Вязкая жидкость заполняет слой между двумя горизонтальными, плоскостями и движется при наличии сил вязкости и плавучести, причем последняя вызывается нагревом нижней плоскости. Если температура верхней плоскости $T_{1}$, а температура нижней $T_{0}\left(T_{0}>T_{1}\right)$, то при малой величине $T_{0}-T_{1}$ жидкость покоится, а распределение температуры по вертикали линейно. Однако когда $T_{0}-T_{1}$ становится больше критического значения, наблюдаются конвективные движения. Пусть $\alpha, h, g, v, \rho, k$ обозначают соответственно коэффициент объемного расширения, толщину слоя, ускорение силы тяжести, кинематическую вязкость, плотность и коэффициент теплопроводности. Выберем декартовы координаты, в которых ось $x_{3}$ направлена противоположно силе тяжести. Обозначим через $\tilde{\theta}$ температуру, а через $p$ – давление. Из уравнений Навье – Стокса для произвольно взятого течения $V$, $T, P$ получим следующую задачу с начальными данными. Пусть $\omega=(u, \theta), v=V+u, p=P+q, \tilde{\theta}=T+\theta$, тогда
(a) $D_{t} \omega-\tilde{\Delta} \omega+\lambda L(V) \omega+
abla q=-N(\omega)$,
(б) $
abla \cdot \omega=0,\left.\omega\right|_{x_{3}=0,1}=0$,
(в) $\left.\omega\right|_{t=0}=\omega^{0}$,

где $\lambda=\alpha g\left(T_{0}-T_{1}\right) h^{3} / v^{2}$ (число Рейнольдса или число Грасгоффа),
\[
\begin{array}{c}

abla=\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{2}}, \frac{\partial}{\partial x_{3}}, 0\right) \\
\tilde{\Delta}_{i k}=\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{3}^{2}}\right)\left(\delta_{i k}+\frac{1}{\operatorname{Pr}} \delta_{i 4}\right), \operatorname{Pr}=\frac{k}{v}, \\
L_{i k}^{0}=-\delta_{i 3} \delta_{k 4}-\frac{1}{\operatorname{Pr}} \delta_{i 4} \delta_{k 3}, \\
L(V) \omega=L^{0} \omega+(V \cdot
abla) \omega+(u \cdot
abla) V \\
N(\omega)=(u \cdot
abla) \omega .
\end{array}
\]

Экспериментальные исследования показывают, что конвективные движения образуют регулярную структуру в виде замкнутых ячеек, имеющих форму валов. Поэтому мы рассмотрим класс таких решений, что
1) $\omega(T x, t)=\omega(x, t), \quad q(T x, t)=q(x, t)$,

где $T \in T_{1}$, а $T_{1}$ – группа, порожденная сдвигами:
\[
x_{1} \rightarrow x_{1}+\frac{2 \pi}{\alpha}, \quad x_{2} \rightarrow x_{2}+\frac{2 \pi}{\beta} ; \alpha^{2}+\beta^{2}
eq 0 ;
\]

2) $u(T x, t)=T u(x, t), q(T x, t)=q(x, t), \theta(T x, t)=\theta(x, t)$, $T \in T_{2}$, где $T_{2}$ – группа вращений, порожденная операторами
\[
T_{\alpha}=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\
\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
\]

Замечание. Можно показать, что все дифференциальные операторы в дифференциальных уравнениях инвариантны относительно $T_{1}$ и $T_{2}$. Интересно, что необходимым условием существования нетривиальных решений является равенство $\alpha=\frac{2 \pi}{n}, n \in\{1,2,3,4,6\}$ и что существует только 6 возможных комбинаций, $n, \alpha, \beta$, которые дают различные ячеистые структуры (отсутствие ячеистой структуры, валы, прямоугольники, шестиугольники, квадраты, треугольники).