Здесь мы докажем, что наименьшее $n$, для которого $\left.\frac{\partial^{n} V}{\partial x_{1}^{n}}(0,0)
eq 0^{1}\right)$, нечетно и что в случае, когда этот коэффициент отрицателен, периодическая орбита, которая получалась в теореме 3.1 с использованием теоремы о неявной функции, устойчива и рождается при $\mu>0$ (мы предполагаем, что векторное поле достаточное число раз дифференцируемо, так что $V$ класса $C^{n}$ ).

Мы покажем также, что если для потока $X_{0}$ начало координат устойчиво по Ляпунову, то периодическая орбита, получаемая из теоремы 3.15 (части (A) и (B) заключения теоремы), устойчива и возникает при $\mu>0$.
(3В.1) Лемма. Пусть векторное поле $X$ класса $C^{2 k}, k \geqslant 2$. Тогда функция $\mu\left(x_{1}\right)$ класса $C^{2(k-1)}$. Допустим, что существует $j \leqslant 2(k-1)$, для которого $\mu^{(j)}(0)
eq 0$. Тогда наименьшее $j$, для которого это выполняется, четно.

Доказательство. Пусть $n$ будет наименьшее целое $j$, для которого $\mu^{(j)}(0)
eq 0$. Допустим, что $\mu^{(n)}(0)>0$, и выберем $\varepsilon>0$ так, чтобы для всех $x_{1},\left|x_{1}\right|<\varepsilon$ выполнялось $\mu^{(n)}\left(x_{1}\right)>$ $>0$. Тогда по теореме о среднем получим $\mu\left(x_{1}\right)=$ $=\mu^{(n)}\left(\alpha_{n}\right)^{\prime} x_{1} \alpha_{1} \ldots \alpha_{n-1}$, где $0<\alpha_{j}<x_{1}$ (или $x_{1}<\alpha_{j}<0$ ) для всех $j$.

Пусть $n$ нечетно, тогда $\operatorname{sign}\left(x_{1}\right)=\operatorname{sign}\left(x_{1} \alpha_{1} \ldots \alpha_{n-1}\right)$. Поэтому для всех $x_{1}$, для которых $\left|x_{1}\right|<\varepsilon$, из $x_{1}>0$ следует $\mu\left(x_{1}\right)>0$, а из $x_{1}<0$ следует $\mu^{\prime}\left(x_{1}\right)<0$. Однако, как мы знаем, это невозможно. Пусть $x_{1}^{(n)} \downarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$; тогда для каждого $x_{1}^{(n)}$ существует $y_{1}^{(n)}<0$, для которого $\mu\left(x_{1}^{(n)}\right)=\mu\left(y_{1}^{(n)}\right)$ и $y_{1}^{(n)} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Из тех же соображений следует, что если $\mu^{(n)}\left(x_{1}\right)<0$, то $n$ должно быть четным. Поэтому $n$ всегда
1) $\frac{\partial^{2 n+1} V}{\partial x_{1}^{2 n+1}}(0,0)$ обычно называется $n$-й ляпуновской величиной (см. Ляпунов [1], Андронов, Леонтович, Гордон, Майер [1]).-Прим, перев.

четно. Это показывает также, что бифуркация может происходить как выше, так и ниже порога критичности.
(3В.2) Лемма. Пусть $X$ принадлежит классу $C^{2 k}, k \geqslant 2$. Предположим, что существует $j \leqslant 2(k-1)$, для которого $\mu^{(j)}(0)
eq 0$, и пусть $n$ означает то же, что в предыдущей лемме. в этом случае $\frac{\partial^{j} V}{\partial x_{1}^{j}}(0,0)=0$ для всех $j \leqslant n \quad и$ $\frac{\partial^{n+1} V}{\partial x_{1}^{n+1}}(0,0)=-3 \frac{\partial^{2} V}{\partial x_{1} \partial \mu}(0,0) \mu^{(n)}(0)$.

Доказательство. Дифференцируя уравнение $V\left(x_{1}, \mu\left(x_{1}\right)\right)=0$ $j$ раз и подставляя $x_{1}=0$, мы получаем $\frac{\partial^{j} V}{\partial x_{1}^{j}}(0,0)+\left(^{*}\right)=0$, (*) есть сумма членов вида $A_{t} \mu^{(t)}(0)$ при $l \leqslant j$ и $A_{j}=$ $=\frac{\partial V}{\partial \mu}(0,0)=0$, так как $V(0, \mu)=0$ при всех $\mu$. Поэтому если $j \leqslant n$, то $\frac{\partial^{l} V}{\partial x_{1}^{l}}(0,0)=0$. Чтобы найти $\frac{\partial^{n+1} V}{\partial x_{1}^{n+1}}(0,0)$, мы должны найти коэффициент при $\mu^{(n)}(0)$ в уравнении $\frac{\partial^{n+1} V}{\partial x_{1}^{n+1}}(0,0)+(*)=0$. Этот коэффициент, как нетрудно видеть, равен $3 \frac{\partial^{2} V}{\partial x_{1} \partial \mu}(0,0)+3 \frac{\partial^{2} V}{\partial \mu^{2}}(0,0) \mu^{\prime}(0)$. Поэтому
\[
\frac{\partial^{n+1} V}{\partial x_{1}^{n+1}}(0,0)=-3 \frac{\partial^{2} V}{\partial x_{1} \partial \mu}(0,0) \mu^{(n)}(0) \text {. }
\]
(3В.3) Теорема. Пусть $X$-векторное поле класса $C^{2 k}$, $k \geqslant 2$. Тогда функция $\mu\left(x_{1}\right)$ принадлежит классу $C^{2(k-1)}$ ‘. Предположим, что существует целое $j \leqslant 2(k-1)$, для которого $\mu^{(j)}(0)
eq 0$, и $n$-наименьшее такое число. Если
\[
\frac{\partial^{n+1} V}{\partial x_{1}^{n+1}}(0,0)<0, \text { то } \mu\left(x_{1}\right)>0
\]

для всех достаточно малых $x_{1}
eq 0$. Кроме того, периодические орбиты, полученные из теоремы о неявной функции, устойчивы.

Доказательство. Мы уже видели, что $\mu\left(x_{1}\right)>0$ при всех малых $x_{1}
eq 0$. Для того чтобы доказать устойчивость периодических орбит, мы должны показать, что функция
\[
f\left(x_{1}\right)=\left.\frac{\partial V}{\partial x_{1}}\right|_{\left(x_{1}, \mu\left(x_{1}\right)\right)}
\]

имеет локальный максимум в точке $x_{1}=0$ (по этому поводу см. шаг 5 доказательства теоремы 3.1). Для всех $j<n$ выполнено $f^{(j)}(0)=0$, так как $f^{(j)}(0)=\frac{\partial^{I+1} V}{\partial x_{1}^{j+1}}(0,0)+\left(^{*}\right)$, где (*). обозначает сумму членов вида $A_{l} \mu^{(l)}(0)$ при $l \leqslant j$.
\[
f^{(n)}(0)=\frac{\partial^{n+1} V}{\partial x_{1}^{n+1}}(0,0)+\frac{\partial^{2} V}{\partial x_{1} \partial \mu}(0,0) \mu^{(n)}(0)=\frac{2}{3} \frac{\partial^{n+1} V}{\partial x_{1}^{n+1}}(0,0)<0 .
\]

Напоминаем, что $n$ четно. Тогда по теореме о среднем получаем, что $f\left(x_{1}\right)$ имеет локальный максимум в точке $x_{1}=0$.
Замечание. Условие $\frac{\partial^{n+1} V}{\partial x_{1}^{n+1}}(0,0)<0 \quad$ в теореме

означает, что при $\mu=0$ нулевое состояние равновесия асимптотически устойчиво. Заключение теоремы (3В.3) уже не будет верно, если это условие заменить условием асимптотической устойчивости нулевого состояния равновесия при $\mu=0$. Приведем соответствующий пример (принадлежащий Негрини и Сальвадори $\left.{ }^{1}\right)$ ). Рассмотрим систему
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=\mu x-y-x f(x, y)-x\left(x^{2}+y^{2}\right)^{s+1}, \\
\dot{y}=x+\mu y-y f(x, y)-y\left(x^{2}+y^{2}\right)^{s+1},
\end{array}
\]

где $s \in \mathbb{N}, s \geqslant 3$, а $f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \sin ^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-1}$ при $(x, y)
eq(0,0), f(0,0)=0$. В качестве функции Ляпунова возьмем $u=x^{2}+y^{2}$. Тогда производная $u$ в силу системы равна
\[
\begin{array}{c}
\dot{u}(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(\mu-\left(x^{2}+y^{2}\right)^{s} \sin ^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-1}-\right. \\
\left.-\left(x^{2}+y^{2}\right)^{s+1}\right), \quad(x, y)
eq(0,0), \\
\dot{u}(0,0)=0 .
\end{array}
\]

Тогда для $\mu=0$ состояние равновесия ( 0,0 ) асимптотически устойчиво. В полярных координатах ( $\rho \cos \varphi, \rho \sin \varphi)$ $\dot{\rho}=\mu \rho-\rho f\left(\rho^{2}\right)-\rho \cdot \rho^{2(s+1)}, f(\rho)=\rho^{s} \sin ^{2} \frac{1}{\rho}$. Отсюда ясно, что семейство
\[
\mu=f\left(\rho^{2}\right)+\rho^{2(s+1)}
\]

определяет все замкнутые орбиты в окрестности $U$ точки $(0,0,0) \subset \mathbb{R}^{3}$. Знак производной определяет устойчивость соответствующей периодической орбиты
\[
\frac{d \mu}{d \rho}=2 \rho^{2 s-3}\left[(s+1) \rho^{4}+s \rho^{2} \sin ^{2}\left(\rho^{-2}\right)-\sin \left(2 \rho^{-2}\right)\right] .
\]
1) Этот пример был любезно прислан нам авторами книги. — Прим. ред.

Если $n \in \mathbb{N}$ достаточно велико, то числа $\rho_{n}=2[\pi(4 n+1)]^{-\eta}$ близки к нулю и, следовательно, соответствующие периодические орбиты лежат в $U$. С другой стороны, при достаточно больших $n$ в этих точках $\mu^{\prime}\left(\rho_{n}\right)>0$, и поэтому $\dot{\rho}<0$ при $\mu=f\left(\rho^{2}\right)+\rho^{2(s+1)}$, т. е. орбиты неустойчивы. Происходит это вследствие того, что функция $\mu^{\prime}(\rho)$ не взаимно однозначна около нуля, поэтому при данном $\mu$ поле имеет не одну периодическую орбиту (см. теорему Чейфи, гл. 3А).

Нетрудно доказать, пользуясь теоремой Чейфи, что если функция $\mu\left(x_{1}\right)$ взаимно однозначна, то из асимптотической устойчивости нулевого состояния равновесия при $\mu=0$ и условий теоремы 3.15 следует устойчивость рождающихся периодических орбит. $\left[{ }^{2}\right]$