Будем рассматривать систему эволюционных уравнений общего вида
\[
\frac{d x}{d t}=X_{\mu}(x), \quad x(0) \text { задано, }
\]

где $X_{u}$ – зависящий от параметра $\mu$ плотно определенный нелинейный оператор ${ }^{1}$ ) на подходящем функциональном пространстве $E$ (банаховом пространстве). Например, $X_{\mu}$ может быть оператором Навье – Стокса, а $\mu$ – числом Рейнольдса (см. гл. 1). Предполагается, что эта система определяет единственное локальное решение $x(t)$ и, следовательно, полупоток $F_{t}$, который при фиксированном $\mu$ и $t \geqslant 0$ отображает $\boldsymbol{x}(0)$ в $\boldsymbol{x}(t)$.
1) То есть оператор, определенный на всюду плотном подмножествє соответствующего функционального пространства. – Прим. перев.

Самым существенным, что необходимо знать относительно потока $F_{t}$ нашей системы, является тот факт, что при любых фиксированных $t$ и $\mu$ поток $F_{t}$ будет $C^{\infty}$-отображением банахова пространства $E$ ( $F_{t}$, вообще говоря, определен только локально по $t$ ). Отметим (см. конец гл. 8A) те свойства, которыми в большинстве случаев обладает $F_{t}$ и которые поэтому будем считать выполненными:
(a) $F_{t}$ определен на открытом подмножестве из
\[
R^{+} \times E, \quad R^{+}=\{t \in R \mid t \geqslant 0\} ;
\]
(б) $F_{t+s}=F_{t} \circ F_{s}$ (там, где это определено);
(в) $F_{t}(x)$ по отдельности (а следовательно, и совместно (гл. 8A)) непрерывен по ( $t, x) \in R^{+} \times E$.

Сделаем два важных предположения относительно потока. Первое из них таково.
(8.1) Условие гладкости. Будем считать, что для каждого фиксированного $t$ отображение $F_{t}$ является $C^{\infty}$-отображением (открытого подмножества) $E$ в $E$.

Это как раз то, что мы будем понимать под гладкой полугруппой. Конечно, мы не требуем гладкости по $t$, так как, вообще говоря, образующая $X_{\mu}$ для $F_{t}$ будет только плотно определенным, а не гладким отображением $E$ в $E$. Однако, как разъясняется в главе $8 \mathrm{~A}$, не совсем глупо ожидать гладкости по $\mu$ и $t$ при $t>0$ (что является нелинейным аналогом «аналитических полугрупп» и имеет место для уравнений «параболического типа»). Это нам потребуется ниже.

В гл. 9 мы опишем вкратце, как можно проверить это предположение для уравнений Навье – Стокса, используя общий критерий, применимый к широкому классу систем (для систем, подобных нелинейным волновым уравнениям, это хорошо известно из работ Сегала [1] и других).
Приводим второе наше предположение.
(8.2) Условие продолжаемости решений. Пусть $F_{t}(x)$ для фиксированного $x$ лежит в ограниченном множестве пространства $E$ при всех $t$, для которых $F_{t}(x)$ определено. Тогда $F_{t}(x)$ определено при всех $t \geqslant 0$.

Это просто означает, что наша теорема существования для $F_{t}$ достаточно сильна, чтобы гарантировать следующее: орбита может быть не определена только тогда, когда она за конечное время уходит на бесконечность. Такое предположение в большинстве случаев выполняется (в частности, для уравнений Навье – Стокса).

Предположим, что $F_{t}$ имеет неподвижную точку, которой можно считать точку $O \in E$, т. е. $F_{t}(0)=0$ при всех $t \geqslant 0$. Обозначим через $D F_{t}$ производную Фреше отображения $F_{t}$ при фиксированном $t$; тогда ясно, что $G_{t}=D F_{t}(0)$ является линейной полугруппой на $E$. Ее производящий оператор, который формально равен $D X(0)$, является поэтому плотно определенным замкнутым линейным оператором, который определяет линеаризованное уравнение ${ }^{1}$ ). Нижеследующее предположение касается спектра линейной полугруппы $G_{t}$, который при соответствующих условиях (Хилле и Филлипс [1]) является экспоненциалом спектра $D X(0)$ (сравните с гл. 2A).
Переходим к третьему предположению.
(8.3) Спектральное условие. Предположим, что мы имеем семейство $F_{t}^{\mathrm{\mu}}$ гладких нелинейных полугрупп, определенных для значений $\mu$ из некоторого интервала, содержащего $0 \in \mathbb{R}$. Допустим, что $F_{t}^{\mu}(x)$ является гладким по $t, x$, $\mu$ отображением при $t>0$. Предположим также, что
(a) $O$ – неподвижная точка $F_{t}^{\mu}$;
(б) при $\mu<0$ спектр $G_{t}^{\mu}$ содержится во множестве $D=\{z \in \mathbb{C}:|z|<1\}$, где $G_{t}^{\mu}=\left.D_{x} F_{t}^{\mu}(x)\right|_{x=0} ;$
(в) при $\mu=0$ (соответственно $\mu>0$ ) спектр $G_{t}^{\mu}$ имеет два изолированных простых собственных значения $\lambda(\mu)$ и $\overline{\lambda(\mu)}$ с $|\lambda(\mu)|=1$ (соответственно $|\lambda(\mu)|>1$ ), а остальная часть спектра лежит в $D$ и остается отделенной от единичной окружности;
(г) $\left.\left(\frac{d}{d \mu}\right)|\lambda(\mu)|\right|_{\mu=0}>0$ (собственные значения движутся монотонно, пересекая единичную окружность).

При этих условиях имеет место рождение периодических орбит. Они будут устойчивы при следующем условии.
(8.4) Условие устойчивости. Выполняется неравенство $V^{\prime \prime \prime}(0)<0$, где $V^{\prime \prime \prime}(0)$ вычисляется в соответствии с процедурой гл. 4 (см. гл. 4A).

Эта процедура может быть применена прямо к векторному полю $X$, поскольку вычисления конечномерны; неограниченность образующей $X$ не вносит дополнительных трудностей.
1) Даже если подгруппа, негладкая, можно придать смысл линеаризации уравнений и потока. Например, поток уравнений Эйлера класса $C^{1}$ как отображение $H^{s}$ в $H^{s-1}$, но производная продолжается до ограниченного оператора на $H^{s-1} ;$ см. ‘Дорро и Марсден [1].