Аналогия между (9В.1) и (9В.2) в задачах Тейлора и Бенара подсказала авторам работы абстрактную формулировку задачи о бифуркации и устойчивости. В этой части я хочу вкратце описать идею, следуя которой авторы переходят от дифференциальных уравнений (9В.1) и (9В.2) к соответствующим эволюционным уравнениям в некотором гильбертовом пространстве.

Мы можем рассматривать $D$ как открытое подмножество $\mathbb{R}^{3}$ с границей $\partial D$, являющейся двумерным многообразием класса $C^{2}$. $T_{1}$ будет обозначать группу сдвигов, а $\Omega$ – ее фундаментальную область, которую мы будем считать ограниченной. Допустим, что $D=\bigcup_{T \in T_{1}} T \Omega$. Рассмотрим теперь следующие множества (сl обозначает замыкание): $C^{T, \infty}(\bar{D})=$ $=\left\{\omega \mid \omega: \mathrm{cl}(D) \rightarrow R^{n}\right.$, бесконечно дифференцируемое в $\mathrm{cl}(D)$, $\left.\omega(T x)=\omega(x), T \in T_{1}\right\}$,
\[
\begin{array}{l}
\left.C_{0}^{T, \infty}(D)=\left\{\omega \mid \omega \in C^{T, \infty}(\vec{D}), \text { supp } \omega \subset D\right\}^{1}\right), \\
C_{0, \infty}^{T, \infty}(D)=\left\{\omega \mid \omega \in C_{0}^{T, \infty}(D),
abla \cdot u(x)=0, \omega=(u, v), u \in \mathbb{R}^{3}\right\} .
\end{array}
\]
1) $\operatorname{supp} \omega-$ носитель $\omega$, т. е. замыкание множества тех $x \in R^{3}$, где $\omega(x)
eq 0$. – рим. перев.

Определим
\[
(v, \omega)_{m}=\sum_{|\gamma| \leqslant m}\left(D^{\gamma} v, D_{\omega}^{\gamma}\right),|v|_{m}=\left\{(v, v)_{m}\right\}^{\frac{1}{2}},
\]

где
\[
\left(D^{\gamma} v, D^{\gamma} \omega\right)_{2}=\int_{\omega}\left(D^{\gamma} v(x) \cdot D^{\gamma} \omega(x)\right) d x
\]

а $\gamma$-мультииндекс длины 3. При этом получаются следующие гильбертовы пространства:
$L_{2}^{T}$ – замыкание пространства $C_{0}^{T, \infty}(D)$ по норме | lo,
${ }^{\circ} T$ – замыкание пространства $C_{0, \sigma}^{T, \infty}(D)$ по норме $\mid$ lo,
$\stackrel{\circ}{H}_{1, \sigma}^{T}$ – замыкание пространства $C_{0, \sigma}^{T}, \infty(D)$ по норме ||$_{1}$,
$H_{m}^{T}$ – замыкание пространства $C^{T, \infty}(\bar{D})$ по норме ||$_{m}$,
Для задачи Тейлора $n=3, D=\left(r_{1}, r_{2}\right) \times[0,2 \pi), \Omega=$ $=\left(r_{1}, r_{2}\right) \times[0,2 \pi) \times[0,2 \pi / \sigma)$, а для задачи Бенара $n=4$, $D=R^{2} \times(0,1), R$ – действительные числа, $\Omega=[0,2 \pi / \alpha) \times$ $\times[0,2 \pi / \beta) \times(0,1)$. Мы можем считать, что операторы в дифференциальных уравнениях (9В.1) или (9В.2) действуют в $L_{2}^{T}$.

В силу леммы Вейля $L_{2}^{T}$ можно представить в виде $L_{2}^{T}=$ $=\stackrel{\circ}{J}^{T} \oplus G^{T}$, где $G^{T}$ содержит множества вида $
abla q$, для которых $q \in H_{1}^{T}$. Используя ортогональную проекцию $P: L_{2}^{T} \rightarrow \AA^{T}$, перейдем от дифференциального уравнения $D_{t} \omega-\Delta \omega+$ $+\lambda L(V) \omega+\lambda
abla q=-\lambda N(\omega)$ с дополнительным условием периодичности и граничными условиями к дифференциальному уравнению на $J^{T}$. Если мы выберем $q \in H_{1}^{T}$, то $P
abla q=0$, а так записать новое уравнение на $J^{T}$ как
\[
\frac{d \omega}{d t}+P \bar{\Delta} \omega+\lambda P L(V) \omega=-\lambda P N(\omega)
\]

с начальным условием $\left.\omega\right|_{t=0}=\omega^{0}$.
Авторы работы записывают (9B.3) в виде
\[
\frac{d \omega}{d t}+\grave{A}(\lambda) \omega+h(\lambda) R(\omega)=0,\left.\omega\right|_{t=0}=\omega^{0},
\]

где $\tilde{A}(\lambda)=P \dot{\Delta}+\lambda P L(V), R(\omega)=P N(\omega)$, а $h(\lambda)=\lambda$ для задачи Тейлора и $h(\lambda)=1$ для задачи Бенара. Используя результаты Като – Фуджиты, они показывают, что можно определить дробные степени оператора $\widetilde{A}(\lambda)$ :
\[
A(\lambda)^{-\beta}=\frac{1}{\Gamma(\beta)} \int_{0}^{\infty} \exp [-\widetilde{A}(\lambda) t] t^{\beta-1} d t, \quad \beta>0,
\]

причем этот оператор обратим. Этот факт полезен при решении некоторых бифуркационных задач в стационарном случае. Если $A=P \widehat{\Delta}, M(V)=P L(V)$, то стационарное уравне. ние, получаемое из уравнения (9B.3), таково:
(SP)
\[
A \omega+\lambda M(V) \omega+h(\lambda) R(\omega)=0,
\]

где $V$-любое известное стационарное решение, $V$ принадлежит области определения $A$.
Сделаем замену $A^{3 / 4} \omega=v$ и обозначим
\[
K(V)=A^{-1 / 4} M\left(Y^{\prime}\right) A^{-3 / 4}, T(v)=A^{-1 / 4} R\left(A^{-3 / 4} v\right) .
\]

Тогда можно записать уравнение (SP) в виде
\[
v+\lambda K(V) v+h(\lambda) T(v)=0 .
\]

Пользуясь теоремой Красносельского, можно доказать следующую теорему:

Теорема 4.1. Пусть $\lambda_{j} \in \mathbb{R}, \lambda_{j}
eq 0$ и $\left(-\lambda_{j}\right)^{-1}$ – нечетнократное собственное значение оператора K. Тогда
(1) в каждой окрестности точки $\left(\lambda_{1}, 0\right)$ в $R \times$ j $^{T}$ существует точка $(\lambda, \omega), 0
eq \omega \in D(A)$, такая, что $\omega$ является решением стационарного уравнения (SP);
(2) если $\left(-\lambda_{j}\right)^{-1}$ – простое собственное значение, то существует единственная кривая $(\lambda(\alpha), \omega(\alpha))$, такая, что $\omega(\alpha)
eq 0$ при $\alpha
eq 0$, и является решением уравнения (SP), причем $(\lambda(0), \omega(0))=\left(\lambda_{j}, 0\right)$.

Если теперь мы предположим, что $V \in C(\bar{\Omega}), a \partial D$ является $C^{\infty}$-многообразием (это выполняется для задач Тейлора и Бенара), и рассмотрим решения (SP) в пространстве $H_{m+2} \bigcap H_{1, \sigma}, m>3 / 2$, то уравнение (SP) можно записать в виде
\[
\text { (SP) } \quad A_{m} \omega+\lambda M \omega+h(\lambda) R(\omega)=0,
\]

где $A_{m}$ – оператор, область определения которого $D\left(A_{m}\right)=$ $=H_{m+2} \cap H_{1, \sigma} \subset P H_{m}, A_{m}(\omega)=A \omega, \omega \in D(A)$. Если в дополнение к этому мы рассмотрим в равенстве $R(\omega)=P N(\omega)$ в качестве $N(\omega)$ произвольный полиномиальный оператор от операторов дифференцирования до второго порядка и положим $K_{m}=M A_{m}^{-1}$, то мы можем получить следующую теорему:

Теорема 4.2. Пусть $V \in C(\bar{D})$ и $\partial D-C^{\infty}$-многообразие. Предположим, что существуют постоянные $C_{1}, C_{2}$, такие, что $|M \omega|_{m+1} \leqslant C_{1}|\omega|_{m+2},\left|M A_{m}^{-1} \omega\right|_{m+1} \leqslant C_{2}|\omega|_{m}$.

Тогда для каждого нечетнократного собственного значения $\left(-\lambda_{j}\right)^{-1}$ оператора $K_{m}, \lambda_{j}
eq 0$, точка $\left(\lambda_{j}, 0\right)$ является точкой бифуркации уравнения ( $\left.\mathrm{S}^{\prime}\right)$. Решение ш принадлежит $C(\bar{D})$ и удовлетворяет граничному условию $\left.\omega\right|_{\partial р}=0$.

Эта теорема показывает, что для ответвляющихся решений можно получить сильную регулярность. Отметим также, что теоремы 4.1 и 4.2 сводят вопрос существования решений уравнения (SP) к изучению спектра операторов $K$ или $K_{m}$.

Применим теперь эти теоремы к задачам Тейлора и Бенара.

Задача Tейлора. Выберем здесь $K=A^{-1 / 4} M\left(v^{0}\right) A^{-3 / 4}$, где $v^{0}$ – решение Куэтта. В цилиндрических координатах это решение есть $v^{0}\left(0, v_{\varphi}^{0}, 0\right)$, где $v_{\varphi}^{0}=a r+\frac{b}{r}$,
\[
a=\frac{1}{r_{1} \omega_{1}} \frac{\omega_{2} r_{2}^{2}-\omega_{1} r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}, b=\frac{1}{r_{1} \omega_{1}} \frac{\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) r_{1}^{2} r_{2}^{2}}{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}} .
\]

Для $a \geqslant 0, v_{\varphi}^{0} \geqslant 0$ Синг показал, что течение Куэтта локально устойчиво. Для $a<0, v_{\varphi}^{0}(r)>0$ Вельте и Юдович для оператора $K$ доказали следующую теорему:

Теорема 4.3. Пусть $a<0, v_{\varphi}^{0}(r)>0$ при $r \in\left(r_{1}, r_{2}\right), T_{1}-$ группа сдвигов, порожденная отображениями $z \rightarrow z+2 \pi / \sigma$, $\varphi \rightarrow \varphi+2 \pi, \sigma>0$. Тогда для всех $\sigma>0$, за исключением не более чем счетного множества положительных чисел, существует счетное множество действительных простых собственных значений $\left(-\lambda_{i}\right)^{-1}$ оператора К. Каждая точка $\left(\lambda_{i}, 0\right) \in$ $\in \mathbb{R} \times D(A)$ для стационарной задачи является точкой бифуркации, в которой появляется в точности одно нетривиальное решение $(\lambda(\alpha), \omega(\alpha))$. Эти решения являются вихрями Тейлора $\left.{ }^{1}\right)$.

Экспериментальные данные свидетельствуют, что все решения, ветвящиеся из точки $\left(\lambda_{i}, 0\right)$, при $\lambda_{i}
eq \lambda_{1}$ неустойчивы, однако доказательство этого утверждения неизвестно.
1) Вихрю Тейлора соответствует первая точка бифуркации $\left(\lambda_{1}, 0\right)$. Прим. перев.

Задача Бенара. Если $\lambda=\alpha g\left(T_{0}-T_{1}\right) h^{3} / v^{2}, \sigma=\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right)^{1 / 2}$, $\alpha, \beta$ как на стр. 247 , то, как известно, существует некоторое $\lambda_{1}(\sigma)$, такое, что при $\lambda \in\left[0, \lambda_{1}\right] \omega=0$ является единственным решением стационарной задачи. Бифуркационная картина здесь определяется спектром оператора $K=A^{-1 / 4} M\left(v^{0}\right) A^{-3 / 4}$, где $v^{0}$ в декартовых координатах задается выражением
\[
v^{0}=0, P\left(x_{3}\right)=-\frac{g h^{3}}{v^{2}}\left(x_{3}+\alpha\left(T_{0}-T_{1}\right)\right), \theta_{0}\left(x_{3}\right)=-x_{3} .
\]

Чтобы сделать собственные значения простыми, В. И. Юдович вводит четные решения $u(-x)=\left(-u_{1}(x),-u_{2}(x), u_{3}(x)\right)$, $\theta(-x)=\theta(x), q(-x)=-q(x)$, и доказывает в работах «О возникновении конвекции» (Юдович [6]) и «Свободная конвекция и ветвление» (ПММ, 1967, т. 31, вып. 1) следующую теорему:

Теорема 4.6. (1) $В$ задаче Бенара для почти всех $\alpha$ и $\beta$ существует счетное множество простых положительных характеристических чисел $\lambda_{i}$. Точки $\left(\lambda_{i}, 0\right) \in \mathbb{R} \times D(A)$ являются точками бифуркации.
(2) $Е с л и ~ n, \alpha, \beta$ выбраны в соответствии с замечанием на стр. 247, то ветвям, выходящим из точки $\left(\lambda_{i}, 0\right)$, соответствуют: дважды периодические ячейки, валы, шестиугольные, прямоугольные и треугольнєие ячейки.
(3) Если $\lambda_{1}$ обозначает наименьшее характеристическое число, то нетривиальное решение появляется справа от $\lambda_{1}$ (по $\omega(\lambda)= \pm\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{1 / 2} F(\lambda)$, где $F: R \rightarrow D(A)$ голоморфная по $\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{1 / 2}$ функция.

Интересно отметить следующий факт: поскольку характеристические числа определяются только значением $\sigma$, то мы можем рассматривать различные $\alpha, \beta$ с одним и тем же $\sigma$ и получать решения любой возможной пространственной структуры, появляющиеся в точке бифуркации.