В последние годы большое число работ было посвящено рождению периодических орбит из состояния равновесия. Исходным пунктом большинства этих исследований является либо теорема Ляпунова [1], либо теорема Хопфа [1]; некоторые из этих локальных результатов, полученные Чейфи [1], Хенрадом [1], Шмидтом и Свитом [1], отмечались в предыдущих разделах. В то же время Александером и Иорком [1] обсуждались и глобальные проблемы бифуркаций периодических орбит. В своей работе они показали, что теорему Ляпунова о центре можно получить как следствие теоремы Хопфа.

Дж. А. Иорк высказал идею, что и локально можно получить теорему Ляпунова из теоремы Хопфа. Для того чтобы показать это, мы проведем аналитическое доказательство теоремы Хопфа, основанное на альтернативном методе и описанное в общих чертах в статье Бергера из книги Антмана и Келлера [1]. Это доказательство является столь общим, что содержит в качестве следствия теорему Ляпунова. Кроме того, наше доказательство теоремы Хопфа позволяет достаточно просто обсудить некоторые исключительные случаи.