В этом разделе мы кратко напомним некоторые факты спектральной теории линейных операторов. Подробнее см. у Рудина [1] или Данфорда и Шварца [1,2]. Используя эти результаты, мы докажем теоремы 1.3 и 1.4.

Пусть $T: E \rightarrow E$ – ограниченный линейный оператор, действующий в банаховом пространстве $E$, и $\sigma(T)$ – его спектр, $\sigma(T)=\{\lambda \in \mathbb{C} \mid T-\lambda I$ не имеет обратного на комплексификации $E\}$. Тогда $\sigma(T)$ непусто, компактно, и если $\lambda \in \sigma(T)$, то $|\lambda| \leqslant\|T\|$. Обозначим через $r(T)$ спектральный радиус $T$, определяемый равенством $r(T)=\sup \{|\lambda| \lambda \in \sigma(T)\} ; \quad r(T)$. можно также определить по формуле
\[
r(T)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|T^{n}\right\|^{1 / n} .
\]
(Доказательство этого факта аналогично выводу формулы для радиуса сходимости степенного ряда и может быть легко получено, см. Рудин [1, стр. 264].)

Доказательства следующих двух лемм также несложны и могут быть найдены в книгах, на которые мы уже ссылались.
(2A.1) Лемма. Пусть $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} z^{n}$-целая функция $и$ $\tilde{f}(T)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} T^{n}$. Тогда $\sigma(\tilde{f}(T))=f(\sigma(T))$.
(2А.2) Лемма. Предположим, что $\sigma(T)=\sigma_{1} \cup \sigma_{2}$ причем $d\left(\sigma_{1}, \sigma_{2}\right)>0$. Тогда однозначно определяются T-инвариантные подпространства $E_{1}$ и $E_{2}$, такие, что $E=E_{1} \oplus E_{2}$, и если $T_{i}=\left.T\right|_{E_{i}}$, то $\sigma\left(T_{i}\right)=\sigma_{i}$. $E_{i}$ называется обобщенным собственным подпространством $\sigma_{i}$.

Лемма 2А.2 доказывается следующим образом. Выберем замкнутую кривую $\gamma_{1}$, такую, что $\sigma_{1}$ лежит внутри, а $\sigma_{2} \rightarrow$

вне ее. Тогда
\[
T_{1}=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma_{1}} \frac{d z}{z I-T}{ }^{\mathrm{I}} .
\]

Отметим, что собственное пространство собственного значения $\lambda$ не всегда совпадает с обобщенным собственным подпространством $\lambda$. В конечномерном случае обобщенное собственное подпространство $\lambda$ совпадает с подпространством, соответствующим всем жордановым клеткам, содержащим $\lambda$ в канонической жордановой форме.
(2А.3) Лемма. Пусть $T, \sigma_{1}, \sigma_{2}$ обозначают то же, что $u$ в лемме 2A. 2 и $d\left(e^{\sigma_{1}}, e^{\sigma_{2}}\right)>0$. Тогда для оператора $e^{t T}$ обобщенным собственным подпространством множества tб $_{i}$ является $E_{i}$.

Доказательство. Согласно лемме 2A.2, $E=E_{1} \oplus E_{2}$. Поэтому
\[
\begin{array}{l}
e^{t T}\left(e_{1}, e_{2}\right)=\sum_{0}^{\infty} \frac{t^{n} T^{n}}{n !}\left(e_{1}, e_{2}\right)=\left(\sum_{0}^{\infty} \frac{t^{n} T^{n}}{n !} e_{1}, \sum_{0}^{\infty} \frac{t^{n} T^{n}}{n !} e_{2}\right)= \\
=\left(\sum_{0}^{\infty} \frac{t^{n} T_{1}^{n}}{n !} e_{1}, \sum_{0}^{\infty} \frac{t^{n} T_{2}^{n}}{n !} e_{2}\right)=\left(e^{t T_{1}} e_{1}, e^{t T_{2}} e_{2}\right) .
\end{array}
\]

Теперь доказательство очевидно.
(2А.4) Лемма. Пусть $T: E \rightarrow E$ – ограниченный линейный оператор, определенный в банаховом пространстве $E$, и $r$ любое число, большее $r(T)$. Тогда существует норма $|\cdot|$ на $E$, эквивалентная исходной, для которой $|T| \leqslant r$.

Доказательство. Как мы знаем, $r(T)$ дается формулой $r(T)=\lim \left\|T^{n}\right\|^{1 / n}$. Поэтому $\sup _{n \geqslant 0} \frac{\left\|T^{n}\right\|}{r^{n}}<\infty$. Определим $|x|=$ $=\sup _{n \geqslant 0} \frac{\left\|T^{n}(x)\right\|}{r^{n}}$. Тогда, как нетрудно видеть, $|\cdot|$ является нормой и
\[
\|x\| \leqslant|x| \leqslant\left(\sup _{n \geqslant 0} \frac{\left\|T^{n}\right\|}{r^{n}}\right)\|x\| .
\]

Следовательно,
\[
|T(x)|=\sup _{n \geqslant 0} \frac{\left\|T^{n+1}(x)\right\|}{r^{n}}=r \sup _{n>0} \frac{\left\|T^{n+1}(x)\right\|}{r^{n+1}} \leqslant r|x| .
\]
1) По поводу смысла этого интеграла см. Рудин [1], Дьедонне [1].Прим. перев.

(2А.5) Лемма. Пусть $A: E \rightarrow E$-ограниченный оператор, и пусть $r>\sigma(A)$ (т. е. если $\lambda \in \sigma(A)$, то $\operatorname{Re} \lambda<r$ ). Тогда существует эквивалентная норма $|\cdot|$ на $E$, такая, что для $t \geqslant 0$
\[
\left|e^{t A}\right| \leqslant e^{r t} \text {. }
\]

Доказательство. Заметим, что $e^{\text {rt }}$ больше спектрального радиуса $e^{t A}$ (см. лемму 2A.1), т. е.
\[
e^{r t} \geqslant \lim _{n \rightarrow \infty}\left\|e^{n t A}\right\|^{1 / n} \text {. }
\]

Положим
\[
|x|=\sup _{\substack{n \geqslant 0 \\ t \geqslant 0}} \frac{\left\|e^{n t A}(x)\right\|}{e^{r n t}} .
\]

Далее доказательство ведется так же, как и в лемме 2A.4.
Аналогичную лемму можно доказать для случая $r<\sigma(A)$. Тогда $\left|e^{t A}\right| \geqslant \mathrm{e}^{r t}$. Располагая такой техникой, мы вернемся к доказательству теорем 1.3, 1.4 гл. 1.
(1.3) Теорема. Пусть $T: E \rightarrow E-$ ограниченный линейный оператор. Если $\sigma(T) \subset\{z \mid \operatorname{Re} z<0\}$ (соответственно $\sigma(T) \subset$ $\subset\{z \mid \operatorname{Re} z>0\}$ ), то нуль является притягивающей (соответственно отталкивающей) неподвижной точкой потока $\varphi_{t}=$ $=e^{t T}$.

Доказательство. Утверждение теоремы есть очевидное следствие леммы 2A.5, ибо при $\sigma(T) \subset\{z \mid \operatorname{Re} z<0\}$ существует $r<0$, такое, что $\sigma(T)<r$, так как $\sigma(T)$ компактно. Тем самым $\left|e^{t A}\right| \leqslant e^{r i} \rightarrow 0$ при $t \rightarrow+\infty$.
Теперь мы докажем первую часть теоремы 1.4 из гл. 1.
(1.4) Теорема. Пусть $X$-векторное поле класса $C^{1}$ на банаховом многообразии $P$ и $X\left(p_{0}\right)=0$. Если $\sigma\left(d X\left(p_{0}\right)\right) \subset$ $\subset\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re} z<0\}$, то $p_{0}$ асимптотически устойчиво.

Доказательство. Мы можем считать $P$ банаховым пространством $E$ и $p_{0}=0$. Как и выше, перенормируем $E$ и найдем $\varepsilon>0$, при котором $\left\|e^{t A}\right\| \leqslant e^{-\varepsilon t}$, где $A=d X(0)$.

Локальная теорема существования для обыкновенных дифференциальных уравнений ${ }^{1}$ ) позволяет найти $r$-шар с центром в нуле, для которого время, где гарантируется существование решения, не зависит от начальной точки $x_{0}$, если $x_{0}$ лежит в этом шаре.
1) См., например, Хейл [1], Хартман [1], Ленг [1] и др.

Пусть $R(x)=X(x)-D X(0) \cdot x$. Возьмем $r_{2} \leqslant r_{1}$ такое, что из $\|x\| \leqslant r_{2}$ следует $\|R(x)\| \leqslant \alpha\|x\|$, где $\alpha=\frac{\varepsilon}{2}$.

Пусть $B$-открытый ( $\left.r_{2} / 2\right)$-шар с центром в нуле. Теорема будет доказана, если мы покажем, что при $x_{0} \in B$ траектория, начинающаяся в точке $x_{0}$, остается в $B$ и стремится к 0 при $t \rightarrow+\infty$.

Возьмем траекторию $x(t)$ поля $X$, начинающуюся в точке $x_{0}$. Допустим, что $x(t)$ остается в $B$ при $0 \leqslant t<T$. Заметим, что
\[
x(t)=x_{0}+\int_{0}^{t} X(x(s)) d s=x_{0}+\int_{0}^{t}[A(x(s))+R(x(s))] d s,
\]

поэтому (по формуле Дюамеля, упр. 2.9)
\[
x(t)=e^{t A} x_{0}+\int_{0}^{t} e^{(t-s) A} R(x(s)) d s,
\]

и, следовательно,
\[
\|x(t)\| \leqslant e^{-t \varepsilon} x_{0}+\alpha \int_{0}^{t} e^{-(t-s) \mathrm{E}}\|x(s)\| d s .
\]

Если мы теперь положим $f(t)=e^{t \varepsilon}\|x(t)\|$, то
\[
f(t) \leqslant x_{0}+\alpha \int_{0}^{t} f(s) d s
\]

и, следовательно,
\[
f(t) \leqslant\left\|x_{0}\right\| e^{a t} .
\]
(Это элементарное неравенство обычно называется неравенством Гронуолла, см. Хартман [1].)
Таким образом,
\[
\|x(t)\| \leqslant\left\|x_{0}\right\| e^{(\alpha-\varepsilon) t}=\left\|x_{0}\right\| e^{-\varepsilon t / 2} .
\]

Отсюда следует, что $x(t) \in B, 0 \leqslant t<T$, поэтому $x(t)$ можно продолжить на все $t$, и вышеприведенная оценка продолжает выполняться. Этим доказано, что $x(t) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow+\infty$.

Та часть теоремы 1.4, которая касается неустойчивости, требует использования теорем об инвариантных многообразиях, соответствующих расщеплению спектра на две части, расположенные в правой и левой полуплоскостях. Вышеприведенный анализ показывает, что в подпространстве, соответствующем спектру в правой полуплоскости, $p_{0}$ – отталкивающая точка и поэтому неустойчива.
(2A.6) Замечания. Теорема 1.3 остается верной, причем с тем же доказательством, если $T$ – неограниченный оператор, при условии, что $\sigma\left(e^{t T}\right)=e^{t \sigma(T)}$; это часто выполняется для не очень плохих $T$ (например, если $T$ имеет дискретный спектр), но в общем случае справедливо не всегда. (см. Хилле и Филлипс [1]). Это замечание важно для применений к уравнениям с частными производными.

Доказательство теоремы 1.4 требует, вообще говоря, условия $R(x)=o(\|x\|)$, что нереально для уравнений с частными производными. Тем не менее справедливо следующее утверждение.
Предположим, что
\[
\sigma\left(D F_{t}(0)\right)=e^{t \sigma(D X(0))},
\]

и мы рассматриваем $C^{0}$ поток $F_{t}, y$ которого каждое $F_{t}$ класса $C^{1}$ с производной, сильно непрерывной по $t$ (см. гл. 8A). Тогда теорема 1.4 по-прежнему верна.

Это можно доказать следующим образом: при тех же сбозначениях по формуле Тейлора
\[
F_{t}(x)-0=F_{t}(x)-F_{t}(0)=D F_{t}(0) \cdot x+R(t, x),
\]

где $R(t, x)$-остаточный член. Далее, до тех пор, пока $x$ остается в малой окрестности 0 , выполняется оценка
\[
\|R(t, x)\|=O(\|x\|) e^{-\varepsilon t} .
\]

Это вытекает из неравенства $\left\|D F_{t}(0)\right\| \leqslant e^{-2 e t}$, откуда
\[
\left\|D F_{t}(x)\right\| \leqslant e^{-\varepsilon t}
\]

при некотором $\varepsilon>0$ и $x$ в окрестности 0 ; напомним также, что
\[
R(t, x)=\int_{0}^{1}\left\{D F_{t}(s x) \cdot x-D F_{t}(0) \cdot x\right\} d s .
\]

Таким образом, рассуждая как в теореме 1.4, мы можем получить, что $x$ остается вблизи нуля и $F_{t}(x)$ экспоненциально стремится к нулю при $t \rightarrow \infty$.
(2А.7) Упражнение. Пусть $E$ – банахово пространство и $F: E \rightarrow E$-отображение класса $C^{1}, F(0)=0$, а спектр $D F(0)$ лежит внутри единичной окружности. Показать, что существует окрестность $U$ точки 0 , для которой из $x \in U$ следует $F^{n}(x) \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, т. е. 0 – устойчивая точка $F$.