(6.2) Теорема (Рюэль и Такенс, Сакер, Неймарк).
Предположим, что (6.1) и (6.2) выполнено ${}^1$ ). Тогда для всех достаточно малых положительных $\mu$ отображение ${\mathrm{\Phi }}_{\mu }$ имеет устойчивую инвариантную замкнутую кривую.

Перед тем как проводить доказательство, посмотрим, что случится, если (6.2) заменить на $f_1(0)<0$. Тогда для малых положительных $\mu$ отображение $N{\mathrm{\Phi }}_{\mu }$ не имеет инвариантных множеств, отличных от $\{0\}$ и ${\mathbb{R}}^2$. При $\mu <0N{\mathrm{\Phi }}_{\mu }$ имеет инвариантную кривую, но она является неустойчивой. Применяя результат Рюэля и Такенса к ${\mathrm{\Phi }}_{\mu }^{-1}$, мы докажем, что в этом случае ${\mathrm{\Phi }}_{\mu }$ имеет близкую инвариантную кривую, Таким образом, мы опять оказываемся в обычной ситуации, где либо инвариантные кривые существуют при $\mu >0$ и устойчивы, либо они существуют при $\mu <0$ и неустойчивы. Отображение ${\mathrm{\Phi }}_{\mu }$ можно записать так:
$$\begin{array}{c}{\mathrm{\Phi }}_{\mu }:(y,\phi )\mapsto ((1-2\mu )y-\mu (3y^2+y^3)+{\mu }^{2}O(1),\\ \phi +\theta (\mu )+\mu (1+y^2)f_3(\mu )/f_1(\mu )+{\mu }^{2}O(1)).\end{array}$$

Изменим масштаб по $y$, полагая

тогда
$$y=\sqrt{\mu }z$$
$$\begin{array}{c}{\mathrm{\Phi }}_{\mu }:(z,\phi )\mapsto ((1-2\mu )z-{\mu }^{3/2}(3z^2+{\mu }^{1/2}{z}^3)+{\mu }^{3/2}O(1),\\ \phi +\theta (\mu )+\mu {(1+{\mu }^{1/2}z)}^2{f}_3(\mu )/f_1(\mu )+{\mu }^{2}O(1)).\end{array}$$

Перепишем последнюю формулу
$$(z,\phi )\mapsto ((1-2\mu )z+{\mu }^{3/2}{H}_{\mu }(z,\phi ),\phi +{\theta }_1(\mu )+{\mu }^{3/2}{K}_{\mu }(z,\phi )).$$

Функции $H_{\mu }(z,\phi ),K_{\mu }(z,\phi )$ гладкие по $z,\phi ,\mu$ на множестве $-1⩽z⩽1,0⩽\phi ⩽2\pi ,0⩽\mu ⩽{\mu }_0$ при достаточно малом ${\mu }_0$. Область $-1⩽z⩽1,0⩽\phi ⩽2\pi$ соответствует кольцу. ширины $O(\mu )$ вокруг инвариантной окружности отображения $N{\mathrm{\Phi }}_{\mu }$ (ее радиус порядка $O(\mu )$ ). Мы хотим получить инвариантную кривую внутри этого кольца.

После этого качественное поведение ${\mathrm{\Phi }}_{\mu }$ легко выясняется: ${\mathrm{\Phi }}_{\mu }$ можно записать в виде
$$(z,\phi )\mapsto ((1-2\mu )z,\phi +{\theta }_1(\mu ))$$
1) Было бы интересно явно вычислить $f_1(0)$ прямо в терминах $X_{\mu }$, как мы делали в гл. 4 для рождения цикла. Однако труд, проделанный ранее, и перспектива еще более тяжелых, а может быть, и невозможных вычислений так истощили силы авторов, что они решили оставить это вычисление честолюбивому читателю. Вычисление $f_1(0)$ в терминах ${\mathrm{\Phi }}_{\mu }$, а не $X_{\mu }$, не столь трудно и было сделано Ваном (препринт) и Иоссом [6].

плюс малое возмущение. Приближенно ${\mathrm{\Phi }}_{\mu }$-это просто поворот в направлении $\phi$ и сжатие в направлении $z$. Отметим, однако, что величина сжатия стремится к нулю вместе с $\mu$. Если бы это было не так, мы бы просто привлекли известные результаты о сохранении устойчивой инвариантной кривой при малых возмущениях. Однако такой эффект имеется, и мы должны поэтому более детально в нем разобраться, используя тот факт, что величина возмущения стремится к нулю быстрее, чем величина сжатия.

Мы будем искать инвариантное многообразие в виде графика функции $z=u(\phi ),\{z=u(\phi )\}$, где
(1) $u(\phi )$ периодична по $\phi$ с периодом $2\pi$;
(2) $|u(\phi )|⩽1$ при всех $\phi$;
(3) $u(\phi )$ удовлетворяет условию Липшица с постоянной Липшица, равной единице (т. е. $|u\left({\phi }_1\right)-u\left({\phi }_2\right)|⩽|{\phi }_1-{\phi }_2|)$.

Пространство всех функций $u$, удовлетворяющих условиям (1)-(3), будем обозначать через $U$.

Мы приведем доказательство, основанное на принципе сжимающих отображений. Коротко наши рассуждения таковы: начнем с многообразия $M=\{z=u(\phi )\},u\in U$ и рассмотрим новое многообразие ${\mathrm{\Phi }}_{\mu }M$, полученное действием ${\mathrm{\Phi }}_{\mu }$ на $M$. Мы покажем, что при достаточно малых $\mu$ многообразие ${\mathrm{\Phi }}_{\mu }M$ опять имеет вид $\{z=a(\phi )\}$ с некоторой $a\in U$. Таким образом, мы строим нелинейное отображение $\mathcal{F}$ пространства $U$ в себя: $\mathcal{F}u=\hat{u}$. Затем мы доказываем, что при малых положительных $\mu$ отображение ${\mathrm{\Phi }}_{\mu }$ является сжатием на $U$ (относительно супремум-нормы ${}^1$ )) и, следовательно, имеет единственную неподвижную точку $u^{\ast }$. Многообразие $\{z=u^{\ast }(\phi )\}$ является искомой инвариантной кривой. Как следствие сжимаемости мы получим, что это многообразие устойчиво в следующем смысле: выберем начальную точку $(z,\phi )$ с $|z|⩽1$, и пусть $(z_n,{\phi }_n)$ обозначает ${\mathrm{\Phi }}_{\mu }^n(z,\phi )$. Тогда
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(z_n-u^{\ast }\left({\phi }_n\right))=0.$$

Нетрудно видеть, что область притяжения инвариантной кривой много больше кольца $|z|⩽1$. В частности, она содержит всю внутренность кольца, за иск тючением неподвижной точки в центре.

Чтобы выполнить программу, намеченную выше, мы сначала должны построить нелинейное отображение $\mathcal{F}$. Для нахождения $\mathcal{F}u(\phi )$ поступим следующим образом:
1) То есть нормы $\Vert u\Vert =\underset{0⩽\phi ⩽2\pi }{sup}\Vert u(\phi )\Vert .-П$ рим. перев.

(А) Покажем, что существует единственное $\tilde{\phi }$, для которого $\phi$-компонента ${\mathrm{\Phi }}_{\mu }(u(\tilde{\phi }),\tilde{\phi })$ равна $\phi$, т. е. такое, что
$$\phi \equiv \tilde{\phi }+{\theta }_1(\mu )+{\mu }^{3/2}{K}_{\mu }(u(\tilde{\phi }),\tilde{\phi })(mod2\pi {)}^1)$$
(B) Положим $\mathcal{F}u(\phi )$ равным $z$-компоненте ${\mathrm{\Phi }}_{\mu }(u(\tilde{\phi }),\tilde{\phi })$, T. e.
$$\mathcal{F}u(\phi )=(1-2\mu )u(\tilde{\phi })+{\mu }^{3/2}{H}_{\mu }(u(\tilde{\phi }),\tilde{\phi }).$$

Для оценок, которые мы собираемся провести, будет удобно ввести обозначение
$$\lambda =\underset{0⩽1⩽i⩽2\pi }{sup}\{\left|H_{\mu }\right|,\left|K_{\mu }\right|,\left|\frac{\partial H_{\mu }}{\partial z}\right|,\left|\frac{\partial K_{\mu }}{\partial z}\right|,\left|\frac{\partial H_{\mu }}{\partial \phi }\right|,\left|\frac{\partial K_{\mu }}{\partial \phi }\right|\}.$$

Так определенное $\lambda$ зависит от $\mu$, но остается ограниченным при $\mu \to 0$.

Докажем теперь, что (6.3) имеет единственное решение. Для этого удобно временно обозначить правую часть (6.3) через $x(\tilde{\phi })$ :
$$x(\tilde{\phi })=\tilde{\phi }+{\theta }_1(\mu )+{\mu }^{3/2}{K}_{\mu }(u(\tilde{\phi }),\tilde{\phi }).$$

Мы хотим показать, что когда $\tilde{\phi }$ изменяется от 0 до $2\pi$, $x(\tilde{\phi })$ пробегает в точности один раз интервал длины $2\pi$. Из периодичности $u(\tilde{\phi }),K_{\mu }(z,\tilde{\phi })$ по $\tilde{\phi }$ следует, что $x(2\pi )=$ $=x(0)+2\pi$. Поэтому нам необходимо только показать, что $x$ — строго возрастающая функция. Пусть ${\tilde{\phi }}_1<{\tilde{\phi }}_2$. Тогда
$$x\left({\tilde{\phi }}_2\right)-x\left({\tilde{\phi }}_1\right)={\tilde{\phi }}_2-{\tilde{\phi }}_1+{\mu }^{3/2}[K_{\mu }(u\left({\tilde{\phi }}_2\right),{\tilde{\phi }}_2)-K_{\mu }(u\left({\tilde{\phi }}_1\right),{\tilde{\phi }}_1)].$$

Далее,
$$\begin{array}{r}|K_{\mu }\left(u\left({\tilde{\phi }}_2\right){\tilde{\phi }}_2\right)-K_{\mu }(u\left({\tilde{\phi }}_1\right),{\tilde{\phi }}_1)|⩽\lambda [|u\left({\tilde{\phi }}_2\right)-u\left({\tilde{\phi }}_1\right)|+|{\tilde{\phi }}_2-{\tilde{\phi }}_1|]⩽\\ ⩽2\lambda |{\tilde{\phi }}_2-{\tilde{\phi }}_1|=2\lambda ({\tilde{\phi }}_2-{\tilde{\phi }}_1).\end{array}$$
(Второе неравенство следует из липшиц-непрерывности $и$.) Таким образом,
$$x\left({\tilde{\phi }}_2\right)-x\left({\tilde{\phi }}_1\right)⩾(1-2\lambda {\mu }^{3/2})({\tilde{\phi }}_2-{\tilde{\phi }}_1),$$

поэтому при условии
$$1-2\lambda {\mu }^{3/2}>0$$
$x$ строго возрастает и (6.3) имеет единственное решение. Поэтому $\tilde{\phi }$ является функцией $\phi$ и, как следует из оценок, липшиц-непрерывной:
$$|\tilde{\phi }\left({\phi }_1\right)-\tilde{\phi }\left({\phi }_2\right)|⩽{(1-2\lambda {\mu }^{3/2})}^{-1}|{\phi }_1-{\phi }_2|.$$
1) То есть $\phi$ отличается от $\tilde{\phi }+{\theta }_1(\mu )+{\mu }^{3/2}{K}_{\mu }(u(\tilde{\phi })$, $\tilde{\phi })$ на целое кратное $2\pi$.

Тем самым определение (6.4) отображения $\mathcal{F}u$ приобретает смысл; теперь мы должны проверить, что $\mathcal{F}u\in U$. Условие (1) немедленно следует из 6.5. Для доказательства (2) заметим, что
$$|\mathcal{F}u(\phi )|⩽(1-2\mu )|u(\tilde{\phi })|+{\mu }^{3/2}|H_{\mu }(u(\tilde{\phi }),\tilde{\phi })|⩽1-2\mu +{\mu }^{3/2}\lambda ,$$
т. е. $|\mathcal{F}u(\phi )|⩽1$ при всех $\phi$, если
$$2\mu -{\mu }^{3/2}\lambda ⩾0\text{. }$$

Окончательно имеем
$$\begin{array}{l}|\mathcal{F}u\left({\phi }_1\right)-\mathcal{F}u\left({\phi }_2\right)|⩽(1-2\mu )|u\left({\tilde{\phi }}_1\right)-u\left({\tilde{\phi }}_2\right)|+\\ +{\mu }^{3/2}\lambda [|u\left({\tilde{\phi }}_1\right)-u\left({\tilde{\phi }}_2\right)|+|{\tilde{\phi }}_1-{\tilde{\phi }}_2|]⩽\\ ⩽(1-2\mu +2{\mu }^{3/2}\lambda )|{\tilde{\phi }}_1-{\tilde{\phi }}_2|\end{array}$$

в силу липшиц-непрерывности $u$. Подставляя сюда оценку (6.6) для $|{\tilde{\phi }}_1-{\tilde{\phi }}_2|$, мы получаем
$$|\mathcal{F}u\left({\phi }_1\right)-\mathcal{F}u\left({\phi }_2\right)|⩽(1-2\mu +2{\mu }^{3/2}\lambda ){(1-2{\mu }^{3/2}\lambda )}^{-1}|{\phi }_1-{\phi }_2|,$$

поэтому $\mathcal{F}u$ липшиц-непрерывна с постоянной Липшица 1 , если
$$(1-2\mu +2{\mu }^{3/2}\lambda ){(1-2{\mu }^{3/2}\lambda )}^{-1}⩽1.$$

Очевидно, что (6.8) выполняется для достаточно малых положительных $\mu$, так что условие (3) выполнено.

На следующем шаге мы докажем, что $\mathcal{F}$ сжимающее. Итак, пусть $u_1,u_2\in U$; выберем $\phi$ и обозначим через ${\tilde{\phi }}_1,{\tilde{\phi }}_2$ решения уравнений

и
$$\phi ={\tilde{\phi }}_1+{\theta }_1(\mu )+{\mu }^{3/2}{K}_{\mu }({\mu }_1\left({\tilde{\phi }}_1\right),{\tilde{\phi }}_1)$$
$$\phi ={\tilde{\phi }}_2+{\theta }_1(\mu )+{\mu }^{3/2}{K}_{\mu }(u_2\left({\tilde{\phi }}_2\right),{\tilde{\phi }}_2)$$

соответственно. Вычитая из первого уравнения второе, перенося выражение ${\tilde{\phi }}_1-{\tilde{\phi }}_2$ в другую часть и беря абсолютную величину, мы получаем
$$\begin{array}{rl}|{\tilde{\phi }}_1-{\tilde{\phi }}_2|⩽{\mu }^{3/2}\mid & K_{\mu }(u_1\left({\tilde{\phi }}_1\right),{\tilde{\phi }}_1)-K_{\mu }(u_2\left({\tilde{\phi }}_2\right),{\tilde{\phi }}_2)\mid ⩽\\ & ⩽{\mu }^{3/2}\lambda [|u_1\left({\tilde{\phi }}_1\right)-u_2\left({\tilde{\phi }}_2\right)|+|{\tilde{\phi }}_1-{\tilde{\phi }}_2|].\end{array}$$

Далее,
$$\begin{array}{rl}|u_1\left({\tilde{\phi }}_1\right)-u_2\left({\tilde{\phi }}_2\right)|& ⩽|u_1\left({\tilde{\phi }}_1\right)-u_2\left({\tilde{\phi }}_1\right)|+|u_2\left({\tilde{\phi }}_1\right)-u_2\left({\tilde{\phi }}_2\right)|⩽\\ & ⩽\Vert u_1-u_2|+|{\tilde{\phi }}_1-{\tilde{\phi }}_2\mid .\end{array}$$

Подставляя это неравенство в (6.9), собирая все члены c $|{\tilde{\phi }}_1-{\tilde{\phi }}_2|$ слева и деля, получаем
$$|{\tilde{\phi }}_1-{\tilde{\phi }}_2|⩽{(1-2\lambda {\mu }^{3/2})}^{-1}{\mu }^{3/2}\lambda \Vert u_1-u_2||.$$

Воспользуемся определением (6.4) для $\mathcal{F}u$ :
$$\begin{array}{l}|\mathcal{F}{u}_1(\phi )-\mathcal{F}{u}_2(\phi )|⩽(1-2\mu )|u_1\left({\tilde{\phi }}_1\right)-u_2\left({\tilde{\phi }}_2\right)|+\\ +{\mu }^{3/2}|H_{\mu }(u_1\left({\tilde{\phi }}_1\right),{\tilde{\phi }}_1)-H_{\mu }(u_2\left({\tilde{\phi }}_2\right),{\tilde{\phi }}_2)|⩽\\ ⩽(1-2\mu )[\Vert u_1-u_2\Vert +|{\tilde{\phi }}_1-{\tilde{\phi }}_2|]+\lambda {\mu }^{3/2}[\Vert u_1-u_2\Vert +2|{\tilde{\phi }}_1-{\tilde{\phi }}_2|]⩽\\ ⩽\Vert u_1-u_2\Vert \{(1-2\mu )[1+{\mu }^{3/2}\lambda {(1-2{\mu }^{3/2}\lambda )}^{-1}]+\\ +{\mu }^{3/2}\lambda [1+2{\mu }^{3/2}\lambda {(1-2{\mu }^{3/2}\lambda )}^{-1}]\}.\end{array}$$

Пусть $\alpha$ обозначает выражение в скобках. Тогда $\alpha =$ $=1-2\mu +O\left({\mu }^{3/2}\right)$, поэтому мы можем сделать $\alpha <1$, выбирая $\mu$ достаточно малым. Если это уже сделано, то
$$\Vert \mathcal{F}{u}_1-\mathcal{F}{u}_2\Vert ⩽\alpha \Vert u_1-u_2\Vert ,\alpha <1,$$
т. е. $\mathcal{F}$ — сжимающий оператор в $U$ и, следовательно, имеет единственную неподвижную точку $u^{\ast }$.

Чтобы доказать устойчивость инвариантного многообразия $\{z=u^{\ast }(\phi )\}$, выберем точку $(z,\phi )$ в кольце $|z|⩽1$; пусть $(z_1,{\phi }_1)$ обозначает ${\mathrm{\Phi }}_{\mu }(z,\phi )$. Заметим, что
$$\left|z_1\right|⩽(1-2\mu )|z|+{\mu }^{3/2}\lambda ⩽1-2\mu +\lambda {\mu }^{3/2}⩽1$$
(из (6.7)), поэтому $(z_1,{\phi }_1)$ снова лежит в кольце. Пусть теперь ${\tilde{\phi }}_1$ обозначает решение уравнения
$${\phi }_1={\tilde{\phi }}_1+{\theta }_1(\mu )+{\mu }^{3/2}{K}_{\mu }(u^{\ast }\left({\tilde{\phi }}_1\right),{\tilde{\phi }}_1).$$

С другой стороны, по определению ${\phi }_1$ :
$${\phi }_1=\phi +{\theta }_1(\mu )+{\mu }^{3/2}{K}_{\mu }(z,\phi ).$$

Вычитая второе из этих уравнений из первого, а затем оценивая и преобразуя полученное выражение, как при доказательстве (6.8), получим
$$|{\tilde{\phi }}_1-\phi |⩽{\mu }^{3/2}\lambda {(1-2\lambda {\mu }^{3/2})}^{-1}|z-u^{\ast }(\phi )|.$$

Вычтем теперь из первого из уравнений
$$\begin{array}{c}{u}^{\ast }\left({\phi }_1\right)=\mathcal{F}{u}^{\ast }\left({\phi }_1\right)=(1-2\mu )u^{\ast }\left({\tilde{\phi }}_1\right)+{\mu }^{3/2}{H}_{\mu }(u^{\ast }\left({\tilde{\phi }}_1\right),{\tilde{\phi }}_1),\\ z_1=(1-2\mu )z+{\mu }^{3/2}{H}_{\mu }(z,\phi )\end{array}$$

второе и поступим, как при доказательстве того, что $\mathcal{F}$ сжимающий оператор; тогда получим
$$|z_1-u^{\ast }\left({\phi }_1\right)|⩽\alpha |z-u(\phi )|$$

с тем же $\alpha$, как в (6.11). По индукции
$$\left|z_n—u^{\ast }\left({\phi }_n\right)\right|⩽{\alpha }^n|z-u(\phi )|\to 0\text{ при }n\to \mathrm{\infty }.$$

В нашем доказательстве мы пользовались только непрерывностью $H_{\mu },K_{\mu }$ и их производных и получили липшицнепрерывную $u^{\ast }$. Более строгая проверка показывает, что нам необходима только липшиц-непрерывность $H_{\mu },K_{\mu }$. Если бы $H_{\mu },K_{\mu }$ имели больше производных, можно было ожидать больше производных для $u^{\ast }$. Это действительно так. Точнее, пусть $U_k$ означает множество периодических функций $u(\phi )$ класса $C^k$, удовлетворяющих условиям:
1) $|u^{(j)}(\phi )|⩽1,j=0,1,\dots ,k$ для всех $\phi$;
2) $u^{(k)}(\phi )$ липшицируема с постоянной Липшица 1.
Если $H_{\mu },K_{\mu }$ имеют липшиц-непрерывные $k$-е производные, то оценки, являющиеся непосредственным обобщением вышеприведенных, показывают, что при достаточно малых $\mu \mathcal{F}$ тереводит $U_k$ в себя. Можно показать, что $U_k$ полно в супремум-норме (как при доказательстве теоремы о центральном многообразии), поэтому неподвижная точка $u^{\ast }$ должна лежать в $U_k$, т. е. $u^{\ast }$ имеет липшиц-непрерывную $k$-ю производную.

Если сделать более слабое предположение, что $H_{\mu }$ и $K_{\mu }$ имеют непрерывные $k$-е производные, то немного усложняя рассуждения, можно получить для $u^{\ast }$ непрерывность $k$-й производной; это можно сделать, показывая, что множество тех $u$, чьи $k$-е производные имеют подходяще выбранный модуль непрерывности, отображаются в себя оператором $\mathcal{F}$.