}(0,0,0)$, а третья компонента лежала в дополнительном подпространстве $F$. Множество $\left\{\left(x_{1}, x_{2}, f\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), \mu\right) \mid\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right)\right.$ лежит в окрестности точки $(0,0,0)\}$ и является центральным многообразием.
|
1 |
Оглавление
|
