Пусть изображающая точка, описывающая состояние системы $X(\mu)$, при $\mu<0$ находится или в стоке $\Gamma$, или в его «бесконечно малой» окрестности, другими словами, Г является установившимся режимом системы. При переходе через опасную границу положение изображающей точки будет неопределено, поскольку $\Gamma^{*}$ либо исчезает, либо становится неустойчивым. Поэтому естественно высказать следующую аксиому.

Аксиома неопределенности. При переходе через опасную границу: 1) изображающая точка покидает окрестность $U\left(\Gamma^{*}\right) ; 2$ ) выход ее может происходить по любой траектории, покидающей $U\left(\Gamma^{*}\right) ; 3$ ) новым установившимся режимом может быть только аттрактор, т.е. притягивающее предельное множество.

Дальнейшее рассмотрение связано с ответом на следующий вопрос: куда при переходе через опасную границу «перескакивает» изображающая точка [27]?

Для случая двумерных автоколебательных систем, близких к линейным консервативным, эта задача была решена A. А. Андроновым еще в 30 -х годах в связи с изучением явлений мягкого и жесткого режимов возбуждения колебаний. Характерной особенностью конкретных систем, рассмотренных как в работах А. А. Андронова, так и в публикациях других авторов, явилось следующее обстоятельство: после прохождения опасной границы новый установившийся режим системы указывался однозначно. Однако в общем случае это может быть не так. Свое рассмотрение мы ограничим случаем, когда $X(\mu)$ при $\mu \leqslant 0$ имеет только конечное число периодических движений и состояний равновесия, каждое из которых, кроме $\Gamma^{*}$ на границе, является грубым, а их устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются трансверсально (за исключением случая негрубого контура $\Gamma^{*}$ на границе $\mathcal{S}_{5}^{k-1}$ ).

Опасную границу $S_{\alpha}^{k-1}$ назовем динамически определенной, если для любой системы $X \in S_{\alpha}^{k-1}$ все траектории, выходящие из $U\left(\Gamma^{*}\right)$, за исключением тех, которые лежат в устойчивых многообразиях седел и седловых периодических движений, идут к одному стоку. Если по крайней мере две траектории, выходящие из $U\left(\Gamma^{*}\right)$, имеют разные стоки, то назовем границу динамически неопределенной.

Рассмотрим случай 5. В силу наших предположений траектория, выходящая из седла и не принадлежащая контуру $\Gamma^{*}$, будет стремиться к некоторому стоку $\Sigma(0)$. Опасная граница $S_{5}^{k-1}$ является динамически определенной; при малых $\mu \geqslant 0$ установившимся режимом системы будет сток $\Sigma(\mu)$.

В случае 6 при $\mu=0$ возникает слоӝное состояние равновесия $\Gamma^{*}$ типа седло-узел, из которого выходит только одна траектория $\beta(t)$. Относительно поведения $\beta(t)$ здесь возможны два подслучая: 1) $\beta(t)$ имеет своим предельным элементом новый сток $\Sigma(0), 2) \beta(t)$ при $t \rightarrow \infty$ стремится к $\Gamma^{*}$. Границы, соответствующие этим подслучаям, будем обозначать через $S_{6_{1}}^{k-1}$ и $S_{6_{2}}^{k-1}$. Опасная граница $S_{6_{i}}^{k-1}$ является динамически определенной. При переходах через $S_{6_{1}}^{k-1}$ установившимся режимом системы будет сток $\Sigma(\mu)$; при переходах через $S_{6_{2}}^{k-1}$ – устойчивое периодическое движение, рождающееся из контура $\Gamma^{*}[3,4,32]$.

Қак мы уже отмечали, в случаях $7-10$ при $\mu=0$ Г* будет иметь неустойчивое многообразие $W^{u}$. Множество предельных

Рис. 9. Динамическая неопределенность при исчезновении области устойчивости состояния равновесия.

точек траекторий из $W^{u} \backslash \Gamma^{*}$ будем обозначать через $\partial W^{u}$. Предположим, что в случае $10 \Gamma^{*}
otin \partial W^{u}$. Границу $S_{10}^{k-1}$ обозначим тогда через $S_{10_{1}}^{k-1}$. Граница $S_{i}^{k-1}\left(i=7,8,9,10_{1}\right)$ будет динамически определенной, если в $\partial W^{u}$ содержится только один сток $\Sigma(0)$. Заметим, что, хотя новый установившийся режим определен однозначно, переходный процесс может носить квазислучайный характер (см. [6]).

Если же в $\partial W^{u}$ содержится несколько стоков $\Sigma_{1}(0), \ldots$ $\ldots, \Sigma_{n}(0)$, то граница $S_{l}^{k-1}\left(i=7,8,9,10_{1}\right)$ будет динамически неопределенной. Выбор стока при переходе через такую опасную границу носит случайный характер (рис. 9).

Рассмотрим случай 10 в предположении, что $\Gamma^{*} \subset \partial W^{\mu}$. Сразу же заметим, что-тогда $W^{u}$ не может быть самопредельным, ибо в противном случае мы имели бы негрубую гомоклиническую структуру и, следовательно, счетное множество периодических движений [16]. Здесь мы ограничимся только тем случаем, когда $\partial W^{u}=\Gamma^{*}$ и когда $\bar{W}^{u}$ есть тор ${ }^{1}$ ). При этом возможны два подслучая: тор $\bar{W}^{u}$ может быть глад-
1) $\overline{\mathscr{V}}^{4}$ может быть также и бутылкой Клейна.

ким и негладким (рис. 10). В первом подслучае изображающая точка будет наматываться на инвариантный тор, бифурцирующий из $\bar{W}^{u}$ при исчезновении $\Gamma^{*}$ [7]. Во втором ее предельное множество будет лежать в малой окрестности $\tilde{W}^{u}$ и, как правило, будет содержать счетное множество седловых периодических движений, гомоклинических траекторий, континуум траекторий, устойчивых по Пуассону, а также устойчивые периодические движения с малыми областями притяжения [7]. Поскольку в обоих случаях устойРис. 10. Пересечение негладкого тора чивые периодические двисекущей. жения имеют малые области устойчивости по параметру $\mu$ и предельные множества на любом интервале $(0, \mu)$ претерпевают континуум бифуркаций, то новый сток

Рис. 11. Развертка фазового цилиндра. Динамическая неопределенность при разрушении петли сепаратрисы на цилиндре.

нельзя указать однозначно. Тем не менее с практической точки зрения можно считать, что при малых $\mu$ в первом подслучае новым установившимся режимом будет «режим биений», а во втором – «режим квазислучайных биений».

Все безопасные границы, перечисленные выше, являются динамически определенными, поскольку при $\mu>0$ в окрестности $\Gamma^{*}$ возникает только один сток. Однако если система допускает группу симметрии, ее новые безопасные границы могут быть уже динамически неопределенными. Так, безопасная граница $r=1$ в модели Лоренца является динамически неопределенной, поскольку при потере устойчивости от состояния равновесия 0 рождается два устойчивых стока. Более сложные примеры дают уравнения маятникового типа
\[
\ddot{x}+f(x, \dot{x}, \lambda)=0 \text {, }
\]

где $f(x, \dot{x}, \lambda)$ – периодическая по $x$ и $f(x, \dot{x}, \lambda)=$ $=-f(-x,-\dot{x}, \lambda)$, в которых переход через границу области устойчивости лимитационных автоколебаний приводит к появлению двух симметричных предельных циклов, соответствующих противоположным вращениям маятника. Здесь $\Gamma^{*}$ будет контуром, составленным из седла и его сепаратрис, охватывающих цилиндр [12] (рис. 11).