Таким образом, мы сосредоточим свое внимание на бифуркации для диффеоморфизма. Первое, что мы сделаем, это сведем задачу к двумерной ${ }^{1}$ ) с помощью теоремы о центральном многообразии, точно так же как мы сделали это для потоков. Предположим, что имеется однопараметрическое семейство диффеоморфизмов $\Phi_{\mu}: Z \rightarrow Z, \Phi_{\mu}(0)=0$, и единичную окружность пересекает одна пара комплексносопряженных простых собственных значений оператора $d \Phi_{\mu}(0)$, когда $\mu$, возрастая, проходит через нуль. Теорема о центральном многообразии, примененная к отображению $\Psi:(x, \mu) \longmapsto\left(\Phi_{\mu}(x), \mu\right)$, дает тогда локально инвариантное трехмерное многообразие $M$. Слои $M_{\mu}$ ( $\mu=$ const) задают семейство многообразий, которые с помощью фиксированной координатной карты можно отождествить с одним из них, скажем $M_{0}$. Тогда на $M_{0}$ индуцируется семейство диффеоморфизмов, содержащих всю рекуррентность. Таким образом, все сводится к следующей задаче (опуская вопрос о «глобальной» устойчивости): имеется однопараметрическое семейство диффеоморфизмов $\Phi_{\mu}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$, удовлетворяющих условиям
(a) $\Phi_{\mu}(0,0)=(0,0)$;
(б) $d \Phi_{\mu}(0,0)$ имеет два комплексных (с ненулевой мнимой частью) собственных значения $\lambda(\mu), \overline{\lambda(\mu)}$, таких, что при $\mu<0|\lambda(\mu)|<1$, а при $\mu>0|\lambda(\mu)|>1$;
(в) $\left.\frac{d|\lambda(\mu)|}{d \mu}\right|_{\mu=0}>0$.
Делая перепараметризацию, мы можем считать, что собственные значения имеют вид $(1+\mu) e^{ \pm i \theta(\mu)}$. С помощью гладкой, зависящей от $\mu$ замены координат, $d \Phi_{\mu}(0,0)$ можно привести к виду
\[
d \Phi_{\mu}(0,0)=(1+\mu)\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta(\mu)-\sin \theta(\mu) \\
\sin \theta(\mu) & \cos \theta(\mu)
\end{array}\right) .
\]