Дальнейшее рассмотрение связано с исследованием предельных множеств $X_{\mu}$ при не малых $\mu$. Прежде всего будем предполагать $\lambda_{1}(\mu)<\lambda_{2}(\mu), \sigma(\mu)=\max _{i=1,2} \lambda_{i}(\mu)+\lambda_{3}(\mu)>0$. Кроме того, предположим, что существует площадка без контакта $D$, такая, что:
(1) на $D$ можно ввести евклидовы координаты $(x, y)$ так, что
\[
D=\{(x, y)|\quad| x|\leqslant 1,| y \mid \leqslant 2\},
\]
(2) уравнение $y=0$ описывает компоненту связности $S$ пересечения $W^{s}(\mu) \cap D$, такую, что все $\omega$-полутраектории, начинающиеся на $S$, не имеют больше точек пересечения с $D$ при $t \rightarrow+\infty$;
(3) по траекториям системы определены отображения $T_{1}(\mu)$ : $D_{1} \rightarrow D$ и $T_{2}(\mu): D_{2} \rightarrow D$, где $D_{1}=\{(x, y)|| x \mid \leqslant 1,0<y \leqslant$ $\leqslant 1\}, D_{2}=\{(x, y)|| x \mid \leqslant 1,-1 \leqslant y<0\}$, причем $T_{i}(\mu)$ записывается в виде
\[
\tilde{x}=f_{i}(x, y, \mu), \quad \tilde{y}=g_{i}(x, y, \mu),
\]
где $f_{i}, g_{i}$ – гладкие функции по $x$ и $y$ и непрерывные по $\mu$. (4) $f_{i}$ и $g_{i}$ допускают доопределение по непрерывности на $S$,
1) О надстройках над топологическими марковскими цепями см. $[1,3]$
причем
\[
\begin{array}{c}
\lim _{y \rightarrow 0} f_{i}(x, y, \mu)=x_{i}^{* *}(\mu), \lim _{y \rightarrow 0} g_{i}(x, y, \mu)=y_{i}^{* *}(\mu), \\
T_{1}(\mu) D_{1} \cap D \subset \Pi_{1}=\left\{\left.(x, y)\left|\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1,\right| y \right\rvert\, \leqslant 2\right\}, \\
T_{2}(\mu) D_{2} \cap D \subset \Pi_{2}=\left\{\left.(x, y)\left|-1 \leqslant x \leqslant-\frac{1}{2},\right| y \right\rvert\, \leqslant 2\right\} .
\end{array}
\]
Из поведения траектории вблизи $W^{s}(\mu)$ вытекает, что в малой окрестности $S$ для $T_{1}(\mu)$ имеет место представление вида (3), а для $T_{2}(\mu)$ – представление вида (4). Ясно, что точка $P_{i}\left(x_{i}^{* *}(\mu), y_{i}^{* *}(\mu)\right)$ есть первая точка пересечения $\Gamma_{i}(\mu)$ с $D$.
Введем отображение $T(\mu)$, определенное на $D_{1} \cup D_{2}$ :
\[
\bar{x}=f(x, y, \mu), \bar{y}=g(x, y, \mu),
\]
где $f=f_{i}, g=g_{i}$, если $(x, y) \in D_{i}$. Наложим на $T(\mu)$ следующие ограничения ${ }^{1}$ ):
а) $\left\|f_{x}\right\|<1$,
б) $\left\|g_{y}^{-1}\right\|<1$,
в) $1-\left\|f_{x}\right\|\left\|g_{y}^{-1}\right\|>2 \sqrt{\left\|g_{y}^{-1}\right\| \cdot\left\|g_{x}\right\| \cdot\left\|g_{y}^{-1} \cdot f_{y}\right\|}$,
г) $\left\|g_{y}^{-1} \cdot f_{y}\right\| \cdot\left\|g_{x}\right\|<\left(1-\left\|f_{x}\right\|\right)\left(1-\left\|g_{y}^{-1}\right\|\right)$.
Здесь и ниже $\|\cdot\|=\sup |\cdot|,(x, y) \in D_{1} \cup D_{2}$.
Все наложенные на $T(\mu)$ условия являются естественным обобщением условий на отображения $T_{1}(\mu)$ и $T_{2}(\mu)$, которые рассматривались выше при малых $\mu$. В частности заметим, что поскольку $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$ представимы в виде $\psi_{i}=A_{i}(\mu)+\ldots$, где многоточие означает члены, стремящиеся к нулю при $y \rightarrow$ $\rightarrow 0$, из условия (6) следует, что $A_{i}(\mu)$ не меняют знака. Поэтому понятие ориентируемого, полуориентируемого и неориентируемого случая можно распространить на любую систему $X_{\boldsymbol{\mu}}$. Для простоты удобно считать, что $A_{i}(\mu)$ не обращаются в нуль. При этом получаем, что для существования периодических движений $L_{1}(\mu)$ и $L_{2}(\mu)$ в случае $A$ требуется, чтобы $P_{1} \in D_{2}, P_{2} \in D_{1}$, в случае В $-P_{1} \in D_{2}, P_{2} \in D_{2}$, а в случае $\mathrm{C}-P_{1} \in D_{1}, P_{2} \in D_{2}$. Неподвижную точку – точку пересечения $L_{i}(\mu)$ с $D$-будем обозначать через $M_{i}\left(x_{i}^{*}(\mu), y_{i}^{*}(\mu)\right)$. В случае $\mathrm{C}$ существует также еще одно периодическое движение $L_{3}(\mu)$, причем такое, что $L_{3}(\mu) \cap D=M_{3}\left(x_{3}^{*}(\mu), y_{3}^{*}(\mu)\right) \cup$ $M_{4}\left(x_{4}^{*}(\mu), y_{4}^{*}(\mu)\right)$, где $M_{3} \in D_{1}, M_{4} \in D_{2}$. Ясно, что все эти периодические движения имеют седловой тип. Из наложенных
1) Эти ограничения аналогичны условиям принципа кольца, использованного нами в задаче разрушения инвариантного тора $[4,5]$.
условий вытекает, что уравнения пересечений связных компонент устойчивых многообразий $W_{i}^{s}(\mu)$ периодических движений $L_{i}(\mu), i=1,2$, с $D$, содержащих неподвижные точки $M_{i}$, представимы в виде $y=y_{i}(x, \mu),|x| \leqslant 1$. Будем считать, что $W_{1}^{s}(\mu)$ в случае В есть вложенный цилиндр. В случае С уравнение связной компоненты $D \cap W_{3}^{s}(\mu)$, содержащей точку $M_{j}$, также будет записываться в виде
\[
y=y_{j}(x, \mu),|x| \leqslant 1, j=3,4 .
\]
Определим следующие функции $R_{1}(\mu)$ и $R_{2}(\mu)$ :
в случае А $R_{1}(\mu)=y_{2}^{* *}(\mu)-y_{1}\left(x_{2}^{* *}(\mu), \mu\right)$,
\[
R_{2}(\mu)=-\left(y_{1}^{* *}(\mu)-y_{2}\left(x_{2}^{* *}(\mu), \mu\right)\right.
\]
в случае В $R_{1}(\mu)=y_{2}^{* *}(\mu)-y_{1}\left(x_{2}^{* *}(\mu), \mu\right)$,
\[
R_{2}(\mu)=v^{* *}(\mu)-y_{1}\left(u^{* *}(\mu) \mu\right),
\]
где $u_{i}^{* *}(\mu), v_{i}^{* *}(\mu)$ есть координаты $T P_{i}, i=1,2$; в случае С $R_{1}(\mu)=y_{2}^{* *}(\mu)-y_{3}\left(x_{2}^{* *}(\mu), \mu\right), R_{2}(\mu)=-\left(y_{1}^{* *}(\mu)-y_{4}\left(x_{1}^{* *}(\mu), \mu\right)\right)$.
Обозначим через $\Sigma(\mu)$ замыкание множества всех точек траекторий отображения $T(\mu)$, целиком лежащих в $D$.
Теорема 3. Пусть $R_{1}(\mu)>0, R_{2}(\mu)>0$. Тогда $T(\mu)$ на $\Sigma(\mu)$ сопряжено со схемой Бернулли из двух символов.
Рассмотрим теперь случаи, когда нарушены условия теоремы.
1). Пусть $R_{1}(\mu)>0, R_{2}(\mu) \leqslant 0,\left(R_{1} \leqslant 0, R_{2}>0\right)$. Здесь (при некоторых дополнительных условия в случаях А и В) будет существовать нульмерное нетривиальное неустойчивое предельное множество $\Sigma(\mu)$. Но в отличие от вышеприведенного оно может быть негрубым для нульмерного множества значений $\mu$, причем для континуума значений $\mu \Sigma(\mu)$ не будет описываться конечной топологической марковской цепью.
2). $R_{1}(\mu)<0, R_{2}(\mu)=0 \quad\left(R_{1}=0, R_{2} \leqslant 0\right)$. Здесь $\Sigma(\mu)$ уже будет одномерным. Однако оно неустойчиво.
3). $R_{1}(\mu)<0, R_{2}(\mu)<0$. В этом случае $\Sigma(\mu)$ также будет одномерным. При этом, если из $\Sigma(\mu)$ выбросить $M_{1} \cup M_{2}$ в случае А, $M_{1}$ в случае В, и $M_{3} \cup M_{4}$ в случае С, то оставшееся множество $\tilde{\Sigma}(\mu)$ будет притягивающим. С прикладной точки зрения $\tilde{\Sigma}(\mu)$ вполне можно считать странным аттрактором, поскольку в нем нет устойчивых периодических точек и они не возникают при шевелении $\mu$. Однако $\tilde{\Sigma}(\mu)$ может не быть неблуждающим множеством. В том случае, когда оно является неблуждающим, $\tilde{\Sigma}(\mu)$ будем называть аттрактором Лоренца.
Дальнейшее рассмотрение мы ограничим случаем А, да и то симметричным, хотя результаты будут аналогичными и в общем случае.
Предположим, что
\[
f_{2}(x, y, \mu)=-f_{1}(-x,-y, \mu), g_{2}(x, y, \mu)=-g_{1}(-x,-y, \mu)
\]
Очевидно, в этом случае $R_{1}(\mu)=R_{2}(\mu)=R(\mu)$. Пусть $R(\mu)>$ $>0$ при $\mu \in\left(0, \mu_{0}\right), R\left(\mu_{0}\right)=0, R(\mu)<0$ при $\mu \in\left(\mu_{0}, 1\right]$.
Рис. 6.
Значение $\mu=\mu_{0}$ бифуркационное, в этот момент $\Gamma_{1}\left(\mu_{0}\right)$ ложится на $W_{2}^{s}\left(\mu_{0}\right)$, а $\Gamma_{2}\left(\mu_{0}\right)$ на $W_{1}^{s}\left(\mu_{0}\right)$ (рис. 6) ${ }^{1}$ ).
Теорема 3. $\Sigma\left(\mu_{0}\right)$ одномерно, является неблуждающим множеством, в нем всюду плотны грубые периодические точ$к и$, состоит из двух компонент связности, во всех точках не принадлежащих $y=y_{i}(x, \mu), i=1,2, \Sigma\left(\mu_{0}\right)$ локально устрое-
1) Бифуркации контуров, подобных контуру из $L_{2}\left(\mu_{0}\right), \Gamma_{1}\left(\mu_{0}\right), O$ и траектории, соединяющей $L_{2}\left(\mu_{0}\right)$ с $O$, рассматривались в [39].
но как прямое произведение канторовского множества на отрезок.
Поскольку не все точки неустойчивых многообразий $W_{i}^{u}\left(\mu_{0}\right)$, принадлежат $\Sigma\left(\mu_{0}\right)$, то оно неустойчиво. Пусть $\tilde{D}$ есть область, заключенная между кривыми $y=y_{2}(x, \mu)$ и $y=$ $=y_{1}(x, \mu)$. Очевидно, в силу условия $R(\mu)<0$ при $\mu>\mu_{0}$, $T(\mu)(\tilde{D} \backslash S) \subset \tilde{D}$. Замыкание множества всех неблуждающих точек $T(\mu)$ на $\tilde{D} \backslash S$ и будет $\tilde{\Sigma}(\mu)$. Пусть $N(\mu)$ таково, что при $k=N(\mu), \quad T^{k}(\mu) P_{2} \in D_{1}$, а при $k=0,1,2, \ldots, N(\mu)-1$ $T^{k}(\mathrm{u}) P_{2}
otin D_{1}$.
Введем в рассмотрение следующую величину:
\[
\begin{aligned}
q(\mu)=\frac{1}{2\left\|g_{y}^{-1}\right\|} & \cdot\left(1+\left\|f_{x}\right\| \cdot\left\|g_{y}^{-1}\right\|+\right. \\
& +\sqrt{\left(1-\left\|f_{x}\right\| \cdot\left\|g_{y}^{-1}\right\|\right)^{2}-4\left\|g_{y}^{-1}\right\| \cdot\left\|g_{x}\right\|\left\|g_{y}^{-1} \cdot f_{y}\right\|} .
\end{aligned}
\]
Из условия (6), наложенного на $T(\mu)$, можно извлечь, что $q\left(\mu^{*}\right)>q_{0}>1$.
Теорема 4. При выполнении условия $\left.{ }^{1}\right)$
\[
q(\mu)^{N(\mu)}>2
\]
1) $\tilde{\Sigma}(\mu)$ есть аттрактор Лоренца; 2) $\check{\Sigma}(\mu)$ состоит из двух компонент связности, окрестность которого расслоена непрерывным устойчивым слоением на липшицируемые слои, по которым точки притягиваются к нему; 3) $\widetilde{\Sigma}(\mu)$ – негрубое ${ }^{2}$ ); 4) в $\tilde{\Sigma}(\mu)$ всюду плотны грубые периодические точки; 5) существует последовательность $T(\mu)$-инвариантных нульмерных множеств $\Delta_{k}(\mu), k \in \mathbb{Z}_{+}$, таких, что $T(\mu) \mid \Delta_{k}(\mu)$ сопряжено конечной транзитивной топологической марковской цепи, причем $\Delta_{k+1}(\mu) \subset \Delta_{k}(\mu) \quad$ и $\quad \Delta_{k}(\mu) \rightarrow \widetilde{\Sigma}(\mu) \quad$ при $\quad k \rightarrow+\infty$; 6) в общем случае $T(\mu)$ на $\check{\Sigma}(\mu)$ для счетного всюду плотного множества значений $\mu$ допускает конечное марковское разбиение и не допускает для континуума значений $\mu^{3}$ ).
Из того, что $q(\mu)^{\Phi(\mu)} \rightarrow \infty$ при $\mu \rightarrow \mu_{0}$, следует, что существует такое $\mu_{1} \leqslant 1$, что при $\mu_{0}<\mu \leqslant \mu_{1}$ (а не $\mu_{0}<\mu \leqslant 1$, как было неверно выписано в нашей работе [6]) система $X_{\mu}$ будет иметь аттрактор Лоренца. Аттрактор Лоренца содержит $O, \Gamma_{1}(\mu)$ и $\Gamma_{2}(\mu)$, причем заметим, что периодические дви-
1) Для сравнения заметим, что в несимметричном случае аналогичное условие записывается в виде $q^{N_{1}+N_{2}}>q^{N_{1}}+q^{N_{2}}$.
2) Эскиз доказательства негрубости в одном весьма частном случае отображения $T$ был предложен Гукенхеймером [17].
3) О марковских разбиения см. [1].
жения при изменении $\mu$ могут исчезать только путем влипания в петли сепаратрис седла $O$.
В случае, когда $T(\mu)$ допускает конечное марковское разбиение, а оно имеет место, когда $\Gamma_{1}(\mu)$ и $\Gamma_{2}(\mu)$ стремятся либо к $O$, либо к периодическим движениям, $\Sigma(\mu)$ устроено весьма просто: в малой окрестности любой точки, не содержащей ( $\left.\Gamma_{1} \cup \Gamma_{2}\right) \cap D$, оно гомеоморфно прямому произведению канторовского множества на отрезок. В окрестности же точки $P(\mu)$, принадлежащей $\Gamma_{i}(\mu)$, связная компонента $\tilde{\Sigma}(\mu)$, содержащая $P(\mu)$ устроена, как букет бесконечного множества лучей, поскольку $\Gamma_{1}(\mu)$ и $\Gamma_{2}(\mu)$ являются границами неустойчивых многообразий точек $\widetilde{\Sigma}(\mu)$. Свойство (2) говорит о том, что изучение $T(\mu)$ можно свести к кусочно-монотонному отображению отрезка на прямой. При этом следует заметить, что на каждом куске непрерывности (а их два) отображение, вообще говоря, будет лишь непрерывным.
В общем случае $\tilde{\Sigma}(\mu)$ также будет пределом нульмерных множеств $\Delta_{k}(\mu)$, но на них $T(\mu)$ уже не обязательно будет сопряжено транзитивной марковской цепи. Здесь в $\widetilde{\Sigma}(\mu)$, кроме одномерного негрубого неблуждающего множества $\widetilde{\Sigma}_{1}(\mu)$, может также входить конечное число грубых нульмерных множеств, как тривиальных (периодические орбиты), так и нетривиальных (описываемые ТМЦ). Тем не менее $\Sigma_{1}(\mu)$, за исключением, быть может, конечного множества значений $\mu$, будет «странным»аттрактором.
