Аналогия между (9В.1) и (9В.2) в задачах Тейлора и Бенара подсказала авторам работы абстрактную формулировку задачи о бифуркации и устойчивости. В этой части я хочу вкратце описать идею, следуя которой авторы переходят от дифференциальных уравнений (9В.1) и (9В.2) к соответствующим эволюционным уравнениям в некотором гильбертовом пространстве.

Мы можем рассматривать $D$ как открытое подмножество ${\mathbb{R}}^3$ с границей $\partial D$, являющейся двумерным многообразием класса $C^2$. $T_1$ будет обозначать группу сдвигов, а $\mathrm{\Omega }$ — ее фундаментальную область, которую мы будем считать ограниченной. Допустим, что $D=\bigcup _{T\in T_1}T\mathrm{\Omega }$. Рассмотрим теперь следующие множества (сl обозначает замыкание): $C^{T,\mathrm{\infty }}(\overline{D})=$ $=\{\omega \mid \omega :\mathrm{cl}(D)\to R^n$, бесконечно дифференцируемое в $\mathrm{cl}(D)$, $\omega (Tx)=\omega (x),T\in T_1\}$,
$$\begin{array}{l}{C}_0^{T,\mathrm{\infty }}(D)={\{\omega \mid \omega \in C^{T,\mathrm{\infty }}(\overrightarrow{D}),\text{ supp }\omega \subset D\}}^1),\\ C_{0,\mathrm{\infty }}^{T,\mathrm{\infty }}(D)=\{\omega \mid \omega \in C_0^{T,\mathrm{\infty }}(D),abla\cdot u(x)=0,\omega =(u,v),u\in {\mathbb{R}}^3\}.\end{array}$$
1) $\mathrm{supp}\omega -$ носитель $\omega$, т. е. замыкание множества тех $x\in R^3$, где $\omega (x)eq0$. — рим. перев.

Определим
$$(v,\omega {)}_m=\sum _{|\gamma |⩽m}(D^{\gamma }v,D_{\omega }^{\gamma }),|v{|}_m={\{(v,v{)}_m\}}^{\frac{1}{2}},$$

где
$${(D^{\gamma }v,D^{\gamma }\omega )}_2={\int }_{\omega }(D^{\gamma }v(x)\cdot D^{\gamma }\omega (x))dx$$

а $\gamma$-мультииндекс длины 3. При этом получаются следующие гильбертовы пространства:
$L_2^T$ — замыкание пространства $C_0^{T,\mathrm{\infty }}(D)$ по норме | lo,
${}^{\circ }T$ — замыкание пространства $C_{0,\sigma }^{T,\mathrm{\infty }}(D)$ по норме $\mid$ lo,
${\stackrel{\circ }{H}}_{1,\sigma }^T$ — замыкание пространства $C_{0,\sigma }^T,\mathrm{\infty }(D)$ по норме ||${}_1$,
$H_m^T$ — замыкание пространства $C^{T,\mathrm{\infty }}(\overline{D})$ по норме ||${}_m$,
Для задачи Тейлора $n=3,D=(r_1,r_2)\times [0,2\pi ),\mathrm{\Omega }=$ $=(r_1,r_2)\times [0,2\pi )\times [0,2\pi /\sigma )$, а для задачи Бенара $n=4$, $D=R^2\times (0,1),R$ — действительные числа, $\mathrm{\Omega }=[0,2\pi /\alpha )\times$ $\times [0,2\pi /\beta )\times (0,1)$. Мы можем считать, что операторы в дифференциальных уравнениях (9В.1) или (9В.2) действуют в $L_2^T$.

В силу леммы Вейля $L_2^T$ можно представить в виде $L_2^T=$ $={\stackrel{\circ }{J}}^T\oplus G^T$, где $G^T$ содержит множества вида $ablaq$, для которых $q\in H_1^T$. Используя ортогональную проекцию $P:L_2^T\to {\text{AA}}^T$, перейдем от дифференциального уравнения $D_t\omega -\mathrm{\Delta }\omega +$ $+\lambda L(V)\omega +\lambda ablaq=-\lambda N(\omega )$ с дополнительным условием периодичности и граничными условиями к дифференциальному уравнению на $J^T$. Если мы выберем $q\in H_1^T$, то $Pablaq=0$, а так записать новое уравнение на $J^T$ как
$$\frac{d\omega }{dt}+P\overline{\mathrm{\Delta }}\omega +\lambda PL(V)\omega =-\lambda PN(\omega )$$

с начальным условием ${\omega |}_{t=0}={\omega }^0$.
Авторы работы записывают (9B.3) в виде
$$\frac{d\omega }{dt}+\stackrel{`}{A}(\lambda )\omega +h(\lambda )R(\omega )=0,{\omega |}_{t=0}={\omega }^0,$$

где $\tilde{A}(\lambda )=P\dot{\mathrm{\Delta }}+\lambda PL(V),R(\omega )=PN(\omega )$, а $h(\lambda )=\lambda$ для задачи Тейлора и $h(\lambda )=1$ для задачи Бенара. Используя результаты Като — Фуджиты, они показывают, что можно определить дробные степени оператора $\tilde{A}(\lambda )$ :
$$A(\lambda {)}^{-\beta }=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\beta )}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\exp [-\tilde{A}(\lambda )t]t^{\beta -1}dt,\beta >0,$$

причем этот оператор обратим. Этот факт полезен при решении некоторых бифуркационных задач в стационарном случае. Если $A=P\hat{\mathrm{\Delta }},M(V)=PL(V)$, то стационарное уравне. ние, получаемое из уравнения (9B.3), таково:
(SP)
$$A\omega +\lambda M(V)\omega +h(\lambda )R(\omega )=0,$$

где $V$-любое известное стационарное решение, $V$ принадлежит области определения $A$.
Сделаем замену $A^{3/4}\omega =v$ и обозначим
$$K(V)=A^{-1/4}M\left(Y^{\prime }\right)A^{-3/4},T(v)=A^{-1/4}R\left(A^{-3/4}v\right).$$

Тогда можно записать уравнение (SP) в виде
$$v+\lambda K(V)v+h(\lambda )T(v)=0.$$

Пользуясь теоремой Красносельского, можно доказать следующую теорему:

Теорема 4.1. Пусть ${\lambda }_j\in \mathbb{R},{\lambda }_{j}eq0$ и ${(-{\lambda }_j)}^{-1}$ — нечетнократное собственное значение оператора K. Тогда
(1) в каждой окрестности точки $({\lambda }_1,0)$ в $R\times$ j ${}^T$ существует точка $(\lambda ,\omega ),0eq\omega \in D(A)$, такая, что $\omega$ является решением стационарного уравнения (SP);
(2) если ${(-{\lambda }_j)}^{-1}$ — простое собственное значение, то существует единственная кривая $(\lambda (\alpha ),\omega (\alpha ))$, такая, что $\omega (\alpha )eq0$ при $\alpha eq0$, и является решением уравнения (SP), причем $(\lambda (0),\omega (0))=({\lambda }_j,0)$.

Если теперь мы предположим, что $V\in C(\overline{\mathrm{\Omega }}),a\partial D$ является $C^{\mathrm{\infty }}$-многообразием (это выполняется для задач Тейлора и Бенара), и рассмотрим решения (SP) в пространстве $H_{m+2}\bigcap H_{1,\sigma },m>3/2$, то уравнение (SP) можно записать в виде
$$\text{ (SP) }{A}_m\omega +\lambda M\omega +h(\lambda )R(\omega )=0,$$

где $A_m$ — оператор, область определения которого $D\left(A_m\right)=$ $=H_{m+2}\cap H_{1,\sigma }\subset P{H}_m,A_m(\omega )=A\omega ,\omega \in D(A)$. Если в дополнение к этому мы рассмотрим в равенстве $R(\omega )=PN(\omega )$ в качестве $N(\omega )$ произвольный полиномиальный оператор от операторов дифференцирования до второго порядка и положим $K_m=M{A}_m^{-1}$, то мы можем получить следующую теорему:

Теорема 4.2. Пусть $V\in C(\overline{D})$ и $\partial D-C^{\mathrm{\infty }}$-многообразие. Предположим, что существуют постоянные $C_1,C_2$, такие, что $|M\omega {|}_{m+1}⩽C_1|\omega {|}_{m+2},{\left|M{A}_m^{-1}\omega \right|}_{m+1}⩽C_2|\omega {|}_m$.

Тогда для каждого нечетнократного собственного значения ${(-{\lambda }_j)}^{-1}$ оператора $K_m,{\lambda }_{j}eq0$, точка $({\lambda }_j,0)$ является точкой бифуркации уравнения ( ${\mathrm{S}}^{\prime })$. Решение ш принадлежит $C(\overline{D})$ и удовлетворяет граничному условию ${\omega |}_{\partial р}=0$.

Эта теорема показывает, что для ответвляющихся решений можно получить сильную регулярность. Отметим также, что теоремы 4.1 и 4.2 сводят вопрос существования решений уравнения (SP) к изучению спектра операторов $K$ или $K_m$.

Применим теперь эти теоремы к задачам Тейлора и Бенара.

Задача Tейлора. Выберем здесь $K=A^{-1/4}M\left(v^0\right)A^{-3/4}$, где $v^0$ — решение Куэтта. В цилиндрических координатах это решение есть $v^0(0,v_{\phi }^0,0)$, где $v_{\phi }^0=ar+\frac{b}{r}$,
$$a=\frac{1}{r_1{\omega }_1}\frac{{\omega }_2{r}_2^2-{\omega }_1{r}_1^2}{r_2^2-r_1^2},b=\frac{1}{r_1{\omega }_1}\frac{({\omega }_1-{\omega }_2)r_1^2{r}_2^2}{r_2^2-r_1^2}.$$

Для $a⩾0,v_{\phi }^0⩾0$ Синг показал, что течение Куэтта локально устойчиво. Для $a<0,v_{\phi }^0(r)>0$ Вельте и Юдович для оператора $K$ доказали следующую теорему:

Теорема 4.3. Пусть $a<0,v_{\phi }^0(r)>0$ при $r\in (r_1,r_2),T_1-$ группа сдвигов, порожденная отображениями $z\to z+2\pi /\sigma$, $\phi \to \phi +2\pi ,\sigma >0$. Тогда для всех $\sigma >0$, за исключением не более чем счетного множества положительных чисел, существует счетное множество действительных простых собственных значений ${(-{\lambda }_i)}^{-1}$ оператора К. Каждая точка $({\lambda }_i,0)\in$ $\in \mathbb{R}\times D(A)$ для стационарной задачи является точкой бифуркации, в которой появляется в точности одно нетривиальное решение $(\lambda (\alpha ),\omega (\alpha ))$. Эти решения являются вихрями Тейлора ${}^1)$.

Экспериментальные данные свидетельствуют, что все решения, ветвящиеся из точки $({\lambda }_i,0)$, при ${\lambda }_{i}eq{\lambda }_1$ неустойчивы, однако доказательство этого утверждения неизвестно.
1) Вихрю Тейлора соответствует первая точка бифуркации $({\lambda }_1,0)$. Прим. перев.

Задача Бенара. Если $\lambda =\alpha g(T_0-T_1)h^3/v^2,\sigma ={({\alpha }^2+{\beta }^2)}^{1/2}$, $\alpha ,\beta$ как на стр. 247 , то, как известно, существует некоторое ${\lambda }_1(\sigma )$, такое, что при $\lambda \in [0,{\lambda }_1]\omega =0$ является единственным решением стационарной задачи. Бифуркационная картина здесь определяется спектром оператора $K=A^{-1/4}M\left(v^0\right)A^{-3/4}$, где $v^0$ в декартовых координатах задается выражением
$$v^0=0,P\left(x_3\right)=-\frac{g{h}^3}{v^2}(x_3+\alpha (T_0-T_1)),{\theta }_0\left(x_3\right)=-x_3.$$

Чтобы сделать собственные значения простыми, В. И. Юдович вводит четные решения $u(-x)=(-u_1(x),-u_2(x),u_3(x))$, $\theta (-x)=\theta (x),q(-x)=-q(x)$, и доказывает в работах «О возникновении конвекции» (Юдович [6]) и «Свободная конвекция и ветвление» (ПММ, 1967, т. 31, вып. 1) следующую теорему:

Теорема 4.6. (1) $В$ задаче Бенара для почти всех $\alpha$ и $\beta$ существует счетное множество простых положительных характеристических чисел ${\lambda }_i$. Точки $({\lambda }_i,0)\in \mathbb{R}\times D(A)$ являются точками бифуркации.
(2) $Еслиn,\alpha ,\beta$ выбраны в соответствии с замечанием на стр. 247, то ветвям, выходящим из точки $({\lambda }_i,0)$, соответствуют: дважды периодические ячейки, валы, шестиугольные, прямоугольные и треугольнєие ячейки.
(3) Если ${\lambda }_1$ обозначает наименьшее характеристическое число, то нетривиальное решение появляется справа от ${\lambda }_1$ (по $\omega (\lambda )=\pm {(\lambda -{\lambda }_1)}^{1/2}F(\lambda )$, где $F:R\to D(A)$ голоморфная по ${(\lambda -{\lambda }_1)}^{1/2}$ функция.

Интересно отметить следующий факт: поскольку характеристические числа определяются только значением $\sigma$, то мы можем рассматривать различные $\alpha ,\beta$ с одним и тем же $\sigma$ и получать решения любой возможной пространственной структуры, появляющиеся в точке бифуркации.