В этом разделе мы продемонстрируем, как, используя результаты гл. 8 и 8A, можно получать бифуркационные теоремы для уравнений Навье – Стокса. Другие (по нашему мнению, более сложные) методы описаны в гл. 9А, 9B, а также в работах Сэттинджера [5] и Джозера и Сэттинджеpa [1].

Новое доказательство бифуркационных теорем, использующее теорию центрального многообразия, как она изложена в гл. 8, позволяет очень просто, с минимумом технических трудностей, получать результаты для уравнений Навье Стокса. Это относится ко всем типам бифуркаций, даже к бифуркации рождения инвариантного тора (см. гл. 6 или работу Иоста и Зендера [1]). Все что мы должны сделатьэто проверить, что поток, полученный из уравнений Навье Стокса, гладкий (в смысле гл. 8A); тогда остальное следует автоматически, так как теорема о центральном многообразии немедленно сводит все к конечномерному случаю (детали см. в гл. 8). Отметим, что уже в работе Рюэля и Такенса имеется простое доказательство теперь уже классических результатов Вельте [1] по стационарным бифуркациям от течения Куэтта к вихрям Тейлора в потоке между вращающимися цилиндрами. Первая часть этой главы посвящается доказательству гладкости полупотока уравнений Навье – Стокса. Для этого мы используем технику Дорро и Марсдена [1] (см. гл. 8A). Гладкость гарантирует нам, что все результаты, полученные в предыдущих разделах для конечномерного случая, включая вычисление условий устойчивости, будут верны и в бесконечномерном.

Во второй части главы кратко излагается описание турбулентности, принадлежащее Рюэлю и Такенсу. Эта схема является пока гипотетической, однако похоже, что постепенно она получает все большее признание, по крайней мере для описания некоторых типов турбулентности. Здесь же кратко обсуждается связь с проблемой глобальной регулярности (или проблемой неограниченной «продолжимости решений» $\left.{ }^{1}\right)$ ).
1) Имеется в виду продолжение на все $t \geqslant 0$. – рим. перев.