(8A.10) Определения. Пусть $F_{t}$ – поток (или полупоток) на метрическом пространстве $N$, например на банаховом многообразии. Мы скажем, что $F_{t}$ липшиц-непрерывен, если для каждого $t$ существует постоянная $M_{t}$, при которой
\[
d\left(F_{t} x, F_{t} y\right) \leqslant M_{t} \cdot d(x, y), \quad \forall x, y \in N .
\]

Наименьшая такая постоянная называется нормой Липшица, $\left\|F_{t}\right\|_{\text {Lip }}$.

Мы скажем, что $F_{t}$ локально липшиц-непрерывен, если для каждых $x_{0} \in N$ и $t_{0} \in \mathbb{R}$ существуют окрестность $\mathcal{U}$ точки $x_{0}$ и число $\varepsilon>0$, такие, что $d\left(F_{t} x, F_{t} y\right) \leqslant$ $\leqslant M\left(t_{0}, x_{0}\right) d(x, y)$ для всех $x, y
i \mathcal{U}$ и $t \in\left[t_{0}-\varepsilon, t_{0}+\varepsilon\right]$. Если за $\mathcal{U}$ можно взять любое ограниченное множество, мы скажем, что поток $F_{t}$ полунепрерывен по Липшицу (этот термин введен Сегалом). Отметим, что $C^{1}$-потоки локально липшиц-непрерывны.

Пусть $F_{t}$ – непрерывный липшиц-непрерывный поток и пусть $M_{t}=\left\|F_{t}\right\|_{\text {L. }}$. Тогда (как и в линейном случае) имеем оценку вида
\[
M_{t} \leqslant M e^{\beta|t|},
\]

где $M, \beta$ – постоянные. Действительно, заметим, что $M_{t}$ полумультипликативна: $M_{s+t} \leqslant M_{s} \cdot M_{t}$; это немедленно следует из группового свойства потока. Более того, мы знаем, что
\[
M_{t}=\sup _{x
eq y} d\left(F_{t} x, F_{t} y\right) / d(x, y) .
\]

Таким образом, $M_{t}$ полунепрерывна снизу, будучи точной верхней гранью семейства непрерывных функций. В частности, $M_{t}$ измерима. Но тогда рассуждения Хилле и Филлипса ([1], теорема 7.6.5) показывают, что (8А.4) выполнено для некоторых постоянных $M, \beta$.