Я хочу дать краткий обзор основных результатов, относящихся к этой теме. Известно, что основное решение теряет устойчивость при некотором $\lambda_{c} \in\left(0, \lambda_{1}\right], \lambda_{1}$ определено в предыдущем разделе. В предположении, что $\lambda_{c}=\lambda_{1}$ и $\lambda_{1}$ – простое, рождающееся нетривиальное решение устойчиво при $\lambda>\lambda_{1}$ и неустойчиво при $\lambda<\lambda_{1}$. Этот результат можно получить, используя степень Лере – Шаудера или аналитические методы теории возмущений.

Более точно, если мы выберем $V=v_{0}+\omega^{+}$, где $\omega^{+}$- стационарное решение (SP), то $V$ называется $у$ стойчивым, если для оператора $A(\lambda)=A+\lambda M(V)$ решение $\omega=0$ устойчиво относительно строгих решений из $D\left(A^{\beta}\right), 3 / 4<\beta<1$ (строгие решения понимаются в смысле статьи Като и Фуджиты); $V$ называется неустойчивым, если оно не является устойчивым в $\stackrel{\circ}{J}^{T}$.

Рассмотрим случай, когда ветвь нетривиального решения $(\lambda(\alpha), V(\alpha))$ в $R \times J^{T}$ при $|\alpha| \leqslant 1,(\lambda(0), V(0))=\left(\lambda_{1}, v_{0}\right)$ может быть записана в виде
\[
\begin{array}{rlr}
\alpha(\lambda) & = \pm c_{1}\left|\lambda-\lambda_{1}\right|^{1 / r}, & r \in N, \\
V(\lambda) & =v_{0}+\left|\lambda-\lambda_{1}\right|^{1 / r} F(\lambda), &
\end{array}
\]

где $F: R \rightarrow D(A)$ аналитично относительно $\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{1 / r}$ и $F\left(\lambda_{1}\right)
eq 0$ (эти условия выполнены для задач Бенара и Тейлора в силу теоремы 4.6 и следствия 4.4). Тогда имеет место следующее утверждение (лемма 5.6 рассматриваемой работы).

Лемма 5.6. Допустим, что $\lambda_{c}=\lambda_{1} u \operatorname{Re} \mu \geqslant \alpha>0$ для всех ненулевых $\mu$ из спектра $\sigma\left(\tilde{A}\left(\lambda_{1}, v_{0}\right)\right)$. Пусть $\lambda_{1}$ – простое характеристическое значение оператора $K\left(v_{0}\right)$, а 0 – простое собственное значение оператора $\tilde{A}\left(\lambda_{1}, v_{0}\right)$.

Тогда существует окрестность $\lambda_{1}$, такая, что для $\lambda$, лежащих в этой окрестности,
(1) $v_{0}$ устойчиво при $\lambda<\lambda_{1}$ и неустойчиво при $\lambda>\lambda_{1}$;
(2) $V(\lambda)$ устойчиво при $\lambda>\lambda_{1}$ и неустойчиво при $\lambda<\lambda_{1}$.
Для задачи Бенара условия леммы 5.6 выполняются при фиксированных $n, \alpha, \beta: \lambda_{1}$ – простое характеристическое значение $K\left(v_{0}\right)$ по теореме 4.6 , а условие $\lambda_{c}=\lambda_{1}$ следует из леммы 4.5 рассматриваемой работы.

Для задачи Тейлора известна только простота характеристического значения $\lambda_{1}$ оператора $K\left(v_{0}\right)$. Простота же $\mu=0$ в $\sigma\left(\tilde{A}\left(\lambda_{1}, v_{0}\right)\right)$ является открытой проблемой.
Тем не менее можно получить следующую теорему:
Теорема 5.7. (1) Для задачи Бенара каждое решение с заданной формой ячейки (фиксированные $h, \alpha, \beta$ ) существует в некоторой правой полуокрестности точки $\lambda_{b}$ и асимптотически устойчиво в $D\left(A^{\beta}\right), \beta \in(3 / 4,1)$. Основное решение $v_{0}$ асимптотически устойчиво при $\lambda<\lambda_{1}$ и неустойчиво при $\lambda>\lambda_{1}$.
(2) Для задачи Тейлора предположим, что условия леммы 5.6 на спектр $\tilde{A}\left(\lambda_{1}, v_{0}\right)$ выполняются. Тогда для каждого периода (б фиксировано) решение $V(\lambda)$, если оно существует, асимптотически устойчиво при $\lambda>\lambda_{1}$ и неустойчиво при $\lambda<\lambda_{1}$.

Наконец, заметим, что эти результаты можно также получить, используя технику инвариантного многообразия (см., например, упр. 4.3). Возможность этого уже отмечалась Рюэлем и Такенсом [1] в их элегантном и простом доказательстве теоремы Вельте.

Укажем также, что основные результаты Проди, касающиеся спектральных свойств и устойчивости уравнений Навье – Стокса, следуют из свойств гладкости потока (гл.9) и результатов гл. $2 \mathrm{~A}$.