(9.7) Теорема. Пустб выполнены условия П1), П2), П3) и дополнительно условие

П4) $J_{t}: \quad \mathbb{E}_{2} \rightarrow \mathbb{E}_{1}$-отображение класса $C^{\infty}$ с производными, непрерывно зависящими от $t$.

Тогда полупоток на $\mathbb{E}_{2}$, определяемый уравнением (9.1), является полупотоком класса $C^{\infty}$, т. e. каждое $W\left(t, t_{0}\right)$ класса $C^{\infty}$, а его производные непрерывно зависят от $t$ в сильной топологии (см. гл. 8).

Доказательство. Проверим условия теоремы (8A.31). В нашем случае $X=\mathbb{E}_{0}$ и $Y=\mathbb{E}_{2}, D=Y$. Из предположений теоремы следует, что условие (а) теоремы 8A.31 наверняка выполняется. Так как $Z\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)$ — оператор того же типа, что и рассмотренный выше, то из (9.4) следует, что условие (б) выполняется, (в) выполняется в силу доказанной в (9.4) липшиц-непрерывности $W\left(t, t_{0}\right)$ в $\mathbb{E}_{2}$. Условие (г), очевидно, выполнено. Следовательно, $W\left(t, t_{0}\right): \quad \mathbb{E}_{2} \rightarrow \mathbb{E}_{2}$ дифференцируемо по Гато.

Эта процедура может быть повторена. Те же самые рассуждения можно применить к полупотоку
\[
\widetilde{W}\left(t, t_{0}\right)(\varphi, \psi)=\left(W\left(t, t_{0}\right) \varphi, D W\left(t, t_{0}\right) \varphi \cdot \psi\right),
\]

действующему в $\mathbb{E}_{2} \times \mathbb{E}_{2}$. Следовательно, отображение $W$. класса $C^{1}$ (см. 8A.32)) и по индукции класса $C^{\infty}$.

Для уравнения (9.1) не обязательно использовать всю технику гл. 8А, в частности тонкие результаты о зависимости решений эволюционных уравнений от времени. Действительно, можно прямо доказать (9.7) тем же методом, что и теорему (8A.31). Однако желательно получать результаты такого типа с единой точки зрения.
(9.8) Задача. Предположим дополнительно, что
П5) $A$ порождает аналитическую полугруппу.
Показать, что при $t>0$ и $\varphi \in \mathbb{E}_{1}, \quad \varphi(t)$ лежит в области определения любой степени $A$ и что $\varphi(t)$ — функция от $t$ класса $C^{\infty}$ для $t>0$. (Указание: использовать (8А.33).) Показать также гладкость по $v$, если $A$ заменено на $v A$ (см. замечания, следующие за (8A.33)).

Более внимательный анализ показывает, что в действительности для уравнения Навье — Стокса отображения $W\left(t, t_{0}\right)$ принадлежат к классу $C^{\infty}$ на $\tilde{H}^{1}$ (т. е. предположение ПЗ) не нужно). См. по этому поводу Вейслер [1].

Таким образом, мы доказали требуемую гладкость для уравнений Навье — Стокса, поэтому доказательство (9.2) и, следовательно, бифуркационных теорем для этих уравнений обосновано.