1. K стр. 8.

Обобщение результатов с двумерного случая на некоторые случаи систем высшей размерности выполнено Н. Н. Баутиным по предложению А. А. Андронова в 1941 г. (диссертация). Опубликовано в 1948 [1] и 1949 [2] гг. Рассматривались системы общего вида
$${\dot{x}}_j=\sum _{k=1}^3{a}_k^{(j)}{x}_k+P_j(x_1,x_2,x_3);j=1,2,3$$

и
$${\dot{x}}_j=\sum _{k=1}^4{a}_k^{(f)}{x}_k+P_j(x_1,x_2,x_3,x_4);j=1,2,3,4$$
( $P_j$ не содержат членов ниже второго порядка), а также $n$-мерная $\mathbf{c}\mathbf{н}$ стема
$${\dot{x}}_j=\sum _{k=1}^n{Q}_k^{(j)}{x}_k+P_j^{\ast }(x_1,\dots ,x_n);j=1,2,\dots ,n$$
( $P_f$ не содержат членов ниже третьего порядка).
Условия рождения периодических движений в общем $n$-мерном случае (для систем, приведенных к некоторым специальным видам) получены Ю. И. Неймарком [3] и Н. Н. Брушлинской [4].
2. К стр. 17.
Бифуркации, сопровождающиеся появлением замкнутых траекторий, многочисленны и разнообразны. По поводу основных из них смотрите дополнение I.
3. К стр. 89.
Доказательство этой теоремы по существу опирается не непосредственно на теорему Хопфа, а на следующее следствие из нее, которое мы формулируем для случая $R^2$ :

Если при значении $\mu =0$ особая точка $O(0,0)$ имеет чисто мнимые характеристические корни, а при $\mu >0$ и $\mu <0$ в некоторой фиксированной окрестности $O(0,0)$ нет замкнутых траекторий, то особая точка $O(0,0)$ является центром.

Для случая $n>2$ аналогичное утверждение справедливо для инвариантного многообразия.
4. K стp. 91 .
В этом разделе при построении «бифуркационного уравнения», т. е. Уравнения, различные корни которого соответствуют различным замкнутым траекториям, появляющимся из особой точки $O$, фактически используется метод усреднения Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова $[5,6]$. Этот метод является плодотворным в разных ситуациях, в частности при рассмотрении неавтономных систем. Однако обоснование его далеко не элементарно. В данном случае бифуркационное уравнение получается очень просто интегрированием по $\theta$ правой части рассматриваемого уравнения
$$\frac{d\rho }{d\theta }={\epsilon }^2(R_0+8^2{R}_1+\dots ).$$

Однако в задаче о рождении предельного цикла из негрубого фокуса представляется более целесообразным рассмотрение бифуркационного уравнения, полученного из функции последования, так как в этом случае «бифуркационное уравнение» позволяет рассматривать случай кратных (в частности, двукратных) циклов, а также случай центра, что невозможно (в силу отсутствия соответствующего обоснования) для бифуркационного уравнения, полученного усреднением. О методе усреднения см. также главу $4\mathrm{C}$ настоящей книги.
5. K cтр. 110.
$V^{\prime \prime \prime }(0)$ совпадает с первой ляпуновской величиной. Впервые вычисление ляпуновской величины для решения вопроса о рождении из состояния равновесия типа фокус предельного цикла при изменении параметров системы было осуществлено А. А. Андроновым [7] в задаче о катодном генераторе в 1937 г. Первая ляпуновская величина для системы двух уравнений общего вида (без требования выполнения условия 4.4) вычислена в 1938 году [8].

Приведем выражение первой ляпиновской величины для системы трех уравнений. Для системы в каноническом виде
$$\frac{d{\xi }_1}{dt}=-\lambda {\xi }_1+Q_1,\frac{d{\xi }_2}{dt}=-\sqrt{q{\xi }_3}+Q_2,\frac{d{\xi }_3}{dt}=\sqrt{q{\xi }_2}+Q_3.$$

где
$$\begin{array}{l}{Q}_j=A_{11}^{(j)}{\xi }_1^2+A_{22}^{(j)}{\xi }_2^2+A_{33}^{(j)}{\xi }_3^2+A_{12}^{(j)}{\xi }_1{\xi }_2+2A_{13}^{(j)}{\xi }_1{\xi }_3+2A_{23}^{(j)}{\xi }_2{\xi }_3+A_{111}^{(j)}{\xi }_1^3+\\ +A_{222}^{(j)}{\xi }_2^3+A_{333}^{(j)}{\xi }_3^3+3A_{112}^{(j)}{\xi }_1^2{\xi }_2+3A_{113}^{(j)}{\xi }_1^2{\xi }_3+3A_{122}^{(j)}{\xi }_1{\xi }_2^2+3A_{223}^{(j)}{\xi }_2{\xi }_3+\\ +3A_{133}^{(j)}{\xi }_1{\xi }_3^2+3A_{233}^{(j)}{\xi }_2{\xi }_3^2+6A_{123}^{(j)}{\xi }_1{\xi }_2{\xi }_3+\cdots \end{array}$$

первая ляпуновская величина будет [2]:
$$\begin{array}{rl}{L}_1=\frac{\pi }{4q}& [2(A_{33}^{(2)}{A}_{33}^{(3)}-A_{22}^{(2)}{A}_{22}^{(3)})+2A_{23}^{(2)}(A_{22}^{(2)}+A_{22}^{(2)}+A_{33}^{(2)})-\\ & -2A_{23}^{(3)}(A_{22}^{(3)}+A_{33}^{(3)})+3\sqrt{q}(A_{222}^{(2)}+A_{333}^{(3)}+A_{233}^{(2)}+A_{223}^{(3)})]+\\ & +\frac{\pi }{4\lambda \sqrt{q}({\lambda }^2+4q)}\{{\lambda }^2[2A_{22}^{(1)}(3A_{12}^{(2)}+A_{13}^{(3)})+\\ & +2A_{33}^{(1)}(A_{12}^{(2)}+3A_{13}^{(3)})+4A_{23}^{(1)}(A_{13}^{(2)}+A_{12}^{(3)})]+\\ & +4\lambda \sqrt{q}[(A_{22}^{(1)}-A_{33}^{(1)})(A_{13}^{(2)}+A_{12}^{(3)})+2A_{23}^{(1)}(A_{13}^{(3)}-A_{12}^{(2)})]+\\ & +16q(A_{22}^{(1)}+A_{33}^{(1)})(A_{12}^{(2)}+A_{13}^{(3)})\}.\end{array}$$

Коэффициенты системы общего вида
$$\frac{d{x}_j}{dt}=Q_1^{(j)}{x}_1+Q_2^{(j)}{x}_2+Q_3^{(l)}{x}_3+P_j(j=1,2,3),$$

где $P_l$ имеют тот же вид, что и $Q_l$ (с заменой соответственно $\xi$ на $\mathit{x}$ и $A$ на $a$ с сохранением всех индексов), связаны с коэффициентами системы, приведенной к каноническому внду, соотношениями
$$\begin{array}{l}{A}_{kl}^{(l)}=\frac{1}{{\mathrm{\Delta }}_0}\sum _{p=1}^3{\mathit{\alpha }}_{jp}^{\prime }[a_{11}^{(p)}{\mathit{\alpha }}_{1k}{\alpha }_{1l}+a_{22}^{(p)}{\mathit{\alpha }}_{2k}{\mathit{\alpha }}_{2l}+a_{33}^{(p)}{\mathit{\alpha }}_{3k}{\mathit{\alpha }}_{3l}+\\ +a_{12}^{(p)}({\alpha }_{1k}{\alpha }_{2l}+{\alpha }_{1l}{\mathit{\alpha }}_{2k})+a_{13}^{(p)}({\alpha }_{1k}{\alpha }_{3l}+{\alpha }_{1l}{\alpha }_{3k})+a_{23}^{(p)}({\alpha }_{2k}{\alpha }_{3l}+{\alpha }_{2l}{\alpha }_{3k})].\\ A_{kls}^{(l)}=\frac{1}{{\mathrm{\Delta }}_0}\sum _{p=1}^3{\mathit{a}}_{jp}^{\prime }[a_{11}^{(p)}{\mathit{a}}_{1k}{\mathit{a}}_{1l}{\mathit{\alpha }}_{1s}+a_{222}^{(p)}{\mathit{a}}_{2k}{\mathit{\alpha }}_{2l}{\mathit{a}}_{2s}+a_{333}^{(p)}{\mathit{a}}_{3k}{\mathit{a}}_{3l}{\mathit{a}}_{3s}+\\ +a_{112}^{(p)}({\mathit{\alpha }}_{1k}{\mathit{\alpha }}_{1l}{\mathit{\alpha }}_{2s}+{\mathit{\alpha }}_{1k}{\mathit{\alpha }}_{1s}{\mathit{\alpha }}_{2l}+{\mathit{\alpha }}_{1l}{\mathit{\alpha }}_{1s}{\mathit{\alpha }}_{2k})+a_{113}^{(p)}({\mathit{\alpha }}_{1k}{\mathit{\alpha }}_{1l}{\mathit{\alpha }}_{3s}+{\mathit{\alpha }}_{1k}{\mathit{\alpha }}_{1s}{\mathit{\alpha }}_{3l}+\\ +{\mathit{a}}_{1l}{\mathit{a}}_{1s}{\mathit{a}}_{3k})+a_{233}^{(p)}({\mathit{a}}_{3k}{\mathit{a}}_{3l}{\mathit{a}}_{2s}+{\mathit{\alpha }}_{3k}{\mathit{a}}_{2l}{\mathit{\alpha }}_{3s}+{\mathit{\alpha }}_{2k}{\mathit{\alpha }}_{3l}{\mathit{a}}_{3s})+{\mathit{a}}_{122}^{(p)}({\mathit{\alpha }}_{1s}{\mathit{a}}_{2k}{\mathit{\alpha }}_{2l}+\\ +{\mathit{\alpha }}_{1k}{\mathit{a}}_{2l}{\mathit{\alpha }}_{2s}+{\mathit{\alpha }}_{1l}{\mathit{\alpha }}_{2s}{\mathit{\alpha }}_{2k})+a_{223}^{(p)}({\mathit{\alpha }}_{2k}{\mathit{\alpha }}_{2l}{\mathit{\alpha }}_{3s}+{\mathit{\alpha }}_{2k}{\mathit{\alpha }}_{2s}{\mathit{\alpha }}_{3l}+{\mathit{\alpha }}_{2l}{\mathit{a}}_{2s}{\mathit{\alpha }}_{3k})+\\ +a_{133}^{(p)}({\mathit{\alpha }}_{1s}{\mathit{\alpha }}_{3k}{\mathit{\alpha }}_{3l}+{\mathit{\alpha }}_{1l}{\mathit{\alpha }}_{3s}{\mathit{\alpha }}_{3k}+{\mathit{\alpha }}_{1k}{\mathit{a}}_{3l}{\mathit{\alpha }}_{3s})+a_{123}^{(p)}({\mathit{\alpha }}_{1k}{\mathit{\alpha }}_{2l}{\mathit{\alpha }}_{3s}+{\mathit{\alpha }}_{1l}{\mathit{a}}_{2k}{\mathit{\alpha }}_{3s}+\\ +{\mathit{a}}_{1k}{\mathit{a}}_{2s}{\mathit{a}}_{3l}+{\mathit{\alpha }}_{1s}{\mathit{a}}_{2k}{\mathit{\alpha }}_{3l}+{\mathit{\alpha }}_{1l}{\mathit{\alpha }}_{2s}{\mathit{a}}_{3k}+{\mathit{\alpha }}_{1s}{\mathit{a}}_{2l}{\mathit{a}}_{3k})]\text{. }\end{array}$$

Здесь
$$\begin{array}{l}{a}_{11}=\left|\begin{array}{cc}{a}_2^{(1)}& a_3^{(1)}\\ a_2^{(2)}+\lambda & a_3^{(2)}\end{array}\right|,{\alpha }_{21}=\left|\begin{array}{cc}{a}_3^{(1)}& a_1^{(1)}+\lambda \\ a_3^{(2)}& a_1^{(2)}\end{array}\right|,{\alpha }_{31}=\left|\begin{array}{cc}{a}_1^{(1)}+\lambda & a_2^{(1)}\\ a_1^{(2)}& a_2^{(2)}+\lambda \end{array}\right|,\\ {\mathit{a}}_{12}=\left|\begin{array}{cc}{a}_3^{(1)}& a_1^{(1)}\\ a_3^{(3)}& a_1^{(3)}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_2^{(1)}& a_1^{(1)}\\ a_2^{(2)}& a_1^{(2)}\end{array}\right|,{\mathit{\alpha }}_{22}=\left|\begin{array}{cc}{\mathit{\alpha }}_3^{(2)}& a_1^{(2)}\\ {\alpha }_3^{(3)}& a_1^{(3)}\end{array}\right|,{\mathit{a}}_{32}=\left|\begin{array}{cc}{a}_1^{(2)}& a_2^{(2)}\\ a_1^{(3)}& a_2^{(3)}\end{array}\right|,\\ {\alpha }_{13}=(a_2^{(2)}+a_3^{(3)})\sqrt{q},{\alpha }_{23}=-a_1^{(2)}\sqrt{q},{\alpha }_{33}=-a_1^{(3)}\sqrt{q},\\ \lambda =-(a_1^{(1)}+a_2^{(2)}+a_3^{(3)}),q=\left|\begin{array}{ll}{a}_1^{(1)}& a_2^{(1)}\\ a_1^{(2)}& a_2^{(2)}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll}{a}_1^{(1)}& a_3^{(1)}\\ a_1^{(3)}& a_3^{(3)}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_2^{(2}& a_3^{(2)}\\ a_2^{(3)}& a_3^{(3)}\end{array}\right|,\\ {\mathit{a}}_{jp}^{\prime }=(-1{)}^{p+/}{\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_0=\left|\begin{array}{lll}{\alpha }_{11}& {\alpha }_{12}& {\alpha }_{13}\\ {\alpha }_{21}& {\alpha }_{22}& {\alpha }_{23}\\ {\alpha }_{31}& {\alpha }_{32}& {\alpha }_{33}\end{array}\right|,\end{array}$$

и ${\mathrm{\Delta }}_1$ получается вычеркиванием из ${\mathrm{\Delta }}_{0}p$-й строки и $l$-го столбца.
Предполагается, что характеристическое уравнение линейной системы первого приближения имеет чисто мнимые корни ( $\lambda q+\mathrm{\Delta }=0$, где $\mathrm{\Delta }-$ определитель системы), и нумерация исходных уравнений такова, что
$$\left|\begin{array}{cc}{a}_1^{(1)}+\lambda & a_2^{(1)}\\ a_1^{(2)}& a_2^{(2)}+\lambda \end{array}\right|eq0\left|\begin{array}{cc}{a}_2^{(2)}-i\sqrt{q}& a_3^{(3)}\\ a_2^{(3)}& a_3^{(3)}-i\sqrt{q}\end{array}\right|eq0.$$

Такие два различных минора всегда найдутся.
Выражение первой ляпуновской величины qерез коэффициенты системы четырех уравнений общего вида дано в [2].
6. K стр. 118.
Так как величина $V^{\prime \prime \prime }(0)$ совпадает по знаку с первой ляпуновской величиной, то, разумеется, при исследовачии конкретных задач нет необходимости проделывать каждый раз довольно громоздкие преобразования к специальному виду, описанные авторами. Можно использовать готовые выражения первой ляпуновской величины для уравнений общего вида, приведенные в различных изданиях (например, в [9,10]).
7. К стр. 119.
Рассуждения авторов о возможности обнаружнть методом Хопфа рождение цикла из кривой $x^2+y^2=4$ выбором системы координат, переводящей окружность радиуса 2 в начало координат, — не убедительны (естественно считать, что, исследуя вопрос о рождении цикла, еще не знают есть ли цикл вообще и тем более-его уравнение). Не меняет дело и сведение заменой $\xi =x,y=\dot{x}+\mu (1/3x^3-x)$ (на которую указывают авторы) к системе того же типа, что и пример в 4В.1, так как здесь параметр $\mu$ будет входить также и при члене с ${\xi }^3$. Здесь цикл также ответвляется от кривой ${\xi }^2+y^2=4$ и метод Хопфа его не обнаруживает. Этот результат, однако, весьма просто получить, следуя Л. С. Понтрягину [11].
Если записать уравнение Ван-дер-Поля в виде системы
$$\dot{x}=y,\dot{y}=-x+\mu q(x,y),q(x,y)\equiv (1-x^2)y,$$

то радиусы окружностей $x^2+y^2=h_{0}eq0$, от которых ответвляются предельные циклы, находятся из уравнения
$\psi (h)=\iint \frac{\partial q}{\partial y}dxdy=4{\int }_0^{\sqrt{h}}(1-x^2)\sqrt{h-x^2}dx=\frac{\pi h}{4}(4-h)=0$.
8. К стр. 123.
Для вычисления был использован алгоритм определения первой ляпуновской величины через коэффициенты системы общего вида
$${\dot{x}}_j=a_1^{(f)}{x}_1+a_2^{(j)}{x}_2+a_3^{(j)}{x}_3+P_j(x_1,x_2,x_3);j=1,2,3,$$

данный Н. Н. Баутиным (см. примечание 5).
9. К стр. 175.
В этой главе требуется, чтобы $e^{k\theta (0)}eq1$ при $k=1,2,3,4,5$. Однако очевидно, что при наличии большего числа производных у отображения ${\mathrm{\Phi }}_{\mu }$ (в частности, когда ${\mathrm{\Phi }}_{\mu }$ класса $C^{\mathrm{\infty }}$ ) необходимо наложить на $\theta (0)$ тем большее число требований, чем большее число членов мы хотим привести к каноническому виду. Именно $e^{k\theta (0)}eq1,k=1,2,\dots ,n$ и $n$-любое заданное целое число, если ${\mathrm{\Phi }}_{\mu }$ класса $C^{\mathrm{\infty }}$.