Сформулируем основной результат.
(8.5) Теорема. При указанных выше предположениях в пространстве $E$ существует окрестность $U$ точки $O$ и число $\varepsilon>0$, такие, что $F_{t}^{\mu}(x)$ определено при всех $t \geqslant 0$ для $\mu \in$ $\in(-\varepsilon, \varepsilon] \quad u \quad x \in U$. Для каждого $\mu>0$ поток $F_{t}^{\mu}$ имеет единственную устойчивую замкнутую орбиту. Эти орбиты при изменении $\mu$ образуют однопараметрическое непрерывно зависящее от $\mu$ семейство. Решения, близкие к ним, определены для всех $t \geqslant 0$. Существует окрестность начала координат, в которой любая замкнутая орбита потока совпадает с одной из орбит семейства.

Особо отметим, что вблизи периодических орбит решения определены для всех $t \geqslant 0$. Это важный критерий глобального существования решений (см. также Сэттинджер $[1,2])$.

Конечно, можно обобщить этот результат: например, рассмотреть случай, когда система зависит от нескольких параметров и несколько собственных значений пересекают окружность, или случай системы с симметрией, рассмотренный ранее (гл. 7). Таким же образом можно доказать рождение инвариантного тора из периодической орбиты.

Доказательство теоремы (набросок). Қак показано вгл. 2, теорему о центральном многообразии можно применять к потокам. Таким образом, для гладкого потока $F_{t}(x, \mu)=$ m.. $\left(F_{t}^{\mu}(x), \mu\right)$ мы можем получить существование локально инвариантного центрального многообразия $C$; это трехмерное многообразие, касающееся оси $\mu$ и двумерного собственного направления оператора $G_{t}^{0}(0)$. (Инвариантное многообразие устойчиво и содержит всю локальную рекуррентность, но $F_{t}$ пока еще только локальный поток на этом многообразии.)

Оказывается, существует замечательное свойство гладких полупотоков, которое доказано в гл. 8А (отсылаем к Бохнеру и Монтгомери [1], см. Чернов и Марсден [2]): оно состоит в том, что полупоток $F_{t}$ на конечномерном многообразии $C$ порождается $C^{\infty}$-векторным полем, т. е. исходное поле $X$, ограниченное на $C$, является $C^{\infty}$-векторным полем (определенным во всех точках). После этого все немедленно сводится к теореме Хопфа в размерности 2, и за доказательством можно отослать к гл. 3 .

Здесь все может быть проделано точно так же, как вгл. 6. Однако, как объяснено в гл. $2 \mathrm{~B}$, необходимо знать, что $F_{t}^{\mu}(x)$ гладко зависит от $t, \mu, x$ для $t>0$. Тогда отображение Пуанкаре для замкнутой орбиты будет корректно определенным и гладким, и после сведения к конечной размерности с помощью теоремы о центральном многообразии, как в гл. 6, оно будет диффеоморфизмом в силу следствия 8А.9. Поэтому мы действительно можем воспользоваться теми же самыми бифуркационными теоремами, что и в гл. 6 , для анализа рождения тора. Для проверки предположений гладкости можно использовать результаты гл. 8A и 9.