Предположим, что мы изучаем физическую систему, состояние которой описывается дифференциальным уравнением $\frac{d x}{d t}=X(x)$, удовлетворяющим условиям теоремы существования и единственности решений. Пусть $x_{0}$ – особая точка уравнения, т. е. $X\left(x_{0}\right)=0$. Представим себе, что мы смогли экспериментально установить, что в момент $t=0$ система находится в состоянии $x_{0}$. Можем ли мы быть уверены, что она останется в этом состоянии и далее? Хотя формальноматематический ответ на этот вопрос, очевидно, положителен, он, к сожалению, имеет мало отношения к тому, что мы хотим выяснить. Реальные эксперименты очень редко дают точные ответы на вопросы о поведении идеализированных моделей, и поэтому в большинстве случаев вопрос следует ставить так: будет ли система оставаться вблизи $x_{0}$, если в начальный момент она была близка к этому состоянию? Ответ на уточненный таким образом вопрос уже может быть отрицательным, но даже в этом случае более детальное изучение дифференциального уравнения позволяет иногда предсказывать будущее поведение системы. Проиллюстрируем вышесказанное на простом примере. Рассмотрим два дифференциальных уравнения на действительной прямой
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}(t)=-x(t), \\
x^{\prime}(t)=x(t),
\end{array}
\]

решениями которых соответственно являются
\[
\begin{array}{l}
x\left(x_{0}, t\right)=x_{0} e^{-t} \\
x\left(x_{0}, t\right)=x_{0} e^{+t} .
\end{array}
\]

Отметим, что 0 -особая точка обоих уравнений. В первом случае $\lim _{t \rightarrow+\infty} x\left(x_{0}, t\right)=0$ для всех $x_{0} \in \mathbb{R}$. Точки всей действительной прямой движутся к нулю, поэтому здесь нетрудно предсказать будущее поведение системы: если точка $x_{0}$ находилась вблизи нуля, то и $x\left(x_{0}, t\right)$ будет близка к нулю.

Предположим теперь, что мы наблюдаем систему, состояние которой описывается уравнением (1.2). Эксперимент, из которого получено приблизительное равенство $x_{0}=0$, уже не позволяет утверждать, что и в дальнейшем $x\left(x_{0}, t\right)$ останется вблизи нуля, так как все точки, кроме нуля, быстро уходят от него. Более того, этот эксперимент вообще не позволяет нам дать правдоподобное предсказание относительно положения $x(t)$, поскольку если $x(0)<0$, то $x(t)$ быстро уходит от начала к $-\infty$, а если $x(0)>0$, то $x(t)$ уходит $\mathrm{K}+\infty$.
Рис. 1.1a.
Рис. 1.1б.

Поэтому наблюдатель, следящий за такой системой, видел бы, что иногда $x(t) \xrightarrow[t \rightarrow \infty]{\longrightarrow}-\infty$, а иногда $x(t) \xrightarrow[t \rightarrow \infty]{\longrightarrow}+\infty$. Peшение $x(t)=0$, скорее всего, вообще не будет наблюдаться из-за имеющихся всегда слабых возмущений начального состояния. Такой тип поведения часто встречается в природе. И происходит это вовсе не вследствие неединственности решений дифференциального уравнения, а по причине неустойчивости решения относительно малых возмущений начальных условий.

Отсюда мы можем сделать вывод, что при «описании природы» имеют смысл только устойцивые математические модели ${ }^{1}$ ).

Рассмотрим теперь следующий пример ${ }^{2}$ ). K потолку подвешен жесткий обруч, и в нижней точке обруча покоится маленький шарик. Обруч вращается с частотой $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр (рис. 1.1а). При малых значениях $\omega$ шарик остается в нижней точке обруча, и это положение устойчиво. Когда же $\omega$ проходит через некоторое критическое значение $\omega_{0}$, шарик перекаты-
1) Дальнейшие обсуждения см. в книге Абрахама и Марсдена [1], заключительная глава.
2) Этот пример предложен нам Е. Қалаби.

вается по обручу в новое устойчивое положение $x(\omega)$. Шарик может перекатываться вправо или влево в зависимости от направления начального смещения (рис. 1.1б). Нижняя точка обруча остается положением равновесия, однако оно стало неустойчивым и практически никогда не наблюдается. Хотя решения дифференциального уравнения движения шарика удовлетворяют теореме единственности при всех значениях $\omega$, при $\omega>\omega_{0}$ эта единственность ничего нам не дает: мы не можем предсказать, куда сместится шарик. Математи-
Рис. 1.2.

чески это означает, что исходная устойчивая особая точка стала неустойчивой и расщепилась на две устойчивые особые точки (см. рис. 1.2 и упр. 1.16 ниже) ${ }^{1}$ ).

В связи с тем что вопросы устойчивости имеют важное практическое значение, мы сформулируем точное определение устойчивости и выведем некоторые критерии проверки последней.
(1.1) Определение. Пусть $F_{t}$ – некоторый $C^{0}$-поток (или полупоток) ${ }^{2}$ ) на топологическом пространстве $M$, и пусть $A$ – инвариантное множество, т. е. $F_{t}(A) \subset A$ для всех $t$.
1) В настоящем параграфе рассматривается не характер устойчивости данной особой точки (как в предыдущем простом примере), а зависимость поведения системы от параметра. – Прим. ред.
2) То есть $F_{t}: M \rightarrow M, F_{0}$ – тождественное отображение и $F_{t+s}=F_{s} \circ F_{t}$ для всех $t, s \in \mathbb{R}$. Символ $C^{0}$ означает, что $F_{t}(\mathrm{x})$ непрерывно по $(t, x)$. Полупоток определен только для $t \geqslant 0$. Более подробно об этом см. Ленг [1], Хартман [1] или Абрахам и Марсден [1], где обсуждаются потоки, порожденные векторными полями. Бесконечномерный случай рассматривается в гл. 8А или у Абрахама и Марсдена [1].

Будем называть множество $A$ устойчивым (соответственно асимптотически устойчивым или аттрактором), если для любой окрестности $U$ множества $A$ существует такая его окрестность $V$, что траектория $x\left(x_{0}, t\right) \equiv F_{t}\left(x_{0}\right)$ принадлежит $U$, если $x_{0} \in V\left(\right.$ соответственно $\left.\bigcap_{t \geqslant 0} F_{t}(V)=A\right)$.

Другими словами, множество $A$ устойчиво (или является притягивающим), если для любой начальной точки, близкой
(a)
(6)
(B)

Рис. 1.3. $а$ – устойчивая особая точка; б-асимптотически устойчивая особая точка; в – устойчнвая замкнутая орбита.

к $A$, траектория, проходящая через эту точку, остается вблизи $A$ (соответственно стремится к $A$ ) (см. рис. 1.3).

Множество $A$ называется нецстойчивым, если оно не является устойчивым.
(1.2) Упражнение. Показать, что в примере с шариком в обруче нижняя точка обруча является устойчивой при $\omega<\omega_{0}=\sqrt{g / R}, \quad$ а при $\omega>\omega_{0}$ существуют две устойчивые особые точки, определяемые уравнением $\cos \theta=g / \omega^{2} R$, где $\theta$ – угол, отсчитываемый от направленной вертикально вниз оси, $R$ – радиус обруча, $g$ – ускорение силы тяжести.

Простейший случай, когда можно установить устойчивость особой точки $x_{0}$, – это случай конечномерной линейной системы. Пусть $X: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ – линейное отображение; тогда $x\left(x_{0}, t\right)=e^{t X}\left(x_{0}\right)$ – поток, соответствующий этому отображению $\left.{ }^{1}\right)$. Очевидно, что нуль является особой точкой.
1) Здесь под $e^{t x}$ понимается линейный оператор, который является аналитической функцией оператора $X$ и который может быть записан в виде суммы ряда $\sum t^{k} X^{k} / k$. Если в $\mathrm{R}^{n}$ выбран базис, то $X$ задается $(n \times n)$-матрицей $B$ и $e^{t x}$ задается матрицей $e^{t B} .-$ Пим. перев.

Обозначим через $\left\{\lambda_{j}\right\}$ множество собственных значений $X$. Тогда $\left\{e^{\lambda_{j} t}\right\}$ – множество собственных значений $e^{t x}$. Предположим, что $\operatorname{Re} \lambda_{f}<0$ для всех $j$. Используя каноническую жорданову форму матрицы, можно проверить, что в этом случае точка 0 асимптотически устойчива, так как $e^{\lambda_{i} t} \mid=e^{\operatorname{Re} \lambda_{j} t} \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$. Если же существует $\lambda_{j}$ с положительной действительной частью, то 0 – неустойчивая точка. В более общем случае имеет место
(1.3) Теорема. Пусть $X: E \rightarrow E$ – непрерывное линейное отображение банахова пространства $E$ в себя. Нуль является устойчивой притягивающей точкой потока, порожденного $X$, если спектр $\sigma(X)$ отображения $X$ лежит в открытой левой полуплоскости ${ }^{1}$ ). Если существует $z \in \sigma(X)$ с $\operatorname{Re} z>0$, то нуль – неустойчивая точка.

Эта теорема будет доказана в гл. 2 A, где помещен также обзор некоторых необходимых сведений о спектральной теории.

Обратимся теперь к случаю нелинейных систем. Пусть $P$ – банахово многообразие $\left.{ }^{2}\right), X$ – векторное поле класса $C^{1}$ на $P$. Пусть $X\left(p_{0}\right)=0$. Тогда $d X\left(p_{0}\right): T_{p_{0}}(P) \rightarrow T_{p}(P)$ – непрерывное линейное отображение банахова пространства в себя. Следующую основную теорему Ляпунова [1] мы также докажем в гл. 2A.
(1.4) Теорема. Пусть $X$-векторное поле класса $C^{1}$ на банаховом многообразии $P$ и $p_{0}$-особая точка $X$, т. $e$. $X\left(p_{0}\right)=0$. Обозначим через $F_{t}$ поток, определенный полем $X$, т. е. $\frac{\partial}{\partial t} F_{t}(x)=X\left(F_{t}(x)\right), F_{0}(x)=x . \quad$ (Заметим, что $F_{t}\left(p_{0}\right)=$ $=p_{0} \partial$ д всех $t$.)

Если спектр $d X\left(p_{0}\right)$ лежит в левой полуплоскости, т. е. $\sigma\left(d X\left(p_{0}\right)\right) \subset\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re} z<0\}$, то особая точка $p_{0}$ асимптотически устойчива.

Если в спектре существует изолированная точка $z \in$ $\in \sigma\left(d X\left(p_{0}\right)\right)$, для которой $\operatorname{Re} z>0$, то особая точка $p_{0}$ неустойчива. Если же $\sigma\left(d X\left(p_{0}\right)\right) \subset\{z \mid \operatorname{Re} z \leqslant 0\}$ и существует $z \in \sigma\left(d X\left(p_{0}\right)\right) \quad$ с $\operatorname{Re} z=0$, то устойчивость не может быть определена по линеаризованному уравнению.
(1.5) Упражнение. Рассмотрим следующее векторное поле на $\mathbb{R}^{2}: X(x, y)=\left(y, \mu\left(1-x^{2}\right) y-x\right)$. Определить, является ли
1) Напомним, что спектр непрерывного линейного оператора является компактным множеством. – Прим. перев.
2) Мы будем использовать только самые элементарные факты теории многообразий, главным образом из-за удобства геометрического языка, Qсновные ее идеи изложены у Ленга [1] или Марсдена [4].

начало координат неустойчивой, устойчивой или притягивающей точкой при $\mu<0, \mu=0$ и $\mu>0$.

Многие интересные физические задачи приводят к дифференциальным уравнениям, зависящим от параметра (например, угловая скорость $\omega$ в задаче о шарике в обруче). Пусть $X_{\mu}: P \rightarrow T P$ – векторное поле (гладкое) на банаховом многообразии $P$, зависящее от параметра $\mu$. Предположим, что существует непрерывная кривая $p(\mu)$ на многообразии $P$, такая, что $X_{\mu}(p(\mu))=0$, т. е. при каждом $\mu$ точка $p(\mu)$ – особая точка потока $X_{\mu}$. Предположим, что точка $p(\mu)$ является притягивающей для $\mu<\mu_{0}$ и неустойчивой для $\mu>\mu_{0}$. В этом случае точка ( $\left.p\left(\mu_{0}\right), \mu_{0}\right)$ называется точкой бифуркации потока $X_{\mu}$. При значениях $\mu<\mu_{0}$ поток $X_{\mu}$ можно описать (по крайней мере в окрестности точки $p(\mu)$ ), сказав, что траектории потока стремятся к $p(\mu)$ при $t \rightarrow \infty$. Однако при значениях $\mu>\mu_{0}$ это уже не так, и поэтому при переходе через значение $\mu_{0}$ характер потока может внезапно измениться. Так как особая точка $p(\mu)$ неустойчива при $\mu>\mu_{0}$, то нас, естественно, будет интересовать существование устойчивого режима при $\mu>\mu_{0}$. Таким образом, нас интересуют те бифуркации, в результате которых при значениях параметра, больших критического, возникают устойчивые режимы.

Пусть, например, существует несколько кривых $p_{i}(\mu)$, таких, что при всех $\mu$ выполняется равенство $X_{\mu}\left(p_{i}(\mu)\right)=0$, т. е. $p_{i}(\mu)$ – особая точка потока $X_{\mu}$ при всех $\mu$. При значении $\mu=\mu_{0}$ эти кривые могут иметь общую точку.

Могут существовать кривые устойчивых особых точек при $\mu>\mu_{0}$. Так, в примере с шариком в обруче существуют две кривые $p_{1}(\omega)$ и $p_{2}(\omega)$ для $\omega \geqslant \omega_{0}$, одна поднимается с левой стороны обруча, а другая – с правой (рис. 1.2).

Возможен и другой тип бифуркаций, связанный с появлением периодических орбит ${ }^{1}$ ). Именно, могут существовать кривые $\alpha: I \rightarrow P$, такие, что $\alpha\left(\mu_{0}\right)=p\left(\mu_{0}\right)$, а $\alpha(\mu)\left(\mu
eq \mu_{0}\right)$ является точкой, лежащей на замкнутой орбите $\gamma_{\mu}$ потока $X_{\mu}$ (рис. 1.4). K этому типу принадлежит бифуркация рождения цикла из фокуса. Ниже мы кратко рассмотрим примеры таких бифуркаций в гидродинамике.

Появление устойчивых замкнутых орбит (периодических решений) можно интерпретировать как «сдвиг устойчивости» от исходного стационарного решения к периодическому решению, так как точка, взятая вблизи исходной особой точки,
1) Авторы вместо широко используемого в русской математической литературе термина «траектория» используют термин «орбита». Мы сохраняем терминологию авторов. – Прим. ред.

Рис. 1.4. Общее понятие о бифуркации рождения цикла: $a$-суперкритическая бифуркация (устойчивые замкнутые орбиты); б-субкритическая бифуркация (неустойчивые замкнутые орбиты).

теперь уже притягивается к замкнутой орбите и со временем становится неотличимой от нее (рис. 1.4 и 1.5).

Возможны также и другие бифуркации, например появление устойчивого двумерного тора из устойчивой замкнутой орбиты. При наличии симметрий ситуация еще более усложняется. Подробно все это рассматривается в гл. 7, здесь же мы только приведем пример.
(1.6) Пример: шарик в сфере. Твердая полая сфера подвешена к потолку и вращается с частотой $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр (рис. 1.6).

При малых $\omega$ нижняя точка сферы устойчива, но при $\omega>\omega_{0}$ шарик поднимается на боковую часть сферы в новое положение равновесия. Для каждого $\omega>\omega_{0}$ существует устойчивая инвариантная окружность состояний равновесия (рис. 1.7). Из-за наличия симметрии в этой задаче мы получаем окружность состояний равновесия, а не изолированное состояние равновесия.

Прежде чем обсуждать методы определения типа бифуркации и связанные с этим вопросы устойчивости, мы кратко

Рис. 1.5. Бифуркация рождения цикла: $a$-устойчивая точка; 6 -появление замкнутой орбиты; в – амплитуда замкнутой орбиты возрастает.

опишем общую схему изменения областей притяжения, данную Р. Абрахамом [1], [2].

Представим себе некий ландшафт, по которому течет вода. Аттрактору сопоставим бассейн, собирающий воду. Более точно, если $F_{t}$ – поток на $M$ и $A$ – аттрактор, то бассейн
Рис. 1.6.
Рис. 1.7.

аттрактора $A$ – это множество тех $x \in M$, которые стремятся к $A$ при $t \rightarrow+\infty$ (обычно в этом случае используют менее живописный термин: не бассейн, а «устойчивое многообразие»).

При изменении параметров ландшафт деформируется и поток изменяется. Бассейны могут объединяться, образовываться новые бассейны, старые исчезать, сами аттракторы усложняться и т. д. Бифуркацию рождения цикла из особой точки можно представить себе следующим образом. Мы начинаем с простого бассейна, имеющего форму параболоида, что соответствует точечному аттрактору. Когда параметр меняется, в центре бассейна вырастает маленький холмик. Теперь новый аттрактор есть окружность (аналог периодической орбиты в теореме о рождении цикла) и ее бассейн равен исходному за вычетом верхней точки холмика ${ }^{1}$ ). Заметим; что при этом могут самопроизвольно появляться или исчезать сложные аттракторы, если возвышенное плато, опускаясь, превратится в бассейн или бассейн поднимется, образуя плато.

В оставшейся части книги, а также в литературе, указанной в библиографии, приведено большое число примеров из различных разделов естествознания, в которых важную роль играет бифуркация рождения цикла из особой точки. Она описывает возникновение колебаний в химических и биологических системах (см., например, Қоппель, Ховард [1-6]²), Абрахам [1-2] и гл. 10, 11 настоящей книги), включая такие явления, как фибрилляция сердца ${ }^{3}$ ).

Один из наиболее изученных примеров возникает в гидродинамике. Для того чтобы рассмотреть его, мы сначала изложим некоторые основные понятия этой науки.