Основной метод, который здесь можно применить, – это использовать интегральные уравнения, как в методе Пикара для обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнения с частными производными его разрабатывали Сегал [1], Като и Фуджита [1], Иосс [3,6], Сэттинджер [2] и др. (общие предпосылки см. у Кэррола [1]).
Нижеследующий результат сформулирован Вейслером [1] (обсуждение в связи с техникой Иосса см. в гл. 9А).
Сначала некоторые обозначения: $\mathbb{E}_{0}, \mathbb{E}_{1}, \mathbb{E}_{2}$ – три банаховых пространства с нормами $\|\cdot\|_{0},\|\cdot\|_{1},\|\cdot\|_{2}, \mathbb{E}_{2} \subset \mathbb{E}_{1} \subset \mathbb{E}_{0}$, где включения плотны и непрерывны (некоторые из этих пространств могут совпадать). Пусть $e^{t A}$ – линейная $C^{0}$-полугруппа на $\mathbb{E}_{0}$, ограничение которой на $\mathbb{E}_{2}$ является сжимающей полугруппой. Предположим, что $e^{t A}: \mathbb{E}_{1} \rightarrow \mathbb{E}_{2}-$ ограниченное линейное отображение при $t>0$, и пусть его норма обозначается через $\mu(t)$. Наше первое предположение:
\[
\text { П1) При } T>0 \int_{0}^{T} \mu(\tau) d \tau<\infty .
\]
Для уравнений Навье – Стокса $A=v P \Delta$, и мы можем выбрать или
\[
\mathbb{E}_{0}=J_{2}, \mathbb{E}_{1}=\tilde{H}^{1} \text { и } \quad \mathbb{E}_{2}=\tilde{H}_{0}^{2}
\]
или
(2) $\mathbb{E}_{0}=\mathbb{E}_{1}=\tilde{H}^{-\frac{1}{2}}=$ пополнение $J$ относительно нормы $\left\|(-v P \Delta)^{-1 / 4} u\right\|_{L_{2}}, \quad \mathbb{E}_{2}=\widetilde{H}^{1}=$ область определения оператора $(-v P \Delta)^{1 / 2}$.
Случай (2) рассмотрен Като и Фуджитой [1].
П1) выполняется вследствие того, что $A$ – отрицательный самосопряженный оператор на $J$ с областью определения $\widetilde{H}_{0}^{2}$ (Ладыженская [1]), и поэтому он определяет аналитическую полугруппу; таким образом, норма $e^{t A}$, как отображения из $\tilde{H}_{0}^{2}$ в $J_{2}$, меньше или равна $C / t$ (см. Иосида [1]). Имеется, однако, неравенство Соболева
\[
\|f\|_{H^{1}} \leqslant\|f\|_{H^{*}}^{1 / 2} \cdot\|f\|_{L^{2}}^{1 / 2} .
\]
Легче всего его можно получить из общего неравенства Соболева – Ниренберга – Гальярдо, имеющегося у Ниренберга [1]:
\[
\left\|D^{\prime} f\right\|_{L_{p}} \leqslant C\left\|D^{m} f\right\|_{L^{r}}^{a} \cdot\|f\|_{L^{q}}^{1-a},
\]
где
\[
\frac{1}{p}=\frac{j}{n}+a\left(\frac{1}{r}-\frac{m}{n}\right)+(1-a) \frac{1}{q}, \quad \frac{j}{m} \leqslant a \leqslant 1
\]
(если $m-j-n / r-$ целое число $\geqslant 1$, то случай $a=1$ исключается). Поэтому мы можем выбрать $\mu(t) \leqslant C \sqrt{t}$ и, следовательно, П1) выполняется. Таким же образом в случае (2) можно показать, что $\mu(t) \leqslant C / t^{3 / 4}$ (Като и Фуджита [1]).
Относительно нелинейных членов будем предполагать справедливым следующее предположение.
П2) $J_{t}: \quad \mathbb{E}_{2} \rightarrow \mathbb{E}_{1}$ – полулипшицево отображение (т.е. липшицево на ограниченных множествах) локально равномерно по $t$, и $J_{t}(\varphi)$ непрерывно по $(t, \varphi)$. Для простоты мы можем считать $J_{t}(0)=0$.
Рассмотрим «формальное» дифференциальное уравнение
\[
\frac{d \varphi}{d t}=A \varphi+J_{t}(\varphi)
\]
в форме интегрального уравнения (см., например, Сегал [1])
\[
W\left(t, t_{0}\right) \varphi=e^{\left(t-t_{n}\right) A} \varphi+\int_{t_{0}}^{t} e^{(t-\tau) A} J_{\tau}\left(W\left(\tau t_{0}, \varphi\right) d \tau,\right.
\]
где $t>t_{0}$ (добавление неоднородного члена не вносит дополнительных трудностей).
(9.4). Теорема. При условиях П1), П2) уравнение (9.2) определяет единственный локальный полупоток (т.е. эволюционную систему) на $\mathbb{E}_{2}$ (в смысле гл. 8A), для которого отображения $W\left(t, t_{0}\right): \quad \mathbb{E}_{2} \rightarrow \mathbb{E}_{2}$ локально равномерно липшицевы и непрерывно зависят от $t$.
Доказательство. Воспользуемся обычным принципом сжимающих отображений, как для обыкновенных -дифференциальных уравнений (см. Ленг [1]): выберем $\alpha_{0}, 0<\alpha_{0}<\alpha$, и пусть $K_{\alpha}(t)$ обозначает константу Липшица отображения
$J_{t}$ на шаре $B_{\alpha}$ радиуса $\alpha$; выберем $T$ таким, чтобы выполнялось
\[
\left(\int_{0}^{T-t_{0}} \mu(\tau) d \tau\right)\left(\sup _{\tau \in\left[t_{0}, T\right]} K_{\alpha}(\tau)\right) \leqslant 1-\frac{\alpha_{0}}{\alpha} .
\]
Возьмем теперь $\varphi \in B_{\alpha_{0}}$, и пусть $M$ – полное метрическое пространство $C^{0}$ отображений $\Phi:[0, T] \rightarrow \mathbb{E}_{2} \quad$ с $\boldsymbol{\Phi}\left(t_{0}\right)=\varphi$, $\Phi(t) \in B_{\alpha}$ и метрикой
\[
d(\Phi, \Psi)=\sup _{t \in\left[t_{0}, T\right]}\|\Phi(t)-\Psi(t)\|_{2} .
\]
Определим $\mathscr{F}: M \rightarrow M$ по формуле
\[
\mathscr{F} \Phi(t)=e^{\left(t-t_{0}\right) A} \varphi+\int_{t_{0}}^{t} e^{(t-\tau) A} J_{\tau}(\Phi(\tau)) d \tau .
\]
Из определения и (9.3) получаем две важные оценки: вопервых,
\[
\begin{array}{l}
\|\mathscr{F} \Phi(t)\|_{2} \leqslant \alpha_{0}+\int_{t_{r}}^{T} \mu(t-\tau) K_{\alpha}(\tau) \cdot \alpha d \tau \leqslant \\
\leqslant \alpha_{0}+\alpha\left(1-\frac{\alpha_{0}}{\alpha}\right)=\alpha \\
\end{array}
\]
(напомним, что здесь $J_{\tau}(0)=0$ ), откуда следует, что $\mathscr{F}$ отображает $M$ в $M$, и во-вторых, тем же способом,
\[
d(\mathscr{F} \Phi, \mathscr{F} \Psi) \leqslant\left(1-\int \frac{\alpha_{0}}{\alpha}\right) d(\Phi, \Psi),
\]
откуда следует, что $\mathscr{F}$ – сжимающее. Отсюда легко вытекает требуемый результат.
(9.5) Упражнения. 1. Показать, что $W\left(t, t_{0}\right)$ имеет в $\mathbb{E}_{2}$ константу Липшица, равную $\alpha / \alpha_{0}$. Проверить, что $W(t, s) \times$ $\times W\left(s, t_{0}\right)=W\left(t, t_{0}\right)$.
2. Пусть $\varphi_{t}$ – максимальное решение (9.2) на $[0, T]$ и $T<\infty$; показать, что $\lim \sup _{t \rightarrow T}\left\|\varphi_{t}\right\|_{2}=\infty$, т. е. проверить условие продолжимости 8.2.
3. Используя неравенство Соболева, проверить, что оператор $J_{t}(u)=P((u \cdot
abla) u)$ удовлетворяет предположениям случая (1) выше. По поводу случая (2) см. Като и Фуджита [1].
В дальнейшем мы бы хотели все же иметь решение дифференциального уравнения. Поэтому сделаем дополнительное предположение.
ПЗ) Предположим, что область определения $A$ как оператора, действующего $\mathbb{E}_{0}$, в точности совпадает с $\mathbb{E}_{2}$.
(9.6) Теорема. Если условия П1), П2), ПЗ) выполнены, то любое решение (9.2) удовлетворяет (9.1) как эволюционной системе в $\mathbb{E}_{0}$ с областью определения $D=\mathbb{E}_{2}$ (в терминологии гл. 8A $W\left(t, t_{0}\right)$ – это (зависящий от времени) локальный поток оператора $X(\varphi)=A(\varphi)+J_{t}(\varphi)$, отображающего $\mathbb{E}_{2}$ в $\mathbb{E}_{0}$ ). Решения (9.2) в $\mathbb{E}_{2}$ единственны.
Доказательство. Пусть $\varphi \in \mathbb{E}_{2} \quad u \quad \varphi(t)=W\left(t, t_{0}\right) \varphi \in$ $\in \mathbb{E}_{2}$ – решение (9.2); тогда, выбирая для простоты $t_{0}=0$, имеем
\[
\varphi(t)=e^{t A} \varphi+\int_{0}^{t} e^{(t-\tau) A} \cdot J_{\tau}(\varphi(\tau)) d \tau .
\]
Легко проверить, что
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{h}\{\varphi(t+h)-\varphi(t)\} & =\frac{1}{h}\left\{e^{h A} \varphi(t)-\varphi(t)\right\}-J_{t}(\varphi(t))+ \\
& +\frac{1}{h} \int_{t}^{t+h}\left\{e^{(t+h-\tau) A J_{\tau}}(\varphi(\tau))-J_{t}(\varphi(t))\right\} d \tau .
\end{aligned}
\]
Из выражения
\[
\begin{aligned}
e^{(t+h-\tau)} A J_{\tau}(\varphi(\tau))-J_{t}(\varphi(t)) & = \\
= & e^{(t+h-\tau) A}\left[J_{\tau}(\varphi(\tau))-J_{t}(\varphi(t))\right]+e^{t+h-\tau} J_{t}(\varphi(t))-J_{t}(\varphi(t))
\end{aligned}
\]
нетрудно увидеть, что последний член (9.6) стремится к нулю при $h \rightarrow 0$ в $\mathbb{E}_{1}$ и, следовательно, в $\mathbb{E}_{0}$. Первый член в $(9.6)$ стремится в $\mathbb{E}_{0}$ к $A(\varphi(t))-J_{t}(\varphi(t))$ при $h \rightarrow 0$, так как $\varphi(t) \Subset \mathbb{E}_{2}$ – өбласти определения $\mathrm{A}$.
Таким образом, мы можем заключить, что уравнения Навье – Стокса определяют локальный полупоток в $\widetilde{H}_{0}^{2}$, который продолжается до локального полупотока в $\mathscr{H}^{1}$ (с помощью интегрального уравнения).
