В последнее время широкое внимание специалистов различных направлений привлечено к системе уравнений
\[
\dot{x}=-\sigma(x-y), \dot{y}=-x z+r x-y ; \dot{z}=x y-b z,
\]

получившей название модели Лоренца. Система (1) была выведена $[29,21]$ из уравнений Навье – Стокса в задаче о тепловой конвекции, поэтому параметры $r, \sigma, b$ имеют вполне определенный гидродинамический смысл: $r$ – число Рэлея, $\sigma$ – число Прандтля, а $b$ характеризует размеры системы. В этой системе Лоренцем [21] счетом на ЭВМ при $r=$ $=28, \sigma=10, b=8 / 3$ было обнаружено сложное хаотическое поведение траекторий, которое указывало на возможность существования принципиально новых установившихся режимов – стохастических колебаний, отличных от автоколебаний и биений. А такого рода движения представляют повышенный интерес в связи с объяснением явления турбулентности. Конечно, имеются и другие динамические модели, в которых отмечалось сложное поведение траекторий ${ }^{1}$ ). Однако они не вызывали столь большого обсуждения либо по причине своей узкой направленности, либо из-за того, что сложные эффекты обнаруживались в нефизической области параметров, либо обнаруживалась чрезмерная чувствительность притягивающего множества к сдвигам параметров, сопровождающимся появлением и исчезновением устойчивых периодических движений ${ }^{2}$ ). Одну из таких систем мы все же упомянем – это часы. Как известно, часы – вполне «динамичная» система, работающая либо в режиме автоколебаний (часы Галилея – Гюйгенса), либо в режиме синхронизации. Здесь среди многих моделей современных часов, предложенных Н. Н. Баутиным, одна из них [8] (после дополнительного учета самоиндукции) заслуживает особого внимания: как
1) Так к (1) сводятся некоторые модели лазеров [31, 6], а также модель дискового динамо [28].
2) Возникающие в таких системах математические вопросы отчасти отражены в работах $[4,5,7,10,11,13-15,19,20,22,23,34,35,37-39]$.
кМир>, 1980

следует из ее анализа, проведенного Л. А. Комразом [18], при значениях параметров из некоторой области часы будут иметь «стохастический ход» (правда, неизвестно, имеют ли такие часы какие-либо преимущества перед обычными).

Поскольку математическим образом стохастических колебаний не могут быть устойчивые периодические, и квазипериодические движения, то естественно возникает вопрос: что же может им быть? Надо сказать, что специалистам по качественной теории дифференциальных уравнений хорошо известны примеры притягивающих грубых предельных множеств: $Y$-подмногообразия [2], соленоиды Смейла – Вильямса $[30,32]$, соленоиды Плыкина [24] и т. д. С легкой руки Рюэля и Такенса [26] множества, устойчивость которых сочетается с неустойчивостью каждой индивидуальной траектории, получили название «странных» аттракторов. Однако возможность появления грубых странных аттракторов в простых модельных системах остается пока проблематичной. Поэтому естественно возннкают вопросы: может ли быть в модели Лоренца странный аттрактор? И если да, то как он возникает и какова его структура?

Ответы на поставленные вопросы были даны в [6]. Ниже кратко приводятся полученные здесь результаты.

Картину эволюции структуры разбиения фазового пространства на траектории системы (1) будем описывать при изменении $r$ от 10 до 28 , положив $\sigma=10, b=8 / 3^{1}$ ). Ее удобно представить состоящей из следующих этапов:
1. При $r \in\left[10, r_{1}\right]$, где $r_{1}=13.92$, система имеет три состояния равновесия $O(0,0,0), O_{1}$ и $O_{2}$, из которых $O$ является седлом, имеющим двумерное устойчивое инвариантное многообразие $W^{s}$ и две выходящие траектории $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$, которые будем называть сепаратрисами. Одна из них, для определенности $\Gamma_{1}$, стремится к устойчивому состоянию равновесия $O_{1}$, а другая $\Gamma_{2}-$ к $O_{2}$ (рис. $1, a$ ).
2. При $r=r_{1}$ каждая из сепаратрис $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ становится двоякоасимптотической к седлу $O$ (рис. $1, \sigma)^{2}$ ). При переходе $r$ через $r_{1}$ из каждой петли сепаратрисы рождается по седловому периодическому движению $L_{1}$ и $L_{2}$. Более того, вместе с рождением $L_{1}$ и $L_{2}$ появляется инвариантное предельное множество $\Omega_{1}$, траектории которого находятся во взаимнооднозначном соответствии с множеством бесконечных в обе
1) В [6] был просмотрен и другой путь: $r=28, b=\frac{8}{3}, 1 \leqslant \sigma \leqslant 10$.
2) Система (1) инвариантна относительно замены ( $\left.-x_{2},-y, z\right) \rightarrow$ $\leftrightarrow(x, y, z)$.

Рис. 1.

стороны последовательностей из двух символов, при этом периодическим последовательностям соответствуют периодические движения седлового типа. Однако это множество не является притягивающим, и, следовательно, устойчивыми предельными множествами остаются $O_{1}$ и $O_{2}$. Такая ситуация будет иметь место для $r \in\left(r_{1}, r_{2}\right)$, где $r_{2} \simeq 24.06$, только теперь $\Gamma_{1}$ будет стремиться к $O_{2}$, а $\Gamma_{2}$ – к $O_{1}$ (рис. 1,8 ).
3. Момент $r=r_{2}$ является бифуркационным. Он характерен тем, что если раньше $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ шли в устойчивые фокусы $O_{2}$ и $O_{1}$, то при $r=r_{2} \Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ будут стремиться к седловым периодическим движениям $L_{2}$ и $L_{1}$ соответственно (рис. 1, г). Это приводит к тому, что на месте $\Omega_{1}$ возникает уже двумерное предельное множество $\Omega_{2}^{\prime}$.
4. При $r \in\left(r_{2}, 28\right]$ система будет иметь устойчивое предельное множество $\Omega_{\mathbf{p}}$, обладающее свойствами:

1) $\Omega_{2}$ является негрубым: это связано, в частности, с тем, что седло $O$ принадлежит $\Omega_{2}$ вместе со своими сепаратрисами $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}{ }^{1}$ ).
2) Периодические движения всюду плотны в $\Omega_{2}$ и являются грубыми, седлового типа.
3) В $\Omega_{2}$ имеет место экспоненциальное разбегание траекторий, столь характерное для систем с перемешиванием и непрерывным спектром ${ }^{2}$ ).
4) Исчезновение периодических движений при изменении $r$ возможно только путем влипания их в петли сепаратрис седла $O$.
5) В интервале $\left(r_{2}, r_{3}\right)$, где $r_{3} \simeq 24.74$, в фазовом пространстве будут существовать три устойчивых аттрактора: $\Omega_{2}$, который будем называть аттрактором Лоренца, и состояния равновесия $O_{1}$ и $O_{2}$ (рис. 1д). Границей области притяжения аттрактора Лоренца являются устойчивые многообразия периодических движений $L_{1}$ и $L_{2}$.
6) При $r \rightarrow r_{3}$ периодические движения $L_{1}$ и $L_{2}$ стягиваются к состояниям равновесия $O_{1}$ и $O_{2}$, которые при $r=r_{3}$ теряют устойчивость, что приводит к жесткому режиму возникновения стохастичности.
7) При $r \in\left(r_{3}, 28\right]$ единственным устойчивым предельным множеством является аттрактор Лоренца (рис. $1, e$ ).

Поскольку $r=r_{2}$ является границей интервала устойчивости $\Omega_{2}$, то при $r \leqslant r_{2}$ изображающая точка покидает окрестность $\Omega_{2}$. Новым установившимся режимом будет либо $O_{1}$, либо $\mathrm{O}_{2}$. Таким образом, получаем, что $r=r_{2}$ является точкой динамически неопределенной опасной границы [9] области устойчивости аттрактора Лоренца.

Отметим, что эта последовательность бифуркаций с теми же численными значениями бифуркационных параметров была указана также Иорком и Капланом [16].

На рис. 2 приведен ряд бифуркационных кривых системы (1) в прямоугольнике: $0 \leqslant r \leqslant 100,0 \leqslant \sigma \leqslant 100$ при $b=$ $=8 / 3^{3}$ ). На нем отсутствует кривая $l_{0}: r=1$, переход через которую соответствует появлению из $O$ двух устойчивых состояний равновесия $O_{1}$ и $O_{2}$. Кривые $l_{1}, l_{4}, l_{5}$ соответствуют существованию у системы (1) петель сепаратрис седла $O$. Качественный вид петли $\bar{\Gamma}_{1}$ в проекции на плоскость $x z$ в слу-
1) На то, что в (1) аттрактор может быть негиперболичен, обратил внимание Рюэль [27].
${ }^{2}$ ) Метрические свойства аттрактора Лоренца изучались Л. А. Бунимовичем и Я. Г. Синаем [12].
$\left.{ }^{3}\right)$ Кривые $l_{1}$ и $l_{2}$ авторами [6] были указаны на школе по нелинейным задачам гидродинамической устойчивости в Колюбакино (1978 г.).

чае $l_{1}$ изображен на рис. 1,6 , в случае $l_{4}$ – на рис. 3 , $a$, а в случае $l_{5}$ – на рис. 3,6 . Из нее при переходе через $l_{i}, i=1,4,5$ будет рождаться периодическое движение седлового типа, инвариантные многообразия которого будут цилиндрами в случае $l_{1}$ и $l_{5}$ и листами Мёбиуса в случае $l_{4}$. Кривая $l_{2}$ соответствует тому моменту, когда $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ ложатся на устойчивые многообразия родившихся периодических движений (рис. 1,2). При переходе через $l_{2}$ и возникает аттрактор Лоренца ${ }^{1}$ ). Кривая $l_{3}$ хорошо известна: $r=\sigma(\sigma+b+3)(\sigma-b-1)^{-1}$. На ней $O_{1}$ и $O_{2}$ теряют устойчивость. В последнее время Н. В. Рощиным [25] доказано, что $l_{3}$ – опасная граница области устойчивости. Отметим, что $l_{3}$ не может пересекать кривые $l_{1}$ и $l_{2}$; кривую же $l_{4}$ она пересекает по двум точкам.
1) Правда, нужно еще проверить условие 6, накладываемое на разрывное отображение (см. третий параграф).
11 Зак. $\$ 87$

Помимо указанных кривых имеются и другие кривые, соответствующие петлям сепаратрис, но с более сложным поведением $\Gamma_{i}$. Қак следует из теоретического рассмотрения, в некоторой области, примыкающей к $l_{2}$, они образуют счетное
Рис. 3.

всюду плотное множество. Некоторые из таких кривых, в частности $l_{1}$, были просчитаны группой В. И. Юдовича. Кроме того, ими была обнаружена бифуркационная точка $Q_{10}(30,4$;
Рис. 4.
10,2) (множество коразмерности два), соответствующая контуру из седел $O$ и $O_{1}\left(O_{2}\right)$ и траекторий, их соединяющих, одной из которых является $\Gamma_{2}\left(\Gamma_{1}\right)$ (рис. $4, a$ ). Имеется еще одна бифуркационная точка $Q_{20}(85 ; 11,9)$, соответствующая контуру из седел $O$ и $O_{1}\left(O_{2}\right)$ и траекторий, их соединяющих,
одной из которых является $\Gamma_{1}\left(\Gamma_{2}\right.$ ) (рис. 4,б), также найденная с помощью численного эксперимента. Подобные бифуркации теоретически рассматривались в работе В. В. Быкова [11], из которой, в частности, следует, что существует еще счетное множество бифуркационных точек $Q_{i j} i=1,2 ; j=1$, $2, \ldots$, соответствующих негрубым сепаратрисным контурам такого же типа, но с более сложным поведением $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$, и что к этим точкам примыкают бифуркационные кривые $l_{i j}$, соответствующие петлям сепаратрис седел $O_{1}$ и $O_{2}$. А это приводит к важному выводу о существовании устойчивых периодических движений (см. ниже).

Несколько слов о схеме доказательства свойств аттрактора Лоренца $\Omega_{2}$. Указывается однопараметрическое семейство систем $X_{\mu}$, имеющих состояние равновесия типа седло $O$, одномерные сепаратрисы которого при $\mu=0$ возвращаются в него. Предполагается, что системы имеют секущую площадку, на которой определено отображение последования $T(\mu)$. Из-за наличия седла $T(\mu)$ будет разрывным. Но именно это свойство $T(\mu)$ и позволяет сравнительно просто сформулировать условия, при которых будет существовать странный аттрактор. Теперь возникает вопрос: можно ли проверить условия для модели Лоренца? Что касается отображения Пуанкаре $T_{1}$ для системы (1), то оно есть, поскольку имеется подходящая «секущая» $z=r-1$. Однако об аналитических свойствах $T_{1}$, которые как раз и нужны, практически ничего нельзя сказать. Поэтому нами (В. С. Афраймовичем, В. В. Быковым, Л. П. Шильниковым – авторами [6] ) проверка теоретических условий для модели Лоренца проводилась с помощью ЭВМ.

Ниже излагается ряд фактов и утверждений, связанных с изучением динамических систем $X_{\mu}$ типа модели Лоренца и разрывных отображений порождаемых ими. Предварительно описываются бифуркации петель сепаратрис седла.