Теперь рассмотрим $n$-мерный случай. Мы будем ссылаться на теорему 3.1.

(3.15) Теорема. Пусть $X_{\mu}$-векторное поле на $\mathbb{R}^{n}$ класса $C^{k+1}, k \geqslant 4$, которое удовлетворяет всем іредположениям теоремы 3.1, за исключением того, что будем считать оставшуюся часть спектра отличной от двух уже рассматривавшихся простых собственных значений $\lambda(\mu), \overline{\lambda(\mu)}$. Тогда выполняется заключение ( $A$ ). Заключение ( $B$ ) верно, если остаток спектра остается в левой полуплоскости, когда $\mu$ проходит через нуль. Заключение (C) верно, если относительно $\lambda(\mu), \overline{\lambda(\mu)}$ точка 0 является «слабым аттрактором» в том же смысле, как и в теореме 3.1, и если координаты выбраны так, что
\[
d X_{0}(0)=\left(\begin{array}{ccc}
0 & |\lambda(0)| & d_{3} X^{1}(0) \\
-|\lambda(0)| & 0 & d_{3} X^{2}(0) \\
0 & 0 & d_{3} X^{3}(0)
\end{array}\right), \quad \lambda(0)
otin \sigma\left(d_{3} X^{3}(0)\right) .
\]
(3.16) Замечания
(1) Условие $\lambda(0)
otin \sigma\left(d_{3} X^{3}(0)\right)$ не зависит от способа разложения $\mathbb{R}^{n}$ на пространство, соответствующее $\lambda(0), \overline{\lambda(0)}$, и на его дополнение, поскольку выбор различных дополнительных подпространств, как нетрудно видеть, приводит только к замене $d_{3} X^{3}(0)$ сопряженным оператором $C d_{3} X^{3}(0) C^{-1}$.
(2) Условие $\lambda(0)
otin \sigma\left(d_{3} X^{3}(0)\right)$ выполняется автоматически, если $n=3$, так как матрица $d X_{0}(0)$ действительна.
(3) Дальнейшие детали, касающиеся этой теоремы, будут даны в гл. 4.

Доказательство теоремы 3.15 получается комбинацией теоремы о центральном многообразии с теоремой 3.1, т. е. мы находим центральное многообразие, касательное к собственному подпространству $\lambda(\mu)$ и $\overline{\lambda(\mu)}$, и к нему применяем теорему 3.1. Важное отличие состоит в том, что в пункте (B) теоремы 3.1 мы утверждали устойчивость замкнутой орбиты на центральном многообразии. Здесь же в (В) мы утверждаем устойчивость замкнутой орбиты в полной окрестности в $R^{n}$. Дело в том, что мы можем свести нашу задачу к той, в которой центральным многообразием является плоскость $\left(x_{1}, x_{2}\right)$, причем последняя инвариантна относительно потока. Если $(x, 0, \mu)$ лежит на замкнутой орбите периода $\tau$, то
\[
d \Phi_{\tau, \mu}(x)=\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & d_{3} \Phi_{\tau}^{1}(x) \\
a_{21} & a_{22} & d_{3} \Phi_{\tau}^{2}(x) \\
0 & 0 & d_{3} \Phi_{\tau}^{3}(x)
\end{array}\right) .
\]

Из двумерной теоремы мы получим, что спектр верхнего блока на трансверсали к замкнутой орбите лежит в $\{z|| z \mid<$ $<1$ \}, а наши предположения плюс непрерывная зависимость спектра от параметра дают то же самое для $\sigma\left(d_{3} \Phi_{\tau}^{3}(x)\right)$. Так как спектр отображения Пуанкаре равен спектру отображения $d \Phi_{\tau, \mu}(x)$, ограниченного на подпространство трансверсальное к замкнутой орбите, то $\sigma(d P(x)) \subset\{z|| z \mid<1\}$ и орбита устойчива.
(3.17) Упражнение. Показать, что векторное поле $X_{\mu}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{2}, \mu\left(1-x_{1}^{2}\right) x_{2}-x_{1}\right)$ удовлетворяет условиям теоремы 3.1.
(3.18) Упражнение. Ниже все уравнения даны в полярных координатах. Для каждого уравнения указать соответствующую ему картинку и установить, какое из предположений теоремы о рождении цикла нарушено (если задачу решить не удастся, попробуйте вернуться к ней после чтения гл. 3A).
\[
\text { 1. } \begin{aligned}
\dot{r} & =-r(r+\mu)^{2}, \\
\dot{\theta} & =1 .
\end{aligned}
\]
3.
\[
\begin{array}{l}
\dot{r}=r(r+\mu)(r-\mu), \\
\dot{\theta}=1 .
\end{array}
\]
2. $\dot{r}=r\left(\mu-r^{2}\right)\left(2 \mu-r^{2}\right)^{2}$,
\[
\dot{\theta}=1 \text {. }
\]
4.
\[
\begin{array}{l}
\dot{r}=\mu r(r+\mu)^{2}, \\
\dot{\theta}=1 .
\end{array}
\]
5.
\[
\begin{array}{l}
\dot{r}=-\mu^{2} r(r+\mu)^{2}(r-\mu)^{2}, \\
\dot{\theta}=1 .
\end{array}
\]